高中数学 4. 1.2函数的极值课件 北师大版选修11.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修1 1 导数应用 第四章 1函数的单调性与极值1 2函数的极值 第四章 结合函数的图像 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值 极小值 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性 函数的极值与导数的关系 1 如图是函数y f x 的图像 在x a邻近的左侧f x 单调递 f x 0 右侧f x 单调递 f x 0 在x a邻近的函数值都比f a 小 且f a 0 在x b邻近情形恰好相反 图形上与a类似的点还有 e f e 与b类似的点还有 我们把点a叫作函数f x 的极 值点 f a 是函数的一个极 值 把点b叫作函数f x 的极 值点 f b 是函数的一个极 值 增 减 c f c d f d 大 大 小 小 2 一般地 已知函数y f x 及其定义域内一点x0 对于包含x0在内的开区间 a b 内的所有点x 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为 f x f x0 极大值 极大值点 f x f x0 极小值 极小值点 极值 极值点 1 按定义 极值点x0是区间 a b 内部的点 不会是端点a b 2 极值是一个局部性概念 只要在一个小区域内成立即可 要注意极值必须在区间内的连续点取得 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值 在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值 也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系 即极大值不一定比极小值大 极小值也不一定比极大值小 如图 2 若x 2和x 4是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 则有 a a 2 b 4b a 3 b 24c a 1 b 3d a 2 b 4 答案 b 3 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图像如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案 a 解析 f x 0时 f x 单调递增 f x 0时 f x 单调递减 极小值点应有先减后增的特点 即f x 0 f x 0 f x 0 由图像可知只有1个极小值点 4 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大值等于 a 2b 3c 6d 9 答案 d 求函数y 3x3 x 1的极值 分析 首先对函数求导 然后求方程y 0的根 再检查y 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么y在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么y在这个根处取得极小值 利用导数求函数的极值 方法规律总结 1 当函数f x 在点x0处连续时 判断f x0 是否为极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 3 如果f x 在点x0的左 右两侧符号不变 则f x0 不是函数f x 的极值 2 利用导数求函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 已知函数极值求参数 设x 1与x 2是函数f x alnx bx2 x的两个极值点 1 试确定常数a和b的值 2 判断x 1 x 2是函数f x 的极大值点还是极小值点 并说明理由 方法规律总结 已知函数极值 确定函数解析式中的参数时 注意以下两点 1 根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证充分性 已知函数f x ax3 bx2 当x 1时 有极大值3 1 求a b的值 2 求函数f x 的极小值 答案 1 a 6 b 9 2 0 利用导函数图像研究原函数 右图是函数y f x 的导函数y f x 的图像 对此图像 有如下结论 在区间 2 1 内f x 是增函数 在区间 1 3 内f x 是减函数 x 2时 f x 取到极大值 在x 3时 f x 取到极小值 其中正确的是 将你认为正确的序号填在横线上 分析 给出了y f x 的图像 应观察图像找出使f x 0与f x 0的x的取值范围 并区分f x 的符号由正到负和由负到正 再做判断 方法规律总结 给出函数图像研究函数性质的题目 要分清给的是f x 的图像还是f x 的图像 若给的是f x 的图像 应先找出f x 的单调区间及极 最 值点 如果给的是f x 的图像 应先找出f x 的正负区间及由正变负还是由负变正 然后结合题目特点分析求解 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图像如图所示 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有一个极大值点 两个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点 答案 c 分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用 注意极大值点与极小值点的区别 辨析 根据极值定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 上述解法未验证x 1时函数两侧的单调性 导致错误 正解 在上述解法之后继续 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以