高中数学第一章1.3二项式定理1.3.2二项式定理课堂导学案.docx

1.3.2 二项式定理（2）课堂导学三点剖析一、二项式定理的应用解决整除、余数有关问题【例1】 9192除以100的余数是多少？ 解析:9192=（100-9）92=10092-100919+1009092-100991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.992=（10-1）92=1092-1091+1090-+102-10+（-1）92=1092-1091+1090-+102-920+1=（1092-C91+1090-+102-1 000）+81被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.二、二项式定理的应用近似计算问题【例2】 一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率P（单位：马力）和螺旋桨的直径D（单位：米）的关系是P=6D5,已知D=3.11，求P(精确到100马力)解析：D=3.11P=6(3.11)5=6(3+0.11)5=635+340.11+33(0.11)2+ (0.11)5在精确到100马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计.P635+340.11=6（243+44.55）=1 725.31 700即所消耗的功率约为1 700马力.温馨提示 在用二项式定理求近似值时，要根据题目精确度的要求，合理选取二项展开式的某几项进行求值，特别当h很小而n又很大时，（1+h）n1+nh是工业计算中经常使用的粗算公式.三、二项式定理的应用证明不等式【例3】 证明：2(1+)n3(nN*)证明：当n=1时，（1+1）1=2,当n1时，（1+）n=1+1+1+2，2(1+)n又(1+)n=1+=2+1-32(1+)n3温馨提示证明(1+)n3还可以有如下的证法：(1+)n=3.在证明过程中，要善于联想数列求和的各种方法.恰当地进行放缩.各个击破【类题演练1】1+3+32+399被4除所得的余数为_.解析：1+3+32+399=3100-1=(4-1)100-1=4100-499+-41+-1=8（498-497+2-50）原式被4除所得的余数为0.【变式提升1】求证：3 2n+3-24n+37能被64整除.证明：32n+3-24n+37=39n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(8n+1+8n+)-24n+37=364(8n-1+8n-2+)+24-24n+40=643(8n-1+8n-2+)+64是64的倍数故原式可被64整除.【类题演练2】某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增长0.2%，则100天后这家公司的股票指数约为_（精确到0.001）.解析：100天后指数为2(1+)100=2（1+0.002）100=2(1+0.002+0.0022+0.0023+)2(1+0.2+0.019 8+0.001 293 6)=2.442答案：2.442【变式提升2】一种A型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年的价格是57.6万元（含28.8万元关税税款）.某人在2001年将33万元存入银行，若该银行扣利息税后的年利率是1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（每一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息能否购买一辆A型进口汽车？解析：33万元存入银行，到2006年得到的本息和为33（1+0.018）5=33(1+0.018+0.0182+0.0185)33(1+0.090+0.003 24)=36.076 92.到2006年A型进口汽车的价格为28.8+28.8=36.因为36.076 9236，所以五年到期后这笔钱连本带息能够买一辆A型进口汽车.【类题演练3】 当nN*，求证：(1+)n(1+)n+1证明：因为(1+)n=1+,其中=(1-)(1-)(1-)(1-)(1-)(1-)=(1+)n1+=(1+)n【变式提升3】已知i,m,n是正整数，且1imn，（1）证明；