7年级数学培优竞赛试题51-75题含详解.pdf

七年级七年级 第第 5151 题 题 若 a b ba 都是有理数 则 a b A 均为有理数 B 均为无理数 C 一个为有理数 另一个为无理数 D 以上三种情况均有可能 答案 答案 A 第第 5 52 2 题 题 5 8 5 1 6 7 2 1 5 4 2 625 0 2 1 5 3 3 5 2012 42016 3 答案 答案 6035 解析 解析 原式 8 27 3 2 1 14 5 5 8 8 1 25 9 3 5 2012 4 3 2 1 25 14 42 25 2012 3 1 3 1 2012 6035 第第 5 53 3 题 题 如图所示 已知 EF 平分 AEC DAC AED ACB CED DAB BCD 求证 1 AD BC 2 AB CD 答案答案 证明 1 EF 平分 AEC AED DEC AED DEC DAC AED DEC DAC ACB CED DEC DAC DAC ACB AD BC 2 DAB BCD DAC ACB BAC ACD AB CD 第第 5 54 4 题 题 如图所示 在平面直角坐标系中 一颗棋子从点 P 处开始依次关于点 A B C 做循环对称跳动 即第一次跳到点 P 关于点 A 的对称点 M 处 接着跳 到点 M 关于点 B 的对称点 N 处 第三次再跳到点 N 关于点 C 的对称点处 如此下去 1 在图中画出点 M N 并写出 M N 的坐标 2 求经过第 2017 次跳动之后 棋子落在的位置与点 P 的距离 答案答案 1 0 2 M 4 4N 2 经观察可发现跳动为周期数为 3 的周期 1 67232017 所以跳到了 M 点 M 点到 P 点距离为 2222 22 第第 5 55 5 题 题 对于给定的正奇数 n 定义 f n n 1 5 1 3 1 1 计算 2017 f 2017 2 f 1 f 3 f 2015 答案 答案 原式 2015 1 5 1 3 1 1 5 1 3 1 1 3 1 1 1 2 2017 1 5 1 3 1 1 2017 2017 2017 2015 2 2015 2017 5 2012 5 2017 3 2014 3 2017 20162017 1 1111 1009 个 1 1009 第第5 56 6题 题 如图所示 ABC是周长为20的正三角形 P是三角形内一点 PD AB PE BC PF AC 则 PD PE PF 答案 答案 3 20 解析 解析 如图延长 EP 交 AB 与点 G 延长 FP 交 BC 与点 H GFP 为等边三角形 则 FP GP 四边形 GBDP 为平行四边形 则 GP BD PDH 为等边三角形 则 PD DH 四边形 PEHC 为平行四边形 则 PE HC 所以 PD PE PF BD DH HC BC 3 20 第第 5 57 7 题 题 按如图所示的程序计算 若输入 17x 则输出的结果为 22 若输入 34x 则输出结果为 22 当输出的值为 24 时 则输入 x 的值在 0 至 40 之间的 所有正整数为 答案 答案 19 3819 38 解析 解析 使用倒推法 如图所示 输入 5 得到 y 为偶数 为奇数 y 大于等于 20 输出结果 y 小于 20 可知输入数可为 19 和 38 第第 5 58 8 题 题 把长方形的一角折叠得到折痕 EF 如图 1 再折叠使 FC 与 FE 重合 得到折痕 FG 如图 2 如果 EFB 36 则 EFG 度 答案 答案 7272 解析 解析 144180EFBEFC 72144 2 1 2 1 EFCEFG 第第 5 59 9 题 题 1 在图 a 中 猜想 A B C A1 B1 C1 2 如果把图 a 称二环三角形 它的内角和为 A B C A1 B1 C1 把图 b 称为二环四边形 它的内角和为 A B C D A1 B1 C1 D1 把图 c 称为二环五边形 它的内角和为 A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 请你猜一猜 二环 n 边形的内角和为 度 只写结果 答案 答案 1 360 2 n 2 360 解析 解析 1 延长 11A B交 1 AC与点 E 根据三角形一角的外角等于不相邻的两个内角之和得 C 1 A BDE 1 B 1 C AED 四边形 ABDE 的内角和为 A B BDE AED 360 则 A B C 1 A 1 B 1 C 360 2 通过计算可得出二环五边形内角和为 720 二环六边形内角和为 1080 则二环 n 边形的内角和为 2360 n 第第 6 60 0 题 题 在平面直角坐标系中 如图 将线段 AB 平移至线段 CD 连接 AC BD 1 直接写出图中相等的线段 平行的线段 2 已知 A 3 0 B 2 2 点 C 在 y 轴的正半轴上 点 D 在第一象 限内 且 S ACD 5 求点 C D 的坐标 3 如图 在平面直角坐标系中 已知一定点 M 1 0 两个动点 E a 2a 1 F b 2b 3 请你探索是否存在以两个动点 E F 为端点的线段 EF 平 行于线段 OM 且等于线段 OM 若存在 求出点 O M E F 为顶点的四边形的 面积 若不存在 请说明理由 答案答案 1 AB CD AC BD AB CD AC BD 2 C 0 4 D 1 2 3 1 或 3 解析 解析 1 四边形 ABCD 为平行四边形 对边平行且相等 2 C 点在 y 轴上 则设 C 点坐标为 0 y 那么 D 的坐标为 1 y 2 5 2 21 2 24 2 3 4 yy yS ACD 53 2 y 则4 y 所以 C 点坐标 0 4 D 点坐标 1 2 3 因为 EF 平行于 OM 且 OM 在 x 轴上 则 E F 的纵坐标相等 3212 ba 222 ba 1 ba 因为 EF 长度等于 OM 则 EF 长度为 1 当 E 点横坐标大于 F 点横坐标时 1 ba 解得 1 a 1 ba 0 b 所以 E 点坐标 1 3 F 点坐标 0 3 由 O M E F 为顶点组成的四边形 面积 331 当 F 点横坐标大于 E 点横坐标时 1 ab 解得 0 a 1 ba 1 b 所以 E 点坐标 0 1 F 点坐标 1 1 由 O M E F 为顶点组成的四边形 面积 111 所以由 O M E F 为顶点组成的四边形面积可能是 1 或 3 第第 6 61 1 题 题 在同一平面内有 2017 条直线 1 a 2 a 2017 a 如果 1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a 4 a 5 a 那么 2 a 3 a 2017 a这 2016 条直线中 与 1 a垂直的 直线条数是 答案 答案 1008 解析 解析 因为是在同一平面内 21 aa 2 a 3 a 43 aa 4 a 5 a 所以与 1 a垂 直的直线分别为 2 a 3 a 6 a 7 a 2014 a 2015 a共有100822016 条 第第 6 62 2 题 题 已知关于x的不等式组 023 0 x ax 的整数解共有 6 个 则a的取值范围 答案 答案 5 a 4 解析 解析 解不等式组可得 x 的取值范围为 a x 2 3 x 的整数解共有 6 个 为 1 0 1 2 3 4 结合数轴可知 a 的取值范围为 5 a 4 第第 6 63 3 题 题 某工厂接到任务要用甲 乙两种原料生产A B两种产品共50件 已 知每生产一件A产品需甲原料9千克和乙原料3千克 每生产一件B产品需甲原 料4千克和乙原料10千克 现在工厂里只有甲原料360千克和乙原料290千克 那 么该工厂利用这些原料 应该生产A B两种产品各多少件 才能完成任务 请 求出所有的生产方案 答案 答案 方案一 A 产品 30 件 B 产品 20 件 方案二 A 产品 31 件 B 产品 19 件 方案三 A 产品 32 件 B 产品 18 件 解析 解析 解 设 A 产品生产 x 件 则 B 产品生产 50 x 件 根据题意可得 3605049 xx 29050103 xx 解得 3230 x 结合题意 x 可为 30 31 32 则 方案一 A 产品 30 件 B 产品 20 件 方案二 A 产品 31 件 B 产品 19 件 方案三 A 产品 32 件 B 产品 18 件 第第 6 64 4 题 题 如图 在平面直角坐标系中 一动点从原点 O 出发 按向上 向右 向下 向右的方向不断地移动 每移动一个单位 得到点 A1 0 1 A2 1 1 A3 1 0 A4 2 0 那么点 A4n 1 n 为自然数 的坐标为 用 n 表示 答案答案 坐标为 2n 1 解析 解析 观察图像可得 n 0 1 2 3 4n 1 1 5 9 13 14 n A 0 1 2 1 4 1 6 1 观察表格可得出规律 14 n A坐标为 2n 1 第第 6 65 5 题 题 阅读理解 如图 a 在 ABC 中 D 是 BC 的中点 如果用 S表示的面积 则由等 底等高的三角形的面积相等 可得 同理 如图 b 在 中 D E 是 BC 的三等分点 可得 结论应用 已知 的面积为 42 请利用上面的结论解决下列问题 1 如图 1 若 D E 分别是 AB AC 的中点 CD 与 BE 交于点 F DBF 的面积为 2 如图 2 若 D E 是 AB 的三等分点 F G 是 AC 的三等分点 CD 分别交 BF BG 于 M N CE 分别交 BF BG 于 P Q 求 BEP 的面积 3 如图 3 问题 2 中的条件不变 求四边形 EPMD 的面积 答案答案 1 7 DBF S 2 2 BEP S 3 5 EPMD S四边形 解析解析 1 如图连接 DE D E 分别是 AB AC 的中点 DE 是三角形的中位线 DE 2 1 BC 根据沙漏模型 DE BC DF FC 1 2 DF DC 1 3 2142 2 1 2 1 ABCBCD SS ABC ABC 1 2 ABDACDABC SSS ABC 1 3 ABDADEAECABC SSSS ABC 721 3 1 3 1 BCDBDF SS 2 如图连接 AP AM 设aS BPE bS AFP 则aS APE 2 bS PCF 2 则 42 3 1 3 ba 42 3 2 32 ba 解得 2 a 8 b 所以 BEP 的面积为 2 3 设xS AMD yS AMF 则 42 3 1 3 yx 42 3 1 3 yx 联立两式可得7 yx 所以四边形 ADMF 面积 7 四边形 EPMD 面积 ADMFBEFABF SSS 四边形 7214 5 第第 6 66 6 题 题 若 x2 px q x2 2x 3 展开后不含 x2和 x3项 求 p q 的值 答案答案 p 2 q 7 解析 解析 原式qpxxqxpxxqxpxx333222 223234 因为不含 2 x和 3 x项 则 02 p 032 pq 解得 2 p 7 q 第第 6 67 7 题 题 已知 a 1 b 2 a b 3 3 求代数式 2 22 ba ab 的值 答案答案 2 1 解析 解析 3321 baba 3322 aababab 1 ba ab ba 2 22 abba2 2 1 22 2 2 1 ba 2 1 第第 6 68 8 题 题 解方程组 4 4 3 3 38 23 27 35 xyxy xyxy 答案答案 整理方程组得 257 xy 115 xy 解得 101 x 18 y 第第 6 69 9 题 题 已知 x x 1 2 求 x2 2 1 x x4 4 1 x 的值 答案答案 2 1 2 2 x x 2 1 4 4 x x 解析 解析 4 1 2 1 2 22 x x x x 2 1 2 2 x x 4 1 2 1 4 42 2 2 x x x x 2 1 4 4 x x 第第 7 70 0 题 题 分解因式3 2 234 xxxx 答案答案 32132 22234 xxxxxxxx 宇宙空间的长度是以光年为单位的 1 光年是指光在一年内通过的距离 若光速 为 3 105千米 秒 1 年有 3 2 107秒 在宇宙中有一个星球距太阳 29 8 1017 千米 那么太阳光要照到该星球上约需多少年 答案答案 57517 1013102310310829 年 第第 7 71 1 题 题 在 ABC 中 三个内角度数均为整数 且 A B C 4 C 7 A 求 B 的度数 答案答案 59 B 解析 解析 AC 7 4 AC 4 7 180 A 4 7 B A C BA A 4 11 180 B A B C A 4 11 180A A 4 11 180 A 4 7 由 得 A40 40 A 48 A C是整数 AC 4 7 A是 4 的倍数 A 44 77 4 7 AC 59 77 44 180 B 第第 7 72 2 题 题 已知 a b 2 4 1 1 22 a b b a 求 ab 的值 答案答案 3 1 ab 解析 解析 由4 1 1 22 a b b a 可得 abbbaa4 1 1 22 0 4 2 3322 abbababa 0 4 2 22 2222 abbababa 0 422abab 3 1 ab 第第 7 73 3 题 题 周长为 30 各边长互不相等并且都是整数的三角形共有多少个 答案 答案 12 个 解析 解析 设三角形三边分别为 a b c 且 a bc 10 c 15 c 为整数 c 为 11 12 13 14 当 c 为 14 时 有 5 个三角形 分别是 14 13 3 14 12 4 14 11 5 14 10 6 14 9 7 当 c 为 13 时 有 4 个三角形 分别是 13 12 5 13 11 6 13 10 7 13 9 8 当 c 为 12 时 有 2 个三角形 分别是 12 11 7 12 10 8 当 c 为 12 时 有 1 个三角形 分别是 11 10 9 共有 12 个各边长不相等且都是整数的三角形