湖南省师大附中2010届高三第二次月考试卷.doc

湖南省师大附中2010届高三第二次月考试卷数 学（理科）命题：肖 强 贺中良 曾克平 肖 婕 审题：朱海棠 邓 云 严勇华 洪利民 贺祝华本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题：，则命题是 （ B ）A.， B.， C.， D.，【解】全称命题的否定是特称命题，故选B.2.已知x，yR，i是虚数单位，且，则的值为 （ A ）A.4 B. 4 C. 1 D. 1【解】由，得，所以，故选A.3.设M为实数区间，a0且a1，若“aM”是“函数在(0，1)上单调递增”的一个充分不必要条件，则区间M可以是 （ D ）A.（1，） B.（1，2） C. （0，1） D. （0，）【解析】因为y|x1|在(0，1)上是减函数，则在(0，1)上单调递增的充要条件是.据题意，故选D.4.某单因素单峰试验的因素范围是(3，18)，用均分分批试验法寻找最佳点，每批安排4个试验.若第一批试点中从左到右第3个试点是好点，则第一批试验后的存优范围是 （ C ）A. (6，12) B. (10，14) C. (9，15) D. (11，13)【解】将区间(3，18)均分为5等分，第一批4个试点值分别为6，9，12，15.由题设12是好点，则存优范围是(9，15)，故选C.5.将函数的图象作平移变换，得到函数的图象，则这个平移变换可以是 （ D ）A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【解】因为，所以将函数向右平移个单位长度，即得到函数的图象，故选D.6.已知某圆锥曲线C的极坐标方程是，则曲线C的离心率为 （ A ）A. B. C. D.【解】方程可化为，即，化为直角坐标方程为.所以曲线C为椭圆，其离心率为，故选A.7.师大附中在高二年级开展农村生活体验活动，现需将某7个学生分配到甲、乙、丙三个农户家居住，每家至多住3人，则不同的分配方法共有 （ C ）A.350种 B.525种 C.1050种 D.2100种xyO12341234【解】据题意有两种分批方案，按3，3，1的人数分配到三个农户家，有种方法；按2，2，3的人数分配到三个农户家，有种方法，所以共有1050种不同分配方法，故选C.8.如图，一个质点从原点出发，在x轴、y轴的平行方向按(0，0)(0，1)(1，1)(1，0)(2，0)(2，2) 的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第 2009秒时，这个质点所处位置的坐标是 （ B ） A. (14，44) B. (15，44)C. (44，14) D. (44，15)【解】由图可知，质点走完一个矩形回路所走路程依次为3，5，7，(2n1)个单位长度.由357(2n1)2009，得n43.当质点走完第43个正方形时，共走了1935个单位长度，余下74个单位长度从(43，0)(44，44)有45个单位，再向左走29个单位即可，此时质点的坐标为(15，44)，故选B.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9.已知集合，若R，则实数的取值范围是 (1，5) .【解】由已知可得，.因为R，则，即，故的取值范围是(1，5).10.某企业在今年九月生产了A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下统计表格：产品类别ABC产品数量（件）1300样本容量130 由于统计员不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，但统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件.根据以上信息，可得C产品的数量是 800 件【解】设C产品的样本容量为，因为抽样比例为，则，解得所以C产品的数量是件11.已知平面向量a，b，c满足：ac，bc2，|c|2，若存在实数使得cab，则的值为 2 .【解】由已知，即+.又2，0，2，所以24，即.12.已知实数x，y满足，由柯西不等式可得xy的最小值为 2 .【解】由柯西不等式，得，即，所以xy2.当且仅当，即时等号成立，故xy的最小值为2.13.某饮料店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：C）之间有下列数据：x21012y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：；，其中正确方程的序号是 .【解】因为，.由于回归方程必过点（），将点（0，2.8）逐一代入验证得，方程满足要求.ABCDE14.如图，在ABC中，ABAC4，BC6，以AB为直径的圆交BC于点D，过点D作该圆的切线，交AC于点E，则CE. 【解】设圆心为O，连结OD，AD，则ODDE，ADBC.因为ABAC，所以D为BC的中点，从而OD是ABC的中位线，所以ODAC，于是ACDE.在RtADC中，由射影定理，得CD2CECA.因为CD3，CA4，所以CE.15.对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(ab)，使当xa，b时，f(x)的值域也是a，b，则称函数f(x)为“科比函数”. （1）给出下列两个函数：；，其中是“科比函数”的函数序号是 .（2）若函数是“科比函数”，则实数k的取值范围是.【解】（1）因为是增函数，若f(x)为“科比函数”，则f(a)a，f(b)b，即a1a，b1b，无解，所以不是“科比函数”.因为当x0，1时，0，1，所以是“科比函数”.（2）因为是增函数，若是“科比函数”，则存在实数a，b(2ab)，使，即.所以a，b为方程的两个实数根，从而方程有两个不等实根.令，则.当t0时，k2；当t时，k.由图可知，当时，直线yk与曲线有两个不同交点，即方程有两个不等实根，故实数k的取值范围是.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)在ABC中，已知AB，BC1，cosC.（）求sinA的值；（）求的值.【解】（）因为cosC，则sinC. (3分)据正弦定理，有，所以sinA. (6分)（）由余弦定理，得.设ACb，则，即. (8分)解得b2或b（舍去），AC2. (9分)故. (12分)17.(本小题满分12分)本次高三数学月考试卷中共有8个选择题，每小题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错都得0分.某同学对每道题都选出了一个答案，已确定第14题的答案都是正确的，对第5、6两道题，他都可判断出其中有两个选项是错误的，但对另两个选项都不能确定哪个正确；对第7题，他可判断出其中一个选项是错误的，但对另三个选项不能确定哪个正确；对第8题，他不理解题意只能乱猜，且各题答对与否相互独立.（）求该同学在这次月考中选择题至少答对7道题的概率；（）估计该同学在这次月考中选择题的实际得分最有可能是多少分？【解】（）设该同学在这次月考中选择题“答对8道题”为事件A，“答对7道题”为事件B，则事件A与B互斥. （1分）据题意，第14题都答对为必然事件，第5、6题答对的概率都为，第7题答对的概率为，第8题答对的概率为，且各题答对与否相互独立. （2分）所以. （3分）. （5分） .故该同学在这次月考中选择题至少答对7道题的概率是. （6分）（）设该同学在这次月考中选择题的总得分为分，则的可能取值为20，25，30，35，40. （7分）若20，则只答对第14题，其余各题都答错，所以. （8分）若25，则第58题只答对1题，所以. （9分）若30，则第58题只答对2题，.(10分)由（）知，.所以. （11分）估计该同学在这次月考中选择题的实际得分最有可能是30分. （12分）18.(本小题满分12分)BA1B1C1NACM如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点.（）求证：MN平面A1BC；（）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小.【解】解法一：（）由已知BCAC，BCCC1，所以BC平面ACC1A1.连结AC1，则BCAC1. （2分）由已知，侧面ACC1A1是正方形，所以A1CAC1. （3分）又，所以AC1平面A1BC. （4分）因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点. （5分）又点N是B1C1的中点，则MN是AB1C1的中位线，所以MNAC1. BA1B1C1NACMD故MN平面A1BC. （6分）（）因为AC1平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，则C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角. （9分）设ACBCCC1a，则，. （10分）在RtBDC1中，sinC1BD， （11分）所以C1BD30，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30. （12分）BA1B1C1NACMxyz解法二：（）据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图. （2分）设ACBCCC1a，则，. （4分）所以，. （5分）于是，即MNBA1，MNCA1. （6分）又，故MN平面A1BC. （7分）（）因为MN平面A1BC，则为平面A1BC的法向量，又， （9分）则，所以. （11分）故直线BC1和平面A1BC所成的角为30. （12分）19.(本小题满分13分)某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元.设余下工程的总费用为万元.（）试将表示成关于的函数； （）需要修建多少个增压站才能使最小？【解】（I）设需要修建个增压站，则，即. （2分）所以.（5分）因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0x120. （6分）故y与x的函数关系是. （7分）（II）设，则. （9分）由，得，又0x120，则. （10分）所以在区间内为增函数，在区间内为减函数. （11分）所以当时，取最小值，此时. （12分）故需要修建19个增压站才能使最小. （13分）20.(本小题满分13分)如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足.（）求直线l和抛物线的方程；（）当抛物线上一动点P从点A到B运动时，求ABP面积的最大值xyOPABM【解】（）据题意可设直线l的方程为，抛物线方程为. （2分）由得，. （3分）设点，则.所以. （4分）因为，所以，解得. （5分）故直线的方程为，抛物线方程为 （6分）（）解法一：据题意，当抛物线过点P的切线与平行时，APB面积最大. （7分）设点，因为，由，所以 （9分）此时，点P到直线的距离. （10分）由，得. （11分）所以. （12分）故ABP面积的最大值为. （13分）解法二：由得，. （7分）所以. （8分）设点，点P到直线的距离. （9分）则，当时，max=，此时点. （12分）故ABP面积的最大值为. （13分）21.(本小题满分13分)已知数列是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列，且满足，其中.（）求的值；（）若数列与数列有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新