第二讲动点存在性问题

第一讲第一讲 动点存在性问题动点存在性问题 一 一 考情分析考情分析 中考分值在近年中考中 考察了存在性问题 考查方式存在性问题一般都是以最后一道压轴题出现的 几乎都是函数 代数 几何的综合 题目 集多个知识点为一体 集多种解题思想于一题 综合性强 能力要求高 二 知识回顾二 知识回顾 1 1 题型分类 题型分类 在中考中 存在性问题一般分为四类 1 是否存在三角形 等腰三角形 直角三角形 2 是否存在四边形 平行四边形 直角梯形和等腰梯形 3 是否存在三角形与已知三角形相似或者全等 4 是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系 2 2 方法归纳 方法归纳 在解决动点存在性问题时 一般先假设其存在 得到方程 如果有解 则存在 反之 则不存在 而在列方程时 一般要用到特殊三角形以及特殊平行四边形的性质 相似 解直角三角形等知识点 需要注意的是 列方程时 一定 要遵循 用两种不同的方法表示同一个量 否则 将会得到 1 1 之类的恒等式 对于是否存在三角形 一般按顶点分为三类情况 而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目 如果已知三个定点 就有三种情况 一般利用平移坐标法即可 求出答案 如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角线平行两种情况考虑了 对于等腰梯形 就应该考虑腰长在下底边上的投影了 对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等 则与是否存在三角形一样 分三类情况 当然 如果有一个角 是一个定角 比如直角 则就分为两类情况 成功寄语 失败一定有原因 成功一定有方法 2 类型一 类型一 是否存在三角形 等腰三角形 直角三角形 是否存在三角形 等腰三角形 直角三角形 A 典型例题 1 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC C 90 BC 16 DC 12 AD 21 动点 P 从点 D 出发 沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运 动 动点 Q 从点 C 出发 在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动 点 P Q 分别从点 D C 同时出发 当点 Q 运动到点 B 时 点 P 随之停止运动 设 运动的时间为 t 秒 当 t 为何值时 以 B P Q 三点为顶点 的三角形是等腰三角形 C 典型例题 2 如图 2 在等腰梯形ABCD中 ADBC E是AB的中点 过点E作 EFBC 交CD于点F 46ABBC 60B 1 求点E到BC的距离 2 点P为线段EF上的一个动点 过P作PMEF 交BC于点M 过M作MNAB 交 折线ADC于点N 连结PN 设EPx 当点N在线段AD上时 如图 3 PMN 的形状是否发生改变 若不变 求出PMN 的 周长 若改变 请说明理由 当点N在线段DC上时 如图 4 是否存在点P 使PMN 为等腰三角形 若存在 请求出所有满足要求的x的值 若不存在 请说明理由 学习心学习心 得得 A B Q C PD 图 1 成功寄语 失败一定有原因 成功一定有方法 11 B 典型例题 3 如图 已知直线与轴交于点 A 与轴交于点 D 抛物线 1 1 2 yx yx 与直线交于 A E 两点 与轴交于 B C 两点 且 B 点坐标为 1 0 2 1 2 yxbxc x 求该抛物线的解析式 动点 P 在 x 轴上移动 当 PAE 是直角三角形时 求点 P 的坐标 P 练习 B 1 如图 6 在梯形中 ABCD 动点从点出发沿线段以每秒354 245ADBCADDCABB MBBC 2 个单位长度的速度向终点运动 动点同时从点出发沿线段以每秒 1 个单位长度的速CNCCD 度向终点运动 设运动的时间为 秒 Dt 1 求的长 BC 2 试探究 为何值时 为等腰三角形 tMNC AD CB M N 图 6 成功寄语 失败一定有原因 成功一定有方法 13 C 2 如图 在中 分点别是边RtABC 90A 6AB 8AC DE ABAC 的中 点从点出发沿方向运动 过点作于 过点作交PDDEPPQBC QQQRBA 于 当点与点重合时 点停止运动 设 ACRQCPBQx QRy 1 求点到的距离的长 DBCDH 2 求关于的函数关系式 不要求写出自变量的取值范围 yx 3 是否存在点 使为等腰三角形 若存在 请求出所有满足要求的的值 若不PPQR x 存在 请说明理由 B 3 已知抛物线 交 x 轴于 2 23ykxkxk A B 两点 A 在 B 的左边 交 y 轴于 C 点 且 y 有最大 值 4 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线上是否存在点 P 使 PBC 是直角三角形 若存在 求出 P 点坐标 若不存在 说明理由 A BC D E R P H Q 图 7 成功寄语 失败一定有原因 成功一定有方法 13 类型二 类型二 是否存在四边形 平行四边形 直角梯形和等腰梯形 是否存在四边形 平行四边形 直角梯形和等腰梯形 B 典型例题 4 如图 抛物线 2 3yaxbx 与x轴交于AB 两点 与y轴交于C点 且 经过点 23 a 对称轴是直线1x 顶点是M 1 求抛物线对应的函数表达式 2 经过C M两点作直线与x轴交于点N 在抛物线上是否存 在这样的点P 使以点PACN 为顶点的四边形为平行 四边形 若存在 请求出点P的坐标 若不存在 请说明理 由 C 典型例题 5 如图 抛物线与 x 轴交 A B 两点 A 点在 B 点左侧 直线 2 23yxx 与抛物线交于 A C 两点 其中 C 点的横坐标为 2 l 1 求 A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式 2 点 G 是抛物线上的动点 在 x 轴上是否存在点 F 使 A C F G 这样的四个点为顶点的四 边形是平行四边形 如果存在 求出所有满足条件的 F 点坐标 如果不存在 请说明理由 O B x y A M C 1 3 图 9 成功寄语 失败一定有原因 成功一定有方法 13 A 典型例题 6 梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AD 24cm AB 8cm BC 26cm 动点 P 从点 A 开始 沿 AD 边 以 1 厘米 秒的速度向点 D 运动 动点 Q 从点 C 开始 沿 CB 边 以 3 厘米 秒的速度向 B 点运动 已知 P Q 两点分别从 A C 同时出发 当其中一点到达端点时 另一点也随之停止运动 假设运动时间为 t 秒 问 1 t 为何值时 四边形 PQCD 是直角梯形 2 t 为何值时 四边形 PQCD 是等腰梯形 搭配练习 B 1 已知抛物线 xxy2 2 1 2 1 1 求抛物线的顶点坐标 1 y 2 将抛物线向右平移 2 个单位 再向上平移 1 个单位 得到抛物线 求抛物线的解 1 y 2 y 2 y 析式 3 如图 抛物线的顶点为P 轴上有一动点 2 yx M 在 这两条抛物线上是否存在点N 使O 原点 1 y 2 y P M N四点构成以OP为一边的平行四边形 若存在 求出N点的坐标 若不存在 请说明理由 成功寄语 失败一定有原因 成功一定有方法 13 B 2 已知二次函数cbxaxy 2 的图象经过点 A 3 0 B 2 3 C 0 3 1 求此函数的解析式及图象的对称轴 2 点P从B点出发以每秒 0 1 个单位的速度沿线段BC向C点运动 点Q从O点出发以相同的速 度沿线段OA向A点运动 其中一个动点到达端点时 另一个也随之停止运动 设运动时间为t 秒 当t为何值时 四边形ABPQ为等腰梯形 类型三 类型三 是否存在三角形与已知三角形相似或者全等是否存在三角形与已知三角形相似或者全等 B 典型例题 7 如图 14 二次函数的图象经过点 D 0 且顶点 C 的横坐标为 4 该图 3 9 7 象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6 1 求二次函数的解析式 成功寄语 失败一定有原因 成功一定有方法 13 2 在抛物线上是否存在点 Q 使 QAB 与 ABC 相似 如果存在 求出点 Q 的坐标 如果不存 在 请说明理由 搭配练习 C 如图 已知抛物线y 3 4 x2 bx c与坐标轴交于A B C三点 A点的坐标为 1 0 过点C的直线y 3 4t x 3 与x轴交于点Q 点P是线段BC上的一个动点 过P作 PH OB于点H 若PB 5t 且 0 t 1 1 填空 点C的坐标是 b c 2 求线段QH的长 用含t的式子表示 3 依点P的变化 是否存在t的值 使以P H Q为顶点的三角形与 COQ相似 若存在 求出所有t的值 若不存在 说明理由 类型四 类型四 是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系 成功寄语 失败一定有原因 成功一定有方法 13 C 典型例题 8 如图 16 有两个形状完全相同的直角三角形 ABC 和 EFG 叠放在一起 点 A 与 点 E 重合 已知 AC 8cm BC 6cm C 90 EG 4cm EGF 90 O 是 EFG 斜边上的 中点 如图 17 若整个 EFG 从图 的位置出发 以 1cm s 的速度沿射线 AB 方向平移 在 EFG 平移的同时 点 P 从 EFG 的顶点 G 出发 以 1cm s 的速度在直角边 GF 上向点 F 运动 当点 P 到达点 F 时 点 P 停止运动 EFG 也随之停止平移 设运动时间为 x s FG 的延长线交 AC 于 H 四边形 OAHP 的面积为 y cm2 不考虑点 P 与 G F 重合的情况 1 当 x 为何值时 OP AC 2 求 y 与 x 之间的函数关系式 并确定自变量 x 的取值范围 3 是否存在某一时刻 使四边形 OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13 24 若存在 求出 x 的值 若不存在 说明理由 参考数据 1142 12996 1152 13225 1162 13456 或 4 42 19 36 4 52 20 25 4 62 21 16 搭配练习 C 如图 在梯形ABCD中 点ADBC 6cmAD 4cmCD 10cmBCBD 由B出发沿BD方向匀速运动 速度为 1cm s 同时 线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动 P 速度为 1cm s 交于Q 连接PE 若设运动时间为 s 解答下列问题 BDt05t 1 当 为何值时 tPEAB 2 设的面积为 cm2 求与 之间的函数关系式 PEQ yyt 成功寄语 失败一定有原因 成功一定有方法 13 3 是否存在某一时刻 使 若存在 求出此时 的值 若不存在 说明理t 2 25 PEQBCD SS t 由 成功寄语 失败一定有原因 成功一定有方法 13 四 复习建议四 复习建议 动点问题主要是以几何图形为载体 运动变化为主线 集多个知识点为一体 集多种解题思想 于一题 是学生的中考路上最大的 拦路虎 而存在性问题又是动点问题中最难的一类题型 不 过 由于此类型题目的基本解题思路及方法是确定的 对于中等及中等以上学生一般是很容易掌握 的 难点在于 解题过程中的细节处理上 建议考生以本课程提供的四大类题型 8 个小题型 中 的 8 道例题 分类学习各题型的解题的解题方法和常用技巧 并辅以适量的中考真题 五 课后作业五 课后作业 基础训练题 基础训练题 A A 类 类 1 如图所示 在梯形中 ABCD 点是90614ADBCABCADABBC M 线段上一定点 且 8 动点从点出发沿BCMCPC 的路线运动 运动到点停止 在点的运CDAB BP 动过程中 使为等腰三角形的点有 PMC P 个 2 1 将抛物线y1 2x2向右平移 2 个单位 得到抛物线y2的图象 则y2 2 如图 P是抛物线y2对称轴上的一个动点 直线x t平行 于y轴 分别与直线y x 抛物线y2交于点A B 若 ABP是以点 A或点B为直角顶点的等腰直角三角形 求满足条件的t的值 则t 3 如图 在钝角三角形ABC中 AB 6cm AC 12cm 动点D从A点 出发到B点止 动点E从C点出发到A点止 点D运动的速度为 1cm 秒 点E运动的速度为 2cm 秒 如果两点同时运动 那么当以点A D E为顶 点的三角形与 ABC相似时 运动的时间是 A 3 秒或 4 8 秒 B 3 秒 C 4 5 秒 D 4 5 秒或 4 8 秒 4 如图 8 AB是 O的直径 弦BC 2cm F是弦BC的中点 ABC 60 若 动点E以 2cm s 的速度从A点出发沿着A B A方向运动 设运动时间为 t s 0 t 3 连结EF 当t值为 s时 BEF是直角三角形 成功寄语 失败一定有原因 成功一定有方法 12 提高训练 提高训练 B B 类 类 1 如图 在平面直角坐标系内 已知点 A 0 6 点 B 8 0 动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上 以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动 同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度 的速度向点 A 移动 设点 P Q 移动的时间为 t 秒 1 求直线 AB 的解析式 2 当 t 为何值时 APQ 与 AOB 相似 3 当 t 为何值时 APQ 的面积为个平方单位 5 24 2 如图 24 已知抛物线3 2 bxaxy a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 3 0 与y 轴交于点C 1 求抛物线的解析式 2