宁海正学中学选修2-1-3.2立体几何中的向量方法(二)2012.12.24

选修2-1-3.2立体几何中的向量方法（二）2012.12.24班级_姓名_学号_1、正方体中，是中点，求证：平面平面证明：设分别是平面，平面的一条法向量，设正方体的棱长是2则E（2，1，0），F（1，2，0），（2，2，2），（1，0，2）（0，1，2），所以 ， ，由和 求得 ， ， 所以 所以， 所以两个平面平行。2、已知正方体ABCDA1B1C1D1中，边长AB=2，E，F分别是，DC的中点。求证：D1F平面AED；zxy证明：建立空间直角坐标系D-xyzABCDA1B1C1D1EF 则 A（2，0，0），E（2，2，1）， F（0，1，0），设是平面DAE的一条法向量则由 求得 因为，所以D1F平面AEDzPDCBA3、如图四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形， ABDC，PA底面ABCD， 且PA=AD=DC=AB=1y 求证：面PAD面PCDx证明：建立空间直角坐标系A-xyz,因为PA=AD=DC=AB=1所以 B（0，2，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）则 ， ， 设是平面PCD的一条法向量则由 得 又容易证得是平面PAD的法向量又， 所以面PAD面PCD4已知向量 。5已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a+3b|= 。6在平面直角坐标系中，A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（2）设实数满足，求的值。7(2009全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 ( A. B. C. D.解析：如图连结A1B，则有A1BCD1，A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，BE=，A1B=.由余弦定理可知：cosA1BE=答案：C8正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(-a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030. 答案：309、已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ADABAA12BC，E为DD1的中点，F为A1D的中点则直线EF与平面A1CD所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：AB，AD，AA1两两垂直，故以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设BC1，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，E(0,2,1)，F(0,1,1)，(0,1,0)，设平面A1CD的一个法向量为n(1，y，z)，则，故n(1,2,2)，则sin|cosn，|，故直线EF与平面A1CD所成的角的正弦值为.答案：C10、已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的EzxD1yAC1B1A1BDC中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角余弦值。解：如图4，建立空间直角坐标系， （0，1，0），（1，0，1），（0，1）设平面ABC1D1的法向量为（x，y，1）,由 、可解得（1，0，1） 设直线AE与平面ABC1D1所成的角为，则，故直线AE与平面 ABC1D1所成的角为arcsin。11、