高中数学2.3.2圆的一般方程优化训练新人教B版必修.docx

2.3.2 圆的一般方程5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是( )A.m B.m D.m解析：方程x2+y2-x+y+m=0，变形为(x-)2+(y+)2=-m，方程表示圆，-m0，即m.答案：A2.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆( )A.关于x轴对称 B.关于原点对称C.关于直线x-y=0对称 D.关于直线x+y=0对称解析：考查方程表示圆的判定、直觉思维能力.圆的方程化为(x+a)2+(y-a)2=2a2,圆心(-a,a).由圆心坐标易知圆心在x+y=0上,圆关于x+y=0对称.答案：D3.已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是点P，则点P到直线x-y-1=0的距离是_.解析：本题考查圆的一般方程向标准方程的转化和点到直线的距离公式.由x2-4x-4y20得(x-2)2+y2=8,即圆心为(2,0),根据点到直线的距离公式可得.答案：10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值是( )A.-1 B.2 C.-1或2 D.1解析：本题考查圆的一般方程,由可得a=-1或a=2(舍).答案：A2.方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示圆，当该圆面积最大时，圆心坐标为( )A.(0,-1) B.(1,-1) C.(-1,0) D.(-1,1)解析：由半径最大可求k值为0，进而求圆心坐标.答案：A3.若直线l将圆x2+y2-4x-2y=0平分,并且l不经过第二象限,则直线l的斜率的取值范围是( )A.1,2 B.,+) C.2,+) D.(-,解析：由已知,l过圆的圆心C(2,1),又l不过第二象限,画图分析,知直线l的斜率kkOC=.答案：B4.试判断A(1,2),B(0,1),C(1,-6),D(4,3)四点是否在同一圆上.解：因为线段AB、BC的斜率分别为kAB=1，kBC=-7，kABkBC，所以A、B、C三点不共线.过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2-8x+4y-5=0.因为42+32-84+43-5=0，所以点D在此圆上.故A、B、C、D四点共圆.5.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0.(1)t为何值时,方程表示圆?(2)t为何值时,方程表示的圆半径最大?请求出半径最大时圆的方程.解：(1)方程表示圆的条件是-2(t+3)2+2(1-4t2)2-4(16t4+9)0，即7t2-6t-10.解得t1.当t1时,方程表示圆.(2)当t1时,方程表示圆,其半径为r=.当t=时，半径有最大值,rmax=,此时圆心坐标为(t+3,4t2-1),即().故半径最大时,圆的方程为()2+()2=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是( )A.a-2 B.a0 C.-2a0 D.-2a解析：由D2+E2-4F0可得.答案：D2.曲线x2+y2+22x-22y=0关于( )A.直线x=2轴对称 B.直线y=-x轴对称C.点(-2,2)中心对称 D.点(-2,0)中心对称解析：将圆方程化为标准方程得(x+)2+(y-)2=4.圆心()在直线y=-x上，故圆关于y=-x轴对称.故选B.答案：B3.设A、B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A.4x-3y-2=0 B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0 D.3x+4y+8=0解析：即求过圆心(0，-2)且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程，即y+2=x，整理,得4x-3y-6=0.答案：B4.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )A.36 B.18 C. D.解析：x2+y2-4x-4y-10=0(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为.由点到直线的距离公式得,由数形结合思想可得:该圆上点到已知直线的距离的最小值为,最大值为,故所求距离之差为.答案：C5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A.y= B.y=C.y= D.y=解析：设直线方程为y=kx,由圆心(-2,0)到直线kx-y=0(k0)的距离等于圆的半径1，得=1，解得k=,所以所求直线方程为y=.答案：C6.已知A(-2,0)、B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则ABC的面积的最大值为( )A. B. C. D.解：要使ABC的面积最大,即要求点C到AB的距离最大,亦即求圆上点中到直线AB距离的最大值,应为圆心到直线AB距离d与半径r之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d为,即C到AB的距离的最大值为+1,故ABC面积的最大值为|AB|(+1)=.答案:D7.直线x-y+4=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长为( )A. B. C. D.解析：利用圆半径r、弦心距d、弦的关系:弦长为.答案：B8.设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是_.解析：直线AB的方程与点P和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得.答案：x+y-5=09.已知3x+4y-10=0与圆x2+y2-5y+F=0相交于A、B两点，且OAOB(O是原点)，则F=_.解析：易得圆x2+y2-5y+F=0的圆心坐标为(0,),它在3x+4y-10=0上，再由OAOB，可知圆x2+y2-5y+F=0过原点O，将O(0,0)代入圆方程可求得F=0.答案：010.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为_.解析：将圆的一般方程配方化为标准方程(x-1)2+(y-1)2=1,圆心C(1,1)，r=1,如图所示.方法一:从运动观点看问题：当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或向右下方无穷远处运动时，RtPAC的面积SRtPAC=d(P,A)d(A,C)=d(P,A)越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当P点从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小.显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时d(P,C)=3，从而d(P,A)=.S四边形PACB的最小值=2d(P,A)d(A,C)=.方法二：利用等价转化的思想：设P点坐标为(x,y),则d(P,C)=，由勾股定理及|AC|=1，得d(P,A)=.从而S四边形PACB=2SPAC=2d(P,A)d(A,C)=d(P,A)=,从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x,y)的距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x+4y+8=0距离的平方，即d2=()2=9.S四边形PACB最小值=.方法三：利用函数的思想.将方法二中S四边形PACB=中的y，从3x+4y+8=0中解出，代入关于x的一元函数，进而用配方法求最值，也可得S四边形PACB的最小值=.答案：11.已知实数x、y满足关系式：x2+y2-6x-4y+12=0,点P(x,y),A(-1,0),B(1,0).(1)求的最大值与最小值；(2)求x2+y2的最大值与最小值；(3)求x-y的最大值与最小值.解：(1)设=k,则y=kx,当直线y=kx与圆x2+y2-6x-4y+12=0，即(x-3)2+(y-2)2=1相切时，取得最值