高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.7 数学归纳法课件 理 北师大版.ppt

第六章不等式 推理与证明 第七节数学归纳法 最新考纲1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 j基础知识自主学习 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当n 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 第1个值n0 n0 n k 1 判一判 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 解析错误 第一步验证当n取初始值n0时结论成立 但是n0不一定为1 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 解析错误 不一定 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 解析错误 归纳假设必须用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 5 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 解析正确 练一练 解析边数最小的凸多边形是三角形 答案c 3 某个命题与自然数n有关 若n k k n 时命题成立 那么可推得当n k 1时该命题也成立 现已知n 5时 该命题不成立 那么可以推得 a n 6时该命题不成立b n 6时该命题成立c n 4时该命题不成立d n 4时该命题成立 解析因为当n k k n 时命题成立 则当n k 1时 命题也成立 现n 5时 命题不成立 故n 4时命题也不成立 答案c 解析n k 1时 左端为 k 2 k 3 k 1 k 1 k 1 k 2k 2 k 1 k 2 k k 2k 1 2 应增乘2 2k 1 答案b r热点命题深度剖析 规律方法 用数学归纳法证明等式应注意的问题 1 用数学归纳法证明等式问题是常见题型 其关键点在于弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 以及初始值n0的值 2 由n k到n k 1时 除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n k时的式子 即充分利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 变式训练1f n 1 n n 求证 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n 2 n n 例2 设实数c 0 整数p 1 n n 1 证明 当x 1且x 0时 1 x p 1 px 证明 用数学归纳法证明 当p 2时 1 x 2 1 2x x2 1 2x 原不等式成立 假设p k k 2 k n 时 不等式 1 x k 1 kx成立 当p k 1时 1 x k 1 1 x 1 x k 1 x 1 kx 1 k 1 x kx2 1 k 1 x 所以p k 1时 原不等式也成立 综合 可得 当x 1且x 0时 对一切整数p 1 不等式 1 x p 1 px均成立 规律方法 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 规律方法 归纳 猜想 证明类问题的解题步骤 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 2 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段该部分与数列结合的问题是最常见的问题 变式训练3数列 an 满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 s思想方法感悟提升 1种方法 寻找递推关系的方法 1 在第一步验证时 不妨多计算几项 并争取正确写出来 这样对发现递推关系是有帮助的 2 探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律 观察n处在哪个位置 3 在书写f k 1 时 一定要把包含f k 的式子写出来 尤其是f k 中的最后一项 除此之外 多了哪些项 少了哪些项都要分析清楚 3个注意点 运用数学归纳法应注意的三个问题 1 第一步