高中数学第三章3.3.3导数的实际应用课堂探究新人教选修.docx_第1页
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3.3.3 导数的实际应用课堂探究探究一 与几何有关的最值问题解决与面积、体积等与几何有关的最值问题，关键是正确引入变量，将面积或体积表示为该变量的函数，结合具体问题确定其定义域，然后利用导数求其最值【典型例题1】 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积思路分析：设出容器底面一边长为x m，表示出容器的另一边及高，利用长方体的体积公式，将其表示为x的函数，利用导数求解解：设容器底面一边长为x m，则另一边长为(x0.5)m，高为3.22x.由解得0x1.6.设容器的容积为y m3，则y2x32.2x21.6x，所以y6x24.4x1.6，令y0，则15x211x40，解得x11，x2(舍去)在定义域(0,1.6)内只有x1使y0，即x1是函数y2x32.2x21.6x在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点因此，当x1时y取得最大值ymax22.21.61.8，这时高为3.2211.2.故容器的高为1.2 m时容积最大，最大值为1.8 m3.探究二 利润最大(成本最低)问题经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减快慢，通常以产量或单价为自变量建立函数关系，从而利用导数来分析、研究【典型例题2】 某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？思路分析：建立销售利润关于零售价的函数，应用导数研究最值解：设利润为L(p)，由题意可得L(p)(p20)Q(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p0)，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，得p30或p130(舍去)则L(30)23 000.因为0p30时，L(p)0；p30时，L(p)0，所以p30时，L(p)取得极大值根据实际问题的
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