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文档简介
6 1不等关系和不等式 1 不等式的定义在客观世界中 量与量之间的不等关系是普遍存在的 我们用数学符号 连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系 含有这些不等号的式子 叫做不等式 2 比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的 有a b 0 a b a b 0 a b 另外 若b 0 则有 1 a b 1 a b 1 a b a b 0 a b c 3 不等式的基本性质 ac bc a c b d 4 不等式与不等式性质的注意事项 1 同向可加性及同向同正可乘性可以推广到两个以上的不等式 2 注意不等式性质的单向性或双向性 也就是说 每条性质是否具有可逆性 在应用性质时要准确把握条件是结论的充要条件还是充分条件 3 在应用不等式的性质时 一定要搞清它们成立的前提条件 a 在应用传递性时 如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号 那么等号是传递不过去的 如a b bb ac2 bc2 若无c 0这个条件 则a b ac2 bc2就是错误的 当c 0时 ac2 bc2 4 应用不等式性质时切忌想当然 如 a b 是常见的一种错误 事实上 0 1 对于实数a b c 有以下命题 若a b 则acbc2 则a b 若aab b2 若c a b 0 则 若a b 则a 0 bbc2知c 0 则c2 0 则a b 故为真 中 由可得ab b2 由可得a2 ab a2 ab b2 故为真 中 由a b得 a b c a c b c 而c a b 0 0 0 又a b 0 故为真 中 由a b得a b 0 由 0 又b ab a 0 b 0 故为真 2 已知a b为实数 命题甲 ab b2 命题乙 b2等价于a b 0或ab2 即必要性成立 故选b 3 2015浙江绍兴一中回头考 已知m 2 a2 b2 n 2a 4b 2ab 7 且a b r 则m n的大小关系为 答案m n解析 m n 2 a2 b2 2a 4b 2ab 7 a2 2a 1 b2 4b 4 a2 2ab b2 2 a 1 2 b 2 2 a b 2 2 0 m n c c 4 设f x ax2 bx 1 f 1 2 2 f 1 4 则f 2 的取值范围是 答案 5 10 解析设f 2 mf 1 nf 1 m n为待定系数 则4a 2b m a b n a b 即4a 2b m n a n m b 于是有解得 f 2 3f 1 f 1 又 1 f 1 2 2 f 1 4 5 3f 1 f 1 10 故5 f 2 10 c 5 设x y为实数 满足3 xy2 8 4 9 则的最大值是 答案27解析 4 9 又 3 xy2 8 而 且 xy2 2 27 c 6 若 则 2 的取值范围是 答案解析 又 则 0 0 又 2 c 不等关系与大小比较典例1 2015浙江 6 5分 有三个房间需要粉刷 粉刷方案要求 每个房间只用一种颜色 且三个房间颜色各不相同 已知三个房间的粉刷面积 单位 m2 分别为x y z 且x y z 三种颜色涂料的粉刷费用 单位 元 m2 分别为a b c 且a b c 在不同的方案中 最低的总费用 单位 元 是 a ax by czb az by cxc ay bz cxd ay bx cz答案b解析用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间 且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间 这样所需总费用最低 最低总费用为 az by cx 元 故选b c 比较大小的常用方法 1 作差法 一般步骤 作差 变形 定号 结论 其中关键是变形 常采用配方 因式分解 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式 当两个式子 都为正数时 有时也可以先平方再作差 2 作商法 一般步骤 作商 变形 判断商与1的大小 结论 3 特值法 若是选择题 填空题 可以用特值法比较大小 若是解答题 可先用特值探究思路 再用作差法或作商法判断 1 1 2015浙江丽水模拟 6 已知 10 由a b 1 a2 1 a2 2a2 0 得a b 由c a 1 a2 0 得c a 综上 得b a c c 1 2 2015浙江嘉兴五校第一次联考 4 设a b是实数 则 a b 1 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件答案a解析因为a 所以若a b 1 显然a 0 则充分性成立 当a b 时 不等式a b 成立 但不满足a b 1 所以必要性不成立 故选a c 不等式性质的应用典例2 2014四川 4 5分 若a b 0 cb d 解法二 依题意取a 2 b 1 c 2 d 1 代入验证得a b c均错 只有d正 确 c 判断关于不等式的命题真假的三种方法 1 直接运用不等式的性质 把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑 找到与命题相关的性质 然后进行推理判断 2 利用函数的单调性 当直接利用不等式性质不能比较大小时 可以利用指数函数 对数函数 幂函数等的单调性进行判断 3 特殊值验证法 给所要判断的几个式子中涉及的变量赋一些特殊值进行比较 判断 2 1 2015浙江杭州学军中学第五次月考 1 1的一个充分不必要条件是 a x yb x y 0c x yd y x 0答案b解析由不等式的性质可知a c d都不是充分条件 所以选b c a2 b2 b3 a2 b2 2ab 恒成立的不等式的个数是 答案2解析当a 1 b 2时 显然 不成立 对于 a3 b3 a b a2 ab b2 0 所以 恒成立 对于 a2 b2 2ab a b 2 0 所以a2 b2 2ab 即 恒成立 综上所述 恒成立的不等式个数为2 2 2 2015河南高考适应性测试 已知a b ab 0 则下列不等式中 c 利用不等式性质求范围典例3 2015江苏盐城一模 5 若 1 a b 3 2 a b 4 则2a 3b的取值范围为 答案解析设2a 3b m a b n a b 即2a 3b m n a m n b 则有解得所以2a 3b a b a b 又因为 1 a b 3 2 a b 4 所以 a b 2 a b 1 所以 2a 3b c 利用不等式性质时应注意的两点 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围 但应注意两点 一是必须严格运用不等式的性质 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围 解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系 最后通过不等关系的运算求解范围 3 1 2015浙江浙大附中段考 已知f x ax2 c 且 4 f 1 1 1 f 2 5 则f 3 的取值范围是 答案 1 20 解析由题意得解得所以f 3 9a c f 1 f 2 因为 4 f 1 1 所以 f 1 因为 1 f 2 5 所以 f 2 两式相加 得 1 f 3 2
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