高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第10讲 函数与方程课件 文.ppt

第10讲 函数与方程 1 函数的零点 1 方程f x 0有实根 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有零点 交点 2 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的 且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 上有零点 一 般把这一结论称为零点存在性定理 2 二分法 如果函数y f x 在区间 m n 上的图象是一条连续不断的曲线 且f m f n 0 通过不断地把函数y f x 的零点所在区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 1 如图2 10 1所示的是函数f x 的图象 它与x轴有4个不同的公共点 给出下列四个区间 不能用二分法求出函数f x 零点的区间是 b 图2 10 1 a 2 1 1 c 4 1 5 b 1 9 2 3 d 5 6 1 2 2012年广东韶关一模 若函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算 参考数据如下表 那么方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根 精确到0 1 为 c a 1 2c 1 4 b 1 3d 1 5 3 方程2x x 4 0的解所在的区间为 c a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 解析 令f x 2x x 4 f 1 f 2 2 0 f x 在 1 2 内有零点 4 函数f x log3x x 2的零点所在的区间为 b a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 函数f x log3x x 2的定义域为 0 且在 0 上单调递增 又f 1 10 函数f x 有唯一零点 且零点在区间 1 2 内 考点1 判断函数零点所在的区间 例1 1 利用计算器 列出自变量和函数值的对应值如下表 那么方程2x x2的一个根位于下列区间中的 a 0 6 1 0 c 1 8 2 2 b 1 4 1 8 d 2 6 3 0 解析 令f x 2x x2 由f 0 6 1 516 0 36 0 f 1 0 2 0 1 0 0 排除a 由f 1 4 2 639 1 96 0 f 1 8 3 482 3 24 0 排除b 由f 2 6 6 063 6 760 f 2 2 4 595 4 84 0 可确定方程2x x2的一个根位于区间 1 8 2 2 上 答案 c 答案 c 规律方法 判断函数y f x 在某个区间上是否存在零点 常用以下三种方法 当对应方程易解时 可通过解方程 看方程是否有根落 在给定区间上 利用函数零点的存在性定理进行判断 通过函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交 点来判断 互动探究 1 2013年重庆 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间 a a a b 和 b c 内b a 和 a b 内c b c 和 c 内d a 和 c 内解析 f a a b a c 0 f b b c b a 0 f a f b 0 f b f c 0 所以两个零点分别位于区间 a b 和 b c 内 考点2 二分法的应用 例2 已知函数f x lnx 2x 6 1 求证 函数f x 在其定义域上是增函数 2 求证 函数f x 有且只有一个零点 1 证明 函数f x 的定义域为 0 设x1 x2 则lnx1 lnx2 2x1 2x2 lnx1 2x1 6 lnx2 2x2 6 f x1 f x2 f x 在 0 上是增函数 2 证明 f 2 ln2 20 f 2 f 3 0 f x 在 2 3 上至少有一个零点 又由 1 知 f x 在 0 上是增函数 因此f x 0至多有一个根 从而函数f x 在 0 上有且只有一个零点 规律方法 1 二分法是求方程根的近似值的一种计算方 法 它只能用来求函数的变号零点 2 给定精度 用二分法求函数y f x 的零点近似值的步骤 如下 确定区间 m n 验证f m f n 0 给定精度 求区间 m n 的中点x1 计算f x1 若f x1 0 则x1就是函数y f x 的零点 若f m f x1 0 则令n x1 此时零点x0 m x1 若f x1 f n 0 则令m x1 此时零点x0 x1 n 互动探究 2 若函数f x 的零点与g x 4x 2x 2的零点之差的绝对 值不超过0 25 则f x 可以是 a f x 4x 1b f x x 1 2c f x ex 1 答案 a 考点3 利用导数讨论方程的根的分布 例3 2013年广东广州一模 已知f x 是二次函数 不等式f x 0的解集是 0 5 且f x 在点 1 f 1 处的切线与直线6x y 1 0平行 1 求f x 的解析式 2 是否存在t n 使得方程f x 37x 0在区间 t t 1 内有两个不相等的实数根 若存在 求出t的值 若不存在 请说明理由 思维点拨 1 由二次不等式f x 0的解集可设出f x 解析 式 利用条件求出f 1 解出待定系数 2 对方程作等价变形 利用导数和变号零点判定法则探求t 函数f x 在点 1 f 1 处的切线与直线6x y 1 0平行 f 1 6 2a 5a 6 解得a 2 f x 2x x 5 2x2 10 x 解 1 方法一 f x 是二次函数 不等式f x 0 f x 2ax 5a 方法二 设f x ax2 bx c 不等式f x 0的解集是 0 5 方程ax2 bx c 0的两根为0 5 c 0 25a 5b 0 f x 2ax b 又函数f x 在点 1 f 1 处的切线与直线6x y 1 0平行 f 1 6 2a b 6 由 解得a 2 b 10 f x 2x2 10 x 互动探究 3 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 a 0个 b 1个 c 2个 d 3个 b 解析 因为f x 2xln2 3x2 0 所以函数f x 2x x3 2在 0 1 内单调递增 又f 0 1 2 10 所以由零点存在性定理知 在区间 0 1 内函数的零点个数为1个 故选b 思想与方法 运用分类讨论思想判断方程根的分布 例题 已知函数f x ax2 x 1 3a a r 在区间 1 1 上有零点 求实数a的取值范围 令f x 0 得x 1是区间 1 1 上的零点 当a 0时 函数f x 在区间 1 1 上有零点分三种情况 方程f x 0在区间 1 1 上有重根 解 方法一 当a 0时 f x x 1 规律方法 1 函数f x ax2 x 1 3a a r 在区间 1 1 上有零点 应该分类讨论 讨论a 0与a 0 讨论有一个零点或有两个零点 如果只有一个零点还要讨论是否是重根 2 函数f x 的零点不是 点 它是一个数 是