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第3讲平面向量的数量积【高考会这样考】1考查平面向量数量积的运算2考查利用数量积求平面向量的夹角、模3考查利用数量积判断两向量的垂直关系【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系基础梳理1两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.3向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的数量积4向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos ；(2)abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别的，aa|a|2或者|a|；(4)cos ；(5)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba；(2)ab(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.6平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)abab0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，则|a|(平面内两点间的距离公式)一个条件两个向量垂直的充要条件：abx1x2y1y20.两个探究(1)若ab0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若ab0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120，而不是60.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知|a|3，|b|2，若ab3，则a与b的夹角为()A. B. C. D.解析设a与b的夹角为，则cos .又0，.答案C2若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc) B(ab)cacbcCm(ab)mamb D(ab)ca(bc)答案D3(2011广东)若向量a，b，c满足ab，且ac，则c(a2b)()A4 B3 C2 D0解析由ab及ac，得bc，则c(a2b)ca2cb0.答案D4已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于()A9 B4 C0 D4解析ab(1x,4)由a(ab)，得1x80.x9.答案A5(2011江西)已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_解析由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得ab2，cosa，b，又a，b0，所以a，b.答案考向一求两平面向量的数量积【例1】(2011合肥模拟)在ABC中，M是BC的中点，|1，2，则()_.审题视点 由M是BC的中点，得2.解析如图，因为M是BC的中点，所以2，又2，|1，所以()24|2|2，故填.答案 当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识【训练1】 如图，在菱形ABCD中，若AC4，则_.解析，故().而，.所以CA28.答案8考向二利用平面向量数量积求夹角与模【例2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|.审题视点 由平面向量数量积的运算法则得ab的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角解(1)(2a3b)(2ab)61，解得ab6.cos ，又0，.(2)|ab|2a22abb213，|ab|.|ab|2a22abb237.|ab|. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|要引起足够重视，是求距离常用的公式【训练2】 已知a与b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角解设a与ab的夹角为，由|a|b|得|a|2|b|2.又由|b|2|ab|2|a|22ab|b|2.ab|a|2，而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|a|.cos .0180，30，即a与ab的夹角为30.考向三平面向量的数量积与垂直问题【例3】已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.审题视点 利用abx1x2y1y20及abx1y2x2y10，求解解(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0.整理，得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.综上，可知|ab|2或2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算【训练3】 已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求实数m，n的值解由于A，B，C三点在同一条直线上，则，(7，1m)，(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0，即mnn5m90，又，2nm0.联立，解得或规范解答10如何解决平面向量与解三角形的综合问题【问题研究】 平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题【解决方案】 解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答【示例】 (本题满分12分)(2010安徽)ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A.(1)求；(2)若cb1，求a的值 先求sin A，再利用面积公式求bc，最后利用数量积及余弦定理可解决解答示范 由cos A，得sin A .(2分)又bcsin A30，bc156.(4分)(1)bccos A156144(8分)(2)a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)1215625，又a0(10分)a5.(12分) 三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用【试一试】 已知ABC的面积S满足S3，且6，设与的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()sin22sin cos 3cos2的最小值尝试解答(1)6，|cos 6.|.又S|sin()3tan ，3tan 3，即tan 1.又(0，)，.(2)f()12cos2sin 2cos 2sin 22sin2，由，得2，2.当2即时，f()min3.第1讲平面向量的概念及线性运算【高考会这样考】1考查平面向量的线性运算2考查平面向量的几何意义及其共线条件【复习指导】本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别基础梳理1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1) 交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；()aaa； (ab)ab.4共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合双基自测1(人教A版教材习题改编)D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A BC. D.解析如图，.答案A2判断下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析只有正确答案A3若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A. B.C. D.解析.答案B4(2011四川)如图，正六边形ABCDEF中，() A0 B.C. D.解析.答案D5设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_.解析由题意知：abk(2ab)，则有：k，.答案考向一平面向量的概念【例1】下列命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行审题视点 以概念为判断依据，或通过举反例说明其正确与否解析由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.答案C 解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2)方向相同【训练1】 给出下列命题：若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若a与b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确命题的序号是_解析正确，错误答案考向二平面向量的线性运算【例2】如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.0B.0C.0D.0审题视点 利用平面向量的线性运算并结合图形可求解析0，2220，即0.答案A 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量，和用平行四边形法则，差用三角形法则【训练2】 在ABC中，c，b，若点D满足2，则()A.bc B.cbC.bc D.bc解析2，2()，32bc.答案A考向三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线审题视点 (1)先证明，共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k.(1)证明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共线，又它们有公共点，A，B，D三点共线(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两不共线的非零向量，kk10.k210.k1. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点【训练3】 (2011兰州模拟)已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是()A2 B1C1 D1解析由ab，ab(，R)及A，B，C三点共线得：t ，所以abt(ab)tatb，即可得所以1.故选D.答案D难点突破11有关平面向量中新定义问题解题策略从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的问题，一般难度较大这类问题的特点是背景新颖，信息量大，通过它可考查学生获取信息、分析并解决问题的能力解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在【示例1】 (2012泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2【示例2】 (2011山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC、D可能同时在线段AB上DC、D不可能同时在线段AB的延长线上第2讲平面向量基本定理及其坐标表示【高考会这样考】1考查平面向量基本定理的应用2考查坐标表示下向量共线条件【复习指导】本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算基础梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b共线一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a(x，y)当平面向量平行移动到时，向量不变，即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知a1a2an0，且an(3,4)，则a1a2an1的坐标为()A(4,3) B(4，3)C(3，4) D(3,4)解析a1a2an1an(3，4)答案C2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c()A3ab B3ab Ca3b Da3b解析设cxayb，则c3ab.答案B3(2012郑州月考)设向量a(m,1)，b(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为()A1 B1 C2 D2解析设ab(0)，即m且1m.解得m1，由于0，m1.答案A4设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c()A(4,6) B(4，6) C(4，6) D(4,6)解析设c(x，y)，则4a(3b2a)c0，答案C5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案1考向一平面向量基本定理的应用【例1】(2012南京质检)如图所示，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则_. 审题视点 由B，H，C三点共线可用向量，来表示.解析由B，H，C三点共线，可令x(1x)，又M是AH的中点，所以x(1x)，又.所以x(1x).答案 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若xy，则x_，y_.解析以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB2，则(2,0)，(0,2)，过D作DFAB交AB的延长线于F，由已知得DFBF，则(2， )xy，(2，)(2x,2y)即有解得另解：，所以x1，y.答案1考向二平面向量的坐标运算【例2】(2011合肥模拟)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐标和.审题视点 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x，y)，则(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18) 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标【训练2】 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案B考向三平面向量共线的坐标运算【例3】已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数k，使得kab与a3b共线，且方向相反？审题视点 根据共线条件求k，然后判断方向解若存在实数k，则kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若这两个向量共线，则必有(k3)(4)(2k2)100.解得k.这时kab，所以kab(a3b)即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值【训练3】 (2011西安质检)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.解析设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3(1m)2(2n)，又c(ab)，3mn0，解得m，n.答案D阅卷报告5平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等【示例】(2011湖南)在边长为1的正三角形ABC中，设误2，3，则_.错因搞错向量的夹角或计算错实录(填错的结论多种)正解由题意画出图形如图所示，取一组基底，结合图形可得()，()22cos 60.答案【试一试】 (2011天津)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_尝试解析以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为5.答案5第4讲平面向量的应用【高考会这样考】1考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题2考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【复习指导】复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点基础梳理1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos (为a与b的夹角)2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题双基自测1(人教A版教材习题改编)某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，则ab表示()A向东南走3 km B向东北走3 kmC向东南走3 km D向东北走3 km解析要求ab，可利用向量和的三角形法则来求解，如图所示，适当选取比例尺作a“向东走3 km”，b“向北走3 km”，则ab.|3(km)，又与的夹角是45，所以ab表示向东北走3 km.答案B2平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(2)()0，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰直角三角形C等腰三角形 D无法确定解析由(2)()0，得()()0，所以()()0.所以|2|20，|，故ABC是等腰三角形答案C3(2012银川模拟)已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，则|2ab|的最大值，最小值分别是()A4,0 B16,0C2,0 D16,4解析设a与b夹角为，|2ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20,16，|2ab|0,4答案A4 在ABC中，已知向量与满足0且，则ABC为()A等边三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形解析由0知ABC为等腰三角形，ABAC.由知，60，所以ABC为等边三角形，故选A.答案A5(2012武汉联考)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是_解析由4，得(x，y)(1,2)4，即x2y4.答案x2y40考向一平面向量在平面几何中的应用【例1】(2010辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设a，b，则OAB的面积等于()A. B.C. D.审题视点 由数量积公式求出OA与OB夹角的余弦，进而得正弦，再由公式Sabsin ，求面积解析cosBOA，则sinBOA ，SOAB|a|b| .答案C平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a|可以求线段的长度，利用cos (为a与b的夹角)可以求角，利用ab0可以证明垂直，利用ab(b0)可以判定平行【训练1】 设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积B以b，c为邻边的平行四边形的面积C以a，b为两边的三角形的面积D以b，c为两边的三角形的面积解析|bc|b|c|cos |，如图，ac，|b|cos |就是以a，b为邻边的平行四边形的高h，而|a|c|，|bc|a|(|b|cos |)，|bc|表示以a，b为邻边的平行四边形的面积答案A考向二平面向量与三角函数的交汇【例2】已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若1，求的值审题视点 首先求出向量、的坐标，第(1)问利用两个向量的模相等建立角的三角方程进行求解；第(2)问利用向量与数量积的坐标运算化简已知条件，得到角的三角函数值，把所求式子化简，寻找两个式子之间的关系解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(cos a3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin ，由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos .又，.(2)由1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .又2sin cos .由式两边分别平方，得12sin cos ，2sin cos .解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决【训练2】 已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|,0，求的值解(1)因为ab，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.从而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin.又由0知，2，所以2或2.因此或.考向三平面向量与平面解析几何交汇【例3】(2012兰州模拟)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且()()0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值审题视点 第(1)问直接设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由()()0，得|PC|2|PQ|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1.所以点P在椭圆上，其方程为1.(2)因()()()()()2221，P是椭圆1上的任一点，设P(x0，y0)，则有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220.因y02，2，所以当y03时，2取得最大值20，故的最大值为19；当y02时，2取得最小值(21)2134，(此时x00)，故的最小值为124.平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法坐标法【训练3】 已知点P(0，3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)，把a代入，得3y0，整理得yx2(x0)难点突破12高考中平面向量与其他知识的交汇问题平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现近几年新课标高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与其他知识交汇的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值一、平面向量与命题的交汇【示例】 (2011陕西)设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是()A若ab，则|a|b|B若ab，则|a|b|C若|a|b|，则abD若|a|b|，则ab二、平面向量与函数【示例】 (2010北京)若a，b是非零向量，且ab，|a|b|，则函数f(x)(xab)(xba)是()A一次函数且是奇函数B一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数D二次函数但不是偶函数平面向量与线性规划(教师备选)【示例】 (2011福建)已知O是坐标原点，点A(1,1)若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()A1,0 B0,1 C0,2 D1,2专题二高考三角函数与平面向量命题动向高考命题分析纵观近年各省的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力在新课标高考试卷中一般有24题，分值约占全卷的14%20%，因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导高考复习无疑有十分重要的意义现聚焦高考三角函数与平面向量试题，揭秘三角函数与平面向量高考命题动向，挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给考生带来帮助和启示高考命题特点新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特点如下：(1)考小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)；简单的三角变换(求值、化简及比较大小)有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合(3)考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深受命题者的青睐主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等(4)考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在知识交汇点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用高考动向透视 考查三角函数的概念及同角三角函数的 基本关系高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三角函数的关系的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等【示例1】(2011福建)若，且sin2cos 2，则tan 的值等于()A. B. C. D.解析由二倍角公式可得sin212sin2，即sin2，sin2，又因为，所以sin ，即，所以tan tan ，故选D.答案D本题考查了三角恒等变换中二倍角公式的灵活运用 考查三角函数的图象及其性质三角函数的图象与性质主要包括：正弦(型)函数、余弦(型)函数、正切(型)函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容，在近年全国各地的高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题，而且对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、函数与导数考查图象的相关性质；解答题主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度中等偏下【示例2】(2011浙江)已知函数f(x)Asin，xR，A0,0，yf(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)(1)求f(x)的最小正周期及的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，PRQ，求A的值解(1)由题意得，T6.因为P(1，A)在yAsin的图象上，所以sin1.又因为0，所以.(2)设点Q的坐标为(x0，A)，由题意可知x0，得x04，所以Q(4，A)，如图，连接PQ，在PRQ中，PRQ，由余弦定理得cosPRQ，解得A23.又A0，所以A. 本题主要考查三角函数的图象与性