高考数学总复习 7.4 直接证明与间接证明课件 文 新人教A版.ppt

7 4直接证明与间接证明 2 3 知识梳理 考点自测 1 直接证明 成立 充分 4 知识梳理 考点自测 2 间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 1 反证法的定义 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明的证明方法 2 用反证法证明的一般步骤 反设 假设命题的结论不成立 归谬 根据假设进行推理 直到推出矛盾为止 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 不成立 矛盾 原命题成立 5 知识梳理 考点自测 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 综合法的思维过程是由因导果 逐步寻找已知的必要条件 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 4 用反证法证明时 推出的矛盾不能与假设矛盾 5 常常用分析法寻找解题的思路与方法 用综合法展现解决问题的过程 6 证明不等式最合适的方法是分析法 6 知识梳理 考点自测 2 命题 对于任意角 cos4 sin4 cos2 的证明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 过程应用了 a 分析法b 综合法c 综合法 分析法综合使用d 间接证明法 b 解析 因为证明过程是 从左往右 即由条件推出结论 故选b 3 若实数a b满足a b 0 则 a a b都小于0b a b都大于0c a b中至少有一个大于0d a b中至少有一个小于0 d 解析 假设a b都不小于0 即a 0 b 0 则a b 0 这与a b 0相矛盾 因此假设错误 即a b中至少有一个小于0 7 知识梳理 考点自测 4 用分析法证明不等式时 最后推得的显然成立的最简不等式是 0 4 5 教材习题改编p15t 2 用反证法证明 把100个球放在90个盒子里 至少有一个盒子里不少于2个球 应假设 每个盒子里都少于2个球 解析 因为 至少有一个盒子里不少于 的反面是 所有盒子里都少于 所以应填 每个盒子里都少于2个球 8 考点一 考点二 考点三 综合法的应用 多考向 考向1数列中的证明例1设数列 an 的前n项和为sn 已知3an 2sn 2 1 证明 an 是等比数列并求出通项公式an 9 考点一 考点二 考点三 10 考点一 考点二 考点三 思考哪些问题的证明适合用综合法 解题心得综合法的适用范围是 1 定义明确的问题 如证明函数的单调性 奇偶性等 求证没有限制条件的等式或不等式 2 已知条件明确 并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 11 考点一 考点二 考点三 对点训练1 2017湖北黄冈模拟 设数列 an 的前n项和为sn 且 3 m sn 2man m 3 n n 其中m为常数 且m 3 1 求证 an 是等比数列 12 考点一 考点二 考点三 13 考点一 考点二 考点三 考向2立体几何中的证明例2 2017山东枣庄一模 文18 如图 在四棱台abcd a1b1c1d1中 四边形abcd是菱形 ab 2a1b1 aa1 平面abcd 求证 1 bd c1c 2 c1c 平面a1bd 14 考点一 考点二 考点三 证明 1 连接ac aa1 平面abcd aa1 bd 四边形abcd是菱形 ac bd 又ac aa1 a bd 平面acc1a1 cc1 平面acc1a1 bd cc1 2 连接ac和a1c1 设ac bd e 底面abcd是菱形 e为菱形abcd的中心 由棱台的定义及ab 2a1b1 可得ec a1c1 且ec a1c1 故ecc1a1为平行四边形 cc1 a1e cc1 平面a1bd a1e 平面a1bd cc1 平面a1bd 15 考点一 考点二 考点三 解题心得用综合法证明立体几何中的平行或垂直问题常用转化法 例如证明线面平行或垂直一般转化成证明线线平行或垂直 16 考点一 考点二 考点三 对点训练2如图 在四棱锥p abcd中 平面pab 平面abcd ab ad bad 60 e f分别是ap ab的中点 求证 1 直线ef 平面pbc 2 平面def 平面pab 17 考点一 考点二 考点三 证明 1 在 pab中 因为e f分别为pa ab的中点 所以ef pb 又因为ef 平面pbc pb 平面pbc 所以直线ef 平面pbc 2 连接bd 因为ab ad bad 60 所以 abd为正三角形 因为f是ab的中点 所以df ab 因为平面pab 平面abcd df 平面abcd 平面pab 平面abcd ab 所以df 平面pab 又因为df 平面def 所以平面def 平面pab 18 考点一 考点二 考点三 考向3证明不等式例3已知x y z是互不相等的正数 且x y z 1 思考综合法证明的特点是什么 19 考点一 考点二 考点三 解题心得用综合法证明的特点是 由因导果 即从命题的条件出发 利用定义 公理 定理及运算法则 通过演绎推理 一步一步地接近要证明的结论 直到完成命题的证明 20 考点一 考点二 考点三 21 考点一 考点二 考点三 分析法的应用 22 考点一 考点二 考点三 思考哪些问题的证明适合用分析法 解题心得分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显 直接 或证明过程中所需知识不太明确 具体时 往往采用分析法 特别是含有根号 绝对值的等式或不等式 从正面不易推导时 常考虑用分析法 23 考点一 考点二 考点三 24 考点一 考点二 考点三 反证法的应用例5设数列 an 是公比为q的等比数列 sn是它的前n项和 1 求证 数列 sn 不是等比数列 2 数列 sn 是等差数列吗 为什么 25 考点一 考点二 考点三 因为a1 0 所以 1 q 2 1 q q2 即q 0 这与公比q 0矛盾 所以数列 sn 不是等比数列 2 解当q 1时 sn na1 故 sn 是等差数列 当q 1时 sn 不是等差数列 假设 sn 是等差数列 则2s2 s1 s3 即2a1 1 q a1 a1 1 q q2 得q 0 这与公比q 0矛盾 综上 当q 1时 数列 sn 是等差数列 当q 1时 sn 不是等差数列 26 考点一 考点二 考点三 思考反证法的适用范围及证题的关键是什么 解题心得反证法的适用范围及证题的关键 1 适用范围 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 2 关键 在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等 推导出的矛盾必须是明显的 27 考点一 考点二 考点三 对点训练5设 an 是公比为q的等比数列 且q 1 证明数列 an 1 不是等比数列 证明假设 an 1 是等比数列 则对任意的k n ak 1 1 2 ak 1 ak 2 1 a1 0 2qk qk 1 qk 1 q 0 q2 2q 1 0 q 1 这与已知矛盾 假设不成立 故 an 1 不是等比数列 28 考点一 考点二 考点三 1 分析法是从结论出发 逆向思维 寻找使结论成立的充分条件 应用分析法要严格按分析法的语言表达 下一步是上一步的充分条件 2 证明问题的常用思路 在解题时 常常把分析法和综合法结合起来运用 先以分析法寻求解题思路 再用综合法表述解答或证明过程 3 用反证法证明问题要把握三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 2 必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实矛盾等 且推导出的矛盾必须是明显