高中数学 第一章 数列 2.2 等差数列的前n项和(二)课件 北师大版必修5.ppt

第一章数列 2 2等差数列的前n项和 二 1 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 2 会解等差数列前n项和的最值问题 3 理解an与sn的关系 能根据sn求an 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一数列中an与sn的关系 已知数列 an 的前n项和sn n2 怎样求a1 an 答案 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 n2 n 1 2 2n 1 又n 1时也适合上式 所以an 2n 1 n n 梳理 对任意数列 an sn与an的关系可以表示为 an n 1 n 2 n n s1 sn sn 1 知识点二等差数列前n项和的最值 由二次函数的性质可以得出 当a1 0 d 0时 sn先减后增 有最小值 当a1 0 d 0时 sn先增后减 有最大值 且n取最接近对称轴的正整数时 sn取到最值 思考 答案 梳理 等差数列前n项和的最值与 sn 的单调性有关 1 若a1 0 d0 则数列的前面若干项为负项 或0 所以将这些项相加即得 sn 的最小值 3 若a1 0 d 0 则 sn 是递增数列 s1是 sn 的最小值 若a1 0 d 0 则 sn 是递减数列 s1是 sn 的最大值 题型探究 解答 类型一已知数列 an 的前n项和sn求an 例1已知数列 an 的前n项和为sn n2 n 求这个数列的通项公式 这个数列是等差数列吗 如果是 它的首项与公差分别是什么 根据sn a1 a2 an 1 an可知sn 1 a1 a2 an 1 n 1 n n 引申探究例1中前n项和改为sn n2 n 1 求通项公式 解答 反思与感悟 已知前n项和sn求通项an 先由n 1时 a1 s1求得a1 再由n 2时 an sn sn 1求得an 最后验证a1是否符合an 若符合则统一用一个解析式表示 跟踪训练1已知数列 an 的前n项和sn 3n 求an 当n 1时 a1 s1 3 当n 2时 an sn sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 当n 1时 代入an 2 3n 1得a1 2 3 解答 类型二等差数列前n项和的最值 例2已知等差数列5 4 3 的前n项和为sn 求当sn取得最大值时n的值 解答 故前n项和是从第9项开始减小 而第8项为0 所以前7项或前8项的和最大 反思与感悟 在等差数列中 求sn的最大 小 值 其思路是找出某一项 使这项及它前面的项皆取正 负 值或零 而它后面的各项皆取负 正 值 则从第1项起到该项的各项的和为最大 小 由于sn为关于n的二次函数 也可借助二次函数的图像或性质求解 跟踪训练2在等差数列 an 中 an 2n 14 试用两种方法求该数列前n项和sn的最小值 解答 方法一 an 2n 14 a1 12 d 2 a1 a2 a6 a7 0 a8 a9 当n 6或n 7时 sn取到最小值 易求s6 s7 42 sn min 42 方法二 an 2n 14 a1 12 类型三求等差数列前n项的绝对值之和 例3若等差数列 an 的首项a1 13 d 4 记tn a1 a2 an 求tn 解答 a1 13 d 4 an 17 4n 当n 4时 tn a1 a2 an a1 a2 an 15n 2n2 当n 5时 tn a1 a2 an a1 a2 a3 a4 a5 a6 an s4 sn s4 2s4 sn 反思与感悟 求等差数列 an 前n项的绝对值之和 根据绝对值的意义 应首先分清这个数列的哪些项是负的 哪些项是非负的 然后再分段求出前n项的绝对值之和 跟踪训练3已知数列 an 中 sn n2 10n 数列 bn 的每一项都有bn an 求数列 bn 的前n项和tn的表达式 解答 由sn n2 10n得an sn sn 1 11 2n n 2 n n 验证a1 9也符合上式 an 11 2n n n 当n 5时 an 0 此时tn sn n2 10n 当n 5时 an 0 此时tn 2s5 sn n2 10n 50 即tn 当堂训练 当n 1时 a1 s1 2 当n 2时 an sn sn 1 2n 又因为a1 2符合an 2n 所以an 2n 1 已知数列 an 的前n项和sn n2 n 则an等于a 4n 2b n2c 2n 1d 2n 答案 解析 1 2 3 4 等差数列的前n项和sn的形式为sn an2 bn 1 答案 解析 2 已知数列 an 为等差数列 它的前n项和为sn 若sn n 1 2 则 的值是a 2b 1c 0d 1 1 2 3 4 s3 s8 s8 s3 a4 a5 a6 a7 a8 5a6 0 a6 0 a1 0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 0 a7 0 故当n 5或6时 sn最大 3 首项为正数的等差数列 前n项和为sn 且s3 s8 当n 时 sn取到最大值 5或6 1 2 3 4 答案 解析 当n 1时 a1 s1 3 2 5 当n 2时 sn 1 3 2n 1 又sn 3 2n an sn sn 1 2n 2n 1 2n 1 又当n 1时 a1 5 21 1 1 解答 1 2 3 4 4 已知数列 an 的前n项和sn 3 2n 求an 规律与方法 1 因为an sn sn 1只有n 2时才有意义 所以由sn求通项公式an f n 时 要分n 1和n 2两种情况分别计算 然后验证两种情况可否用统一解析式表示 若不能 则用分段函数的形式表示 2 求等差