培优专题2_勾股定理及应用(含解答)-

1 勾股定理及应用勾股定理及应用 勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠 在西方数学史上称之为 毕达哥拉斯定理 例例 1 1 已知一直角三角形的斜边长是 2 周长是 2 求这个三角形的面积 6 分析分析 由斜边长是 2 周长是 2 易知两直角边的和是 又由勾股定理可知两直角边的平方和为66 4 列关于两直角边的方程 只需求出两直角边长的积 即可求得三角形的面积 本题中用到数学解题中常用的 设而不求 的技巧 要熟练掌握 解 设直角三角形的两直角边为 a b 根据题意列方程得 222 2 226 ab ab 即 22 4 6 ab ab 式两边同时平方再减去 式得 2ab 2 ab 1 2 1 2 S 1 2 因此 这个三角形的面积为 1 2 练习练习 1 1 1 已知 如图 2 1 AD 4 CD 3 ADC 90 AB 13 ACB 90 求图形中阴影部分的面积 B A C D 2 1 2 已知 长方形 ABCD AB CD AD BC AB 2 AD DC 长方形 ABCD 的面积为 S 沿长方形的对称轴折 叠一次得到一个新长方形 求这个新长方形的对角线的长 3 若线段 a b c 能组成直角三角形 则它们的比值可以是 A 1 2 4 B 1 3 5 C 3 4 7 D 5 12 13 2 例例 2 2 如图 2 2 把一张长方形纸片 ABCD 折叠起来 使其对角顶点 A C 重合 若其长 BC 为 a 宽 AB 为 b 则 折叠后不重合部分的面积是多少 分析分析 图形沿 EF 折叠后 A C 重合 可知四边形 AFED 与四边形 CFED 全等 则对应边 角相等 AF FC 且 FC AE 则 ABF AD E 由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积 解 图形沿 EF 折叠后 A C 重合 四边形 AFED 与 CFED 关于 EF 对称 则四边形 AFED 四边形 CFED AFE CFE AF FC D D B 90 AB CD AD AD BC AEF EFC AEF AFE 则 AE AF Rt ABF Rt AD E 在 Rt ABF 中 B 90 AB2 BF2 AF2 设 BF x b2 x2 a x 2 x 22 2 ab a S 2S ABF 2 bx 2 b 1 2 1 2 22 2 ab a 22 2 b ab a 练习练习 2 2 1 如图 2 3 把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠 使点 C 落在 C 的位置上 已知 AB 3 BC 7 重合部分 EBD 的面积为 2 如图 2 4 一架长 2 5m 的梯子 斜放在墙上 梯子的底部 B 离墙脚 O 的距离是 0 7m 当梯子的顶部 A 向下滑 0 4m 到 A 时 梯子的底部向外移动多少米 2 4 2 2 2 3 3 3 如图 2 5 长方形 ABCD 中 AB 3 BC 4 若将该矩形折叠 使 C 点与 A 点重合 则折叠后痕迹 EF 的 长为 A 3 74 B 3 75 C 3 76 D 3 77 2 5 例例 3 3 试判断 三边长分别为 2n2 2n 2n 1 2n2 2n 1 n 为正整数 的三角形是否是直角三角形 分析分析 先确定最大边 再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形 解 n 为正整数 2n2 2n 1 2n2 2n 2n2 2n 1 2n2 2n 1 0 2n2 2n 1 2n 1 2n2 2n 1 2n 1 2n2 0 2n2 2n 1 为三角形中的最大边 又 2n2 2n 1 2 4n4 8n3 8n2 4n 1 2n2 2n 2 2n 1 2 4n4 8n3 8n2 4n 1 2n2 2n 1 2 2n2 2n 2 2n 1 2 这个三角形是直角三角形 练习练习 3 3 1 若 ABC 的三边 a b c 满足 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 则 ABC 是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形 2 如图 2 6 在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点 E 为 BC 上一点 且 EC BC 猜想 AF 与 EF 的位置关系 1 4 并说明理由 2 6 3 ABC 中的三边分别是 m2 1 2m m2 1 m 1 那么 A ABC 是直角三角形 且斜边长为 m2 1 B ABC 是直角三角形 且斜边长为 2m C ABC 是直角三角形 但斜边长由 m 的大小而定 D ABC 不是直角三角形 4 例例 4 4 已知 如图 2 7 所示 ABC 中 D 是 AB 的中点 若 AC 12 BC 5 CD 6 5 求证 ABC 是直角三角形 分析分析 欲证 ABC 是直角三角形 在已知两边 AC BC 的情况下求边 AB 的长 比较困难 但注意到 CD 是 边 AB 的中线 我们延长 CD 到 E 使 DE CD 从而有 BDE ADC 这样 AC BC 2CD 就作为 BCE 的三边 再用勾股定理的逆定理去判定 证明 延长 CD 到 E 使 DE CD 连结 BE AD BD CD ED ADC BDE ADC BDE SAS BE AC 12 A DBE AC BE 在 BCE 中 BC2 BE2 52 122 169 CE2 2CD 2 2 6 5 2 169 BC2 BE2 CE2 EBC 90 又 AC BE ACB 180 EBC 90 ABC 是直角三角形 练习练习 4 4 1 已知 a b c 为 ABC 的三边 且满足 a2c2 b2c2 a2 b2 试判断 ABC 的形状 先阅读下列解题过程 解 a2c2 b2c2 a4 b4 c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2 ABC 为直角三角形 问 1 上述推理过程 出现错误的一步是 2 本题的正确结论是 2 如图 2 8 ABC 的三边分别为 AC 5 BC 12 AB 13 将 ABC 沿 AD 折叠 使 AC 落在 AB 上 求折痕 AD 的长 3 如图 2 9 ABC 中 ACB 90 AC BC P 是 ABC 内一点 满足 PA 3 PB 1 PC 2 求 BPC 的度 数 2 7 5 例例 5 5 如图 2 10 ABC 中 AB AC 20 BC 32 D 是 BC 上一点 且 AD AC 求 BD 的长 分析分析 若作 AE BC 于 E 如图 2 11 利用勾股定理可求出 AE 12 AD 是 Rt ADC 的直角边 AD CD AC 若设 DE x 借助于 AD 这个 桥 可以列出方程 解 作 AE BC 于 E AB AC AE BC BE EC BC 32 16 1 2 1 2 在 Rt AEC 中 AE2 AC2 CE2 202 162 144 AE 12 设 DE x 则在 Rt ADE 中 AD2 AE2 DE2 144 x2 在 Rt ACD 中 AD2 CD2 AC2 16 x 2 202 144 x2 16 x 2 202 解得 x 9 BD BE DE 16 9 7 练习练习 5 5 1 如图 2 12 ABC 中 C 90 M 是 BC 的中点 MD AB 于 D 求证 AD2 AC2 BD2 2 12 2 如图 2 13 AB AD AB 3 BC 12 CD 13 AD 4 求四边形 ABCD 的面积 2 13 3 如图 2 14 长方体的高为 3cm 底面是正方形 边长为 2cm 现有绳子从 A 出发 沿长方形表面到达 C 处 问绳子最短是多少厘米 2 14 2 10 2 11 6 勾股定理及应用勾股定理及应用 答案答案 练习练习 1 1 1 24 提示 利用勾股定理即可求出 2 长方形的对称轴有 2 条 要分别讨论 1 以 A B 为对称点 如图 S AB BC AB 2 BC AD 2 S 根据对称性得 DF AB 1 1 2 由于 D 90 据勾股定理得 AF 2 22 1 4 S ADDF 1 2 2 4S 2 以 A D 为对称点 如图 BF BC 1 24 S 由 B 90 据勾股定理得 AF 3 D 2 22 4 16 S ABBF 2 1 64 4 S 练习练习 2 2 1 提示 利用 Rt ABE 的勾股定理即可求出 2 0 8m 3 B 21 4 练习练习 3 3 1 B 2 AF EF 提示 连结 AE 设正方形的边长为 a 则 DF FC EC 在 Rt ADF 中 由勾股定理 2 a 4 a 得 AF2 AD2 DF2 a2 2 a2 2 a5 4 同理 在 Rt ECF 中 EF2 2 2 a2 2 a 4 a5 16 在 Rt ABE 中 BE a 则 AE2 a2 a2 a2 3 4 9 16 25 16 a2 a2 a2 5 4 5 16 25 16 AF2 EF2 AE2 AFE 90 AF EF 3 A 点拨 利用勾股定理的逆定理来判定 7 练习练习 4 4 1 1 2 ABC 为直角三角形或等腰三角形 2 AC2 BC2 52 122 132 AB2 C 90 将 ABC 沿 AD 折叠 使 AC 落在 AB 上 C 的对称点为 E 如图 CD DE AC AE 5 则 ACD AED 又 BE AB AE 8 设 CD 为 x 则 x2 82 12 x 2 解之得 x AD2 52 2 AD 10 3 10 3 5 13 3 3 过点 C 作 CE CP 并截 CE CP 2 连结 PE BE 如图 ACB PCE 90 ACB PCB PCE PCB 即 ACP BCE PCA ECB SAS BE AP 3 在 Rt PCE 中 PE2 PC2 CE2 8 又 BP2 1 BE2 9 BE2 BP2 PE2 PBE 是直角三角形 其中 BPE 90 在 Rt PCE 中 PC CE CPE CEP 45 BPC CPE BPE