高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量的数量积课件.pptVIP

高考数学 江苏省专用 5 2平面向量的数量积 1 2017江苏 12 5分 如图 在同一个平面内 向量 的模分别为1 1 与的夹角为 且tan 7 与的夹角为45 若 m n m n r 则m n a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案3 解析本题考查平面向量基本定理及其应用 平面向量的夹角及其应用等知识 解法一 tan 7 0 cos sin 与的夹角为 m n 1 又 与的夹角为45 又cos aob cos 45 cos cos45 sin sin45 cos aob 将其代入 得m n m n 1 两式相加得m n 所以m n 3 解法二 过c作cm ob cn oa 分别交线段oa ob的延长线于点m n 则 m n 由正弦定理得 由解法一知 sin cos 又 m n 1 m n m n 3 2 2014江苏 12 5分 0 49 如图 在平行四边形abcd中 已知ab 8 ad 5 3 2 则 的值是 答案22 解析解法一 25 64 13 2 故 22 解法二 以a为坐标原点 ab边所在直线为x轴 建立直角坐标系 则b 8 0 设 dab 则d 5cos 5sin 因为 3 所以p 5cos 2 5sin 从而 5cos 2 5sin 5cos 6 5sin 因为 2 所以 5cos 2 5sin 5cos 6 5sin 2 解得cos 因此 8 5 22 解后反思几何图形中的向量运算问题 正确选取基底是解题的关键 若几何图形是规则图形 则可建立坐标系 利用坐标运算更简单 3 2016江苏 13 5分 0 073 如图 在 abc中 d是bc的中点 e f是ad上的两个三等分点 4 1 则 的值是 答案 解析解法一 同理 因为e f是ad上的两个三等分点 所以 9 4 由 可得8 5 即 由 可得 3 1 解法二 由已知可得 因为 4 所以 4 则 4 1 所以 从而 4 4 2015江苏 14 5分 设向量ak k 0 1 2 12 则 ak ak 1 的值为 答案9 解析由ak k 0 1 2 12 得ak 1 k 0 1 2 11 故ak ak 1 cos sin cos cos sin cos coscos sin cos coscos sinsin sincos cossin coscos cos sin cos cos sin coscos sin cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin 其中cos sin 所以 ak ak 1 sin 12 9 考点一长度与角度问题1 2017课标全国 理 13 5分 已知向量a b的夹角为60 a 2 b 1 则 a 2b b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案2 解析本题考查向量数量积的计算 由题意知a b a b cos60 2 1 1 则 a 2b 2 a 2b 2 a 2 4 b 2 4a b 4 4 4 12 所以 a 2b 2 2 2016课标全国 理 3 5分 已知向量 则 abc 答案30 解析cos abc 所以 abc 30 3 2016北京 9 5分 已知向量a 1 b 1 则a与b夹角的大小为 答案 解析 cos a与b夹角的大小为 4 2015重庆改编 6 5分 若非零向量a b满足 a b 且 a b 3a 2b 则a与b的夹角为 答案 解析 a b 3a 2b a b 3a 2b 0 3 a 2 a b 2 b 2 0 3 a 2 a b cos 2 b 2 0 又 a b b 2 b 2 cos 2 b 2 0 cos 0 5 2015湖北 11 5分 已知向量 3 则 答案9 解析 0 即 0 9 6 2014江西 14 5分 已知单位向量e1与e2的夹角为 且cos 向量a 3e1 2e2与b 3e1 e2的夹角为 则cos 答案 解析a b 3e1 2e2 3e1 e2 9 2 9 1 1 8 a 2 3e1 2e2 2 9 4 12 1 1 9 a 3 b 2 3e1 e2 2 9 1 6 1 1 8 b 2 cos 评析本题考查了向量的基本运算和夹角公式 计算失误是造成错解的主要原因 正确得出 a b 是求解的关键 考点二数量积的综合应用1 2017课标全国 文 13 5分 已知向量a 2 3 b 3 m 且a b 则m 答案2 解析 a b a b 0 又a 2 3 b 3 m 6 3m 0 解得m 2 2 2017课标全国 理改编 12 5分 已知 abc是边长为2的等边三角形 p为平面abc内一点 则 的最小值是 答案 解析设bc的中点为d ad的中点为e 则有 2 则 2 2 2 而 当p与e重合时 有最小值0 故此时 取最小值 最小值为 2 2 方法总结在求向量数量积的最值时 常用取中点的方法 如本题中利用 可快速求出最值 一题多解以ab所在直线为x轴 ab的中点为原点建立平面直角坐标系 如图 则a 1 0 b 1 0 c 0 设p x y 取bc的中点d 则d 2 2 1 x y 2 2 因此 当x y 时 取得最小值 为2 3 2017北京文 12 5分 已知点p在圆x2 y2 1上 点a的坐标为 2 0 o为原点 则 的最大值为 答案6 解析解法一 表示在方向上的投影与 的乘积 当p在b点时 有最大值 此时 2 3 6 解法二 设p x y 则 2 0 x 2 y 2x 4 由题意知 1 x 1 x 1时 取最大值6 的最大值为6 4 2017天津理 13 5分 在 abc中 a 60 ab 3 ac 2 若 2 r 且 4 则 的值为 答案 解析本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积 如图 由 2得 所以 又 3 2 cos60 3 9 4 所以 3 2 5 4 解得 思路分析根据 2得 利用 4以及向量的数量积建立关于 的方程 从而求得 的值 一题多解以a为原点 ab所在的直线为x轴建立平面直角坐标系 如图 因为ab 3 ac 2 a 60 所以b 3 0 c 1 又 2 所以d 所以 而 1 3 0 3 因此 3 5 4 解得 5 2017浙江改编 10 5分 如图 已知平面四边形abcd ab bc ab bc ad 2 cd 3 ac与bd交于点o 记i1 i2 i3 则i1 i2 i3的大小关系为 用 连接 答案i3 i1 i2 解析解法一 因为ab bc ab bc bco 45 过b作be ac于e 则 ebc 45 因为ad45 又 bco 45 boc为锐角 从而 aob为钝角 所以 doc为钝角 故i10 又oa1 2 2 1 从而i3 1 2 1 2i1 又 1 2 1 i1 0 i3 i1 0 i3 i1 i2 解法二 如图 建立直角坐标系 则b 0 0 a 0 2 c 2 0 设d m n 由ad 2和cd 3 得 从而有n m 0 n m 从而 dbc 45 又 bco 45 boc为锐角 从而 aob为钝角 故i10 又oa1 2 2 1 从而i3 1 2 1 2i1 又 1 2 1 i1 0 i3 0 i3 i1 i3 i1 i2 6 2015山东改编 4 5分 已知菱形abcd的边长为a abc 60 则 答案a2 解析 a2 a2 a2 7 2014天津改编 8 5分 已知菱形abcd的边长为2 bad 120 点e f分别在边bc dc上 be bc df dc 若 1 则 答案 解析以 为基向量 则 1 4 2 1 1 1 1 2 1 1 由 可得 评析本题考查平面向量的基本定理 数量积等相关内容 难度中等 8 2016天津改编 7 5分 已知 abc是边长为1的等边三角形 点d e分别是边ab bc的中点 连接de并延长到点f 使得de 2ef 则 的值为 答案 解析建立如图所示的平面直角坐标系 则b c a 所以 1 0 易知de ac fec ace 60 则ef ac 所以点f的坐标为 所以 所以 1 0 9 2016浙江理 15 4分 已知向量a b a 1 b 2 若对任意单位向量e 均有 a e b e 则a b的最大值是 答案 解析对任意单位向量e 均有 a e b e a e b e a b e a b 当且仅当a b与e共线时 等号成立 a2 2a b b2 6 又 a 1 b 2 a b 即a b的最大值为 10 2015天津 14 5分 在等腰梯形abcd中 已知ab dc ab 2 bc 1 abc 60 动点e和f分别在线段bc和dc上 且 则 的最小值为 答案 解析如图 以a为原点 ab所在直线为x轴建立直角坐标系 则b 2 0 c d 由 得e 由 得f 从而 2 当且仅当 时 取等号 11 2015广东 16 12分 在平面直角坐标系xoy中 已知向量m n sinx cosx x 1 若m n 求tanx的值 2 若m与n的夹角为 求x的值 解析 1 因为m n 所以m n sinx cosx 0 即sinx cosx 又x 所以tanx 1 2 易求得 m 1 n 1 因为m与n的夹角为 所以cos 则sinx cosx sin 又因为x 所以x 所以x 解得x 1 2014大纲全国改编 4 5分 若向量a b满足 a 1 a b a 2a b b 则 b c组教师专用题组 答案 解析由题意得 2a2 b2 0 即 2 a 2 b 2 0 又 a 1 e b 2 2013湖南理改编 6 5分 已知a b是单位向量 a b 0 若向量c满足 c a b 1 则 c 的取值范围是 答案 1 1 解析以a和b分别为x轴和y轴正向的单位向量建立直角坐标系 则a 1 0 b 0 1 设c x y 则c a b x 1 y 1 c a b 1 x 1 2 y 1 2 1 即 x y 是以点m 1 1 为圆心 1为半径的圆上的点 而 c 所以 c 可以理解为圆m上的点到原点的距离 由圆的性质可知 om r c om r 即 c 1 1 评析本题主要考查向量的模 向量的坐标运算以及与圆有关的最值问题 考查学生逻辑推理能力和数形结合思想的应用能力 解析法是解决本题的最佳选择 而把 c 的取值范围转化成与圆有关的最值问题是解决本题的关键 3 2013浙江理 17 4分 设e1 e2为单位向量 非零向量b xe1 ye2 x y r 若e1 e2的夹角为 则的最大值等于 答案2 解析 b 当x 0时 由于b 0 所以y 0 此时 0 当x 0时 2 当 时 取等号 故的最大值为2 评析本题考查向量的长度与角度问题以及函数的最值问题 考查学生的概念应用能力 转化与化归能力和运算求解能力 4 2014课标 改编 3 5分 设向量a b满足 a b a b 则a b 答案1 解析由 a b 得a2 b2 2a b 10 由 a b 得a2 b2 2a b 6 得4a b 4 a b 1 一 填空题 每题5分 共25分 1 2017无锡普通高中高三上学期期中 已知向量a b满足 a 2 b 1 a 2b 2 则a与b的夹角为 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 25分钟分值 35分 答案 解析 a 2b 2 4 4a b 4 12 所以a b 1 即 a b cos 2cos 1 所以cos 又 0 所以a与b的夹角为 2 2016江苏南京 盐城一模 11 如图 在 abc中 ab ac 3 cos bac 2 则 的值为 答案 2 解析 2 2 6 1 3 2 3 2016江苏徐州质检 11 如图 半径为2的扇形的圆心角为120 m n分别为半径op oq的中点 a为弧pq上任意一点 则 的取值范围是 答案 解析建立如图所示的直角坐标系 连接ao 设 aoq 则a 2cos 2sin 0 120 由已知得m n 1 0 则 1 2cos 2sin 所以 1 2cos 2sin 2sin 30 因为0 120 所以30 30 150 故 sin 30 1 所以 4 2015江苏常州一模 11 已知向量a 1 1 b 1 1 设向量c满足 2a c 3b c 0 则 c 的最大值为 答案 解析设c x y 则2a c 2 x 2 y 3b c 3 x 3 y 由 2a c 3b c 0 得x2 y2 x 5y 0 即 由数形结合易知 c 的最大值是 5 2015江苏苏州一模 11 如图 在 abc中 已知ab 4 ac 6 bac 60 点d e分别在边ab ac上 且 2 3 点f为de的中点 则 的值为 答案4 解析由题意得da ae 2 bac 60 ade为等边三角形 de 2 ade 60 2 2 2 2 4 二 解答题 共10分 6 2016江苏启东中学阶段测试 17 已知向量a b c满足a b c 0 且a与b的夹角等于150 b与c的夹角等于120 c 2 求 a b 解析由a b c 0得 解之得 a 2 b 4 填空题 每题5分 共30分 1 2017江苏南通第二次调研测试 13 在平行四边形abcd中 ad 1 bad 60 e为cd的中点 若 则ab的长为 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 30分钟分值 30分 答案 解析由题意得 2 1 解得 思路分析由条件可得到 将这两个式子代入 得出 2 1 解该方程即可求出ab的长 2 2017江苏苏北四市期中 13 已知ab为圆o的直径 m为圆o的弦cd上一动点 ab 8 cd 6 则 的取值范围是 答案 9 0 解析以o为原点 ab所在的直线为x轴 线段ab的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系 如图所示 因为圆o的直径为ab ab 8 不妨令a 4 0 b 4 0 设m x y 则 4 x y 4 x y 所以 4 x y 4 x y 4 x 4 x y 2 x2 y2 16 又m是圆o的弦cd上一动点 且cd 6 所以16 9 x2 y2 16 即7 x2 y2 16 其中最小值在cd的中点取得 所以 的取值范围是 9 0 思路分析与圆有关的向量问题 可以考虑用解析法求解 以o为原点 ab所在的直线为x轴 线段ab的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系 设出点m x y 然后用x y表示出 从而求其范围 3 2016江苏苏锡常镇四市二模 9 在平面直角坐标系xoy中 设m是函数f x x 0 的图象上任意一点 过m点向直线y x和y轴作垂线 垂足分别是a b 则 答案 2 解析设m x0 y0 为函数f x x 0 的图象上任意一点 由题设知b 0 y0 a 从而 x0 0 故 因为m x0 y0 为函数f x x 0 的图象