高中数学 2.5 第1课时简单的幂函数课件 北师大版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修1 函数 第二章 第二章 5简单的幂函数 第1课时简单的幂函数 数学史上很早就使用 幂 字 起先用于表示面 面积 后来扩充为表示平方或立方 1859年我国清末大数学家李善兰 1811 1882 译成 代微积拾级 一书 创设了不少数学专有名词 如函数 极限 微分 积分等 并把 power 这个词译为 幂 这样 幂 就转译为若干个相同数之积 1 幂函数如果一个函数 底数是 指数是 即y x 这样的函数称为幂函数 自变量x 常数 3 幂函数性质与图像所有的幂函数在 上有定义 并且图像都过点 如果 0 则幂函数的图像还过 并在区间 0 上 如果 0 则幂函数在区间 0 上 在第一象限内 当x从右边趋向于原点时 图像 当x趋向于 时 图像 0 1 1 0 0 递增 递减 与y轴无限接近 与x轴无限接近 2 幂函数y x r 的图像一定不经过 a 第四象限b 第三象限c 第二象限d 第一象限 答案 a 解析 r x 0 y x 0 图像不可能经过第四象限 故选a 4 幂函数y f x 的图像过点 4 2 则f 8 的值等于 函数f x m2 m 5 xm 1是幂函数 且当x 0 时 f x 是增加的 试确定m的值 思路分析 由已知f x 是幂函数 且x 0时是增加的 可先利用幂函数的定义求m的值 再利用单调性对求出的m值进行验证 对幂函数定义的理解 规范解答 根据幂函数的定义得m2 m 5 1 解得m 3或m 2 当m 3时 f x x2在 0 上是增加的 当m 2时 f x x 3在 0 上是减少的 不符合题意 故m 3 规律总结 形如y x 的函数叫幂函数 这里需有 系数为1 指数为一常数 后面不加任何项 这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准 对本例来说 还要根据单调性验根 以免产生增根 答案 c 解析 a b d都是幂函数经过变化得到的函数 c中 y x 1是幂函数 幂函数的图像与性质 思路分析 把分数指数幂化为根式 并使根式有意义 规范解答 1 函数的定义域为r 值域为 0 图像如图 1 所示 2 函数的定义域为 0 值域为 0 其图像如图 2 所示 规律总结 1 画幂函数的图像时 可先画出其在第一象限内的图像 再由定义域 单调性得出在其他象限内的图像 2 幂函数图像的特征 1 在第一象限内 直线x 1的右侧 y x 的图像由上到下 指数 由大变小 在第一象限内 直线x 1的左侧 y x 的图像由上到下 指数 由小变大 2 当 0时 幂函数的图像都经过 0 0 和 1 1 点 在第一象限内 当0 1时 曲线上凸 当 1时 曲线下凸 当 0时 幂函数的图像都经过 1 1 点 在第一象限内 曲线下凸 答案 b 幂函数单调性的应用 当x 1 时 幂函数y x 的图像恒在直线y x的下方 求 的取值范围 错解 如图 1 所示 当0 1时 对于x 1 y x 的图像在直线y x的下方 如图 2 所示 当 0时 也符合题意 故 的取值范围是 1且 0 辨析 忽略了 0这一特殊情况 在求取值范围的题目时 一定要注意隐含条件的挖掘 正解 当0 1时 对于x 1 y x 的图像在直线y x的下方 如图 1 所示 当 0时 对于x 1 y x 的图像也在直线y x的下方 如图 2 所示