全国卷数学导数真题整理

第 1 页 共 23 页 全国卷数学导数真题整理全国卷数学导数真题整理 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 14 小题 小题 1 2015 河北 已知函数 f x x3 ax g x lnx i 当 a 为何值时 x 轴为曲线 y f x 的切线 ii 用 min m n 表示 m n 中的最小值 设函数 h x min f x g x x 0 讨论 h x 零点的个数 分析 i f x 3x2 a 设曲线 y f x 与 x 轴相切于点 P x0 0 则 f x0 0 f x0 0 解出即可 ii 对 x 分类讨论 当 x 1 时 g x lnx 0 可得函数 h x min f x g x g x 0 即可得出零点的个数 当 x 1 时 对 a 分类讨论 a a 即可得出零点的个数 当 x 0 1 时 g x lnx 0 因此只考虑 f x 在 0 1 内的零点个数即可 对 a 分类讨论 当 a 3 或 a 0 时 当 3 a 0 时 利用导数研究其单调性极值即可得 出 解答 解 i f x 3x2 a 设曲线 y f x 与 x 轴相切于点 P x0 0 则 f x0 0 f x0 0 解得 a 因此当 a 时 x 轴为曲线 y f x 的切线 第 2 页 共 23 页 ii 当 x 1 时 g x lnx 0 函数 h x min f x g x g x 0 故 h x 在 x 1 时无零点 当 x 1 时 若 a 则 f 1 a 0 h x min f 1 g 1 g 1 0 故 x 1 是函数 h x 的一个零点 若 a 则 f 1 a 0 h x min f 1 g 1 f 1 0 故 x 1 不是函 数 h x 的零点 当 x 0 1 时 g x lnx 0 因此只考虑 f x 在 0 1 内的零点个数即可 当 a 3 或 a 0 时 f x 3x2 a 在 0 1 内无零点 因此 f x 在区间 0 1 内 单调 而 f 0 f 1 a 当 a 3 时 函数 f x 在区间 0 1 内有一个零点 当 a 0 时 函数 f x 在区间 0 1 内没有零点 当 3 a 0 时 函数 f x 在内单调递减 在内单调递 增 故当 x 时 f x 取得最小值 若 0 即 则 f x 在 0 1 内无零点 若 0 即 a 则 f x 在 0 1 内有唯一零点 若 0 即 由 f 0 f 1 a 当时 f x 在 0 1 内有两个零点 当 3 a时 f x 在 0 1 内有一个零点 第 3 页 共 23 页 综上可得 当或 a 时 h x 有一个零点 当 a 或时 h x 有两个零点 当时 函数 h x 有三个零点 点评 本题考查了导数的运算法则 利用导数的几何意义研究切线方程 利用导数研究 函数的单调性极值 考查了分类讨论思想方法 推理能力与计算能力 属于难题 2 2015 新课标 II 设函数 f x emx x2 mx 1 证明 f x 在 0 单调递减 在 0 单调递增 2 若对于任意 x1 x2 1 1 都有 f x1 f x2 e 1 求 m 的取值范围 分析 1 利用 f x 0 说明函数为增函数 利用 f x 0 说明函数为减函数 注意 参数 m 的讨论 2 由 1 知 对任意的 m f x 在 1 0 单调递减 在 0 1 单调递增 则恒成立问 题转化为最大值和最小值问题 从而求得 m 的取值范围 解答 解 1 证明 f x m emx 1 2x 若 m 0 则当 x 0 时 emx 1 0 f x 0 当 x 0 时 emx 1 0 f x 0 若 m 0 则当 x 0 时 emx 1 0 f x 0 当 x 0 时 emx 1 0 f x 0 所以 f x 在 0 时单调递减 在 0 单调递增 第 4 页 共 23 页 2 由 1 知 对任意的 m f x 在 1 0 单调递减 在 0 1 单调递增 故 f x 在 x 0 处取得最小值 所以对于任意 x1 x2 1 1 f x1 f x2 e 1 的充要条件是 即 设函数 g t et t e 1 则 g t et 1 当 t 0 时 g t 0 当 t 0 时 g t 0 故 g t 在 0 单调递减 在 0 单调递增 又 g 1 0 g 1 e 1 2 e 0 故当 t 1 1 时 g t 0 当 m 1 1 时 g m 0 g m 0 即合式成立 当 m 1 时 由 g t 的单调性 g m 0 即 em m e 1 当 m 1 时 g m 0 即 e m m e 1 综上 m 的取值范围是 1 1 点评 本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用 属于难题 高考压轴题 3 2014 广西 函数 f x ln x 1 a 1 讨论 f x 的单调性 第 5 页 共 23 页 设 a1 1 an 1 ln an 1 证明 an 分析 求函数的导数 通过讨论 a 的取值范围 即可得到 f x 的单调性 利用数学归纳法即可证明不等式 解答 解 函数 f x 的定义域为 1 f x 当 1 a 2 时 若 x 1 a2 2a 则 f x 0 此时函数 f x 在 1 a2 2a 上是 增函数 若 x a2 2a 0 则 f x 0 此时函数 f x 在 a2 2a 0 上是减函数 若 x 0 则 f x 0 此时函数 f x 在 0 上是增函数 当 a 2 时 f x 0 此时函数 f x 在 1 上是增函数 当 a 2 时 若 x 1 0 则 f x 0 此时函数 f x 在 1 0 上是增函数 若 x 0 a2 2a 则 f x 0 此时函数 f x 在 0 a2 2a 上是减函数 若 x a2 2a 则 f x 0 此时函数 f x 在 a2 2a 上是增函数 由 知 当 a 2 时 此时函数 f x 在 1 上是增函数 当 x 0 时 f x f 0 0 即 ln x 1 x 0 又由 知 当 a 3 时 f x 在 0 3 上是减函数 当 x 0 3 时 f x f 0 0 ln x 1 下面用数学归纳法进行证明 an 成立 第 6 页 共 23 页 当 n 1 时 由已知 故结论成立 假设当 n k 时结论成立 即 则当 n k 1 时 an 1 ln an 1 ln an 1 ln an 1 ln 即当 n k 1 时 成立 综上由 可知 对任何 n N 结论都成立 点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系 以及利用数学归纳法证明不等式 综合性较强 难度较大 4 2014 新课标 II 已知函数 f x ex e x 2x 讨论 f x 的单调性 设 g x f 2x 4bf x 当 x 0 时 g x 0 求 b 的最大值 已知 1 4142 1 4143 估计 ln2 的近似值 精确到 0 001 分析 对第 问 直接求导后 利用基本不等式可达到目的 对第 问 先验证 g 0 0 只需说明 g x 在 0 上为增函数即可 从而问题 转化为 判断 g x 0 是否成立 的问题 对第 问 根据第 问的结论 设法利用的近似值 并寻求 ln2 于是在 b 2 及 b 2 的情况下分别计算 最后可估计 ln2 的近似值 第 7 页 共 23 页 解答 解 由 f x 得 f x ex e x 2 即 f x 0 当且仅当 ex e x即 x 0 时 f x 0 函数 f x 在 R 上为增函数 g x f 2x 4bf x e2x e 2x 4b ex e x 8b 4 x 则 g x 2 e2x e 2x 2b ex e x 4b 2 2 ex e x 2 2b ex e x 4b 4 2 ex e x 2 ex e x 2 2b ex e x 2 ex e x 2 4 当 2b 4 即 b 2 时 g x 0 当且仅当 x 0 时取等号 从而 g x 在 R 上为增函数 而 g 0 0 x 0 时 g x 0 符合题意 当 b 2 时 若 x 满足 2 ex e x 2b 2 即 得 此时 g x 0 又由 g 0 0 知 当时 g x 0 不符合题意 综合 知 b 2 得 b 的最大值为 2 1 4142 1 4143 根据 中 g x e2x e 2x 4b ex e x 8b 4 x 第 8 页 共 23 页 为了凑配 ln2 并利用的近似值 故将 ln即代入 g x 的解析式中 得 当 b 2 时 由 g x 0 得 从而 令 得 2 当 时 由 g x 0 得 得 所以 ln2 的近似值为 0 693 点评 1 本题三个小题的难度逐步增大 考查了学生对函数单调性深层次的把握能力 对思维的要求较高 属压轴题 2 从求解过程来看 对导函数解析式的合理变形至关重要 因为这直接影响到对导数符号 的判断 是解决本题的一个重要突破口 3 本题的难点在于如何寻求 ln2 关键是根据第 2 问中 g x 的解析式探究 b 的值 从而获得不等式 这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值 达到了估值的目的 5 2014 新课标 I 设函数 f x aexlnx 曲线 y f x 在点 1 f 1 处得 切线方程为 y e x 1 2 求 a b 证明 f x 1 分析 求出定义域 导数 f x 根据题意有 f 1 2 f 1 e 解出即可 第 9 页 共 23 页 由 知 f x 1 等价于 xlnx xe x 设函数 g x xlnx 函数 h x 只需证明 g x min h x max 利用导数可分别求得 g x min h x max 解答 解 函数 f x 的定义域为 0 f x 由题意可得 f 1 2 f 1 e 故 a 1 b 2 由 知 f x exlnx f x 1 exlnx 1 lnx f x 1 等价于 xlnx xe x 设函数 g x xlnx 则 g x 1 lnx 当 x 0 时 g x 0 当 x 时 g x 0 故 g x 在 0 上单调递减 在 上单调递增 从而 g x 在 0 上的最小值为 g 设函数 h x xe x 则 h x e x 1 x 当 x 0 1 时 h x 0 当 x 1 时 h x 0 故 h x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 从而 h x 在 0 上的最大值为 h 1 综上 当 x 0 时 g x h x 即 f x 1 第 10 页 共 23 页 点评 本题考查导数的几何意义 利用导数求函数的最值 证明不等式等 考查转化思 想 考查学生分析解决问题的能力 6 2013 新课标 已知函数 f x x2 ax b g x ex cx d 若曲线 y f x 和曲 线 y g x 都过点 P 0 2 且在点 P 处有相同的切线 y 4x 2 求 a b c d 的值 若 x 2 时 f x kg x 求 k 的取值范围 分析 对 f x g x 进行求导 已知在交点处有相同的切线及曲线 y f x 和 曲线 y g x 都过点 P 0 2 从而解出 a b c d 的值 由 I 得出 f x g x 的解析式 再求出 F x 及它的导函数 通过对 k 的讨 论 判断出 F x 的最值 从而判断出 f x kg x 恒成立 从而求出 k 的范围 解答 解 由题意知 f 0 2 g 0 2 f 0 4 g 0 4 而 f x 2x a g x ex cx d c 故 b 2 d 2 a 4 d c 4 从而 a 4 b 2 c 2 d 2 由 I 知 f x x2 4x 2 g x 2ex x 1 设 F x kg x f x 2kex x 1 x2 4x 2 则 F x 2kex x 2 2x 4 2 x 2 kex 1 由题设得 F 0 0 即 k 1 令 F x 0 得 x1 lnk x2 2 若 1 k e2 则 2 x1 0 从而当 x 2 x1 时 F x 0 当 x x1 时 F x 0 即 F x 在 2 x1 上减 在 x1 上是增 故 F x 在 2 上的最小值为 F x1 第 11 页 共 23 页 而 F x1 x1 x1 2 0 x 2 时 F x 0 即 f x kg x 恒成立 若 k e2 则 F x 2e2 x 2 ex e 2 从而当 x 2 时 F x 0 即 F x 在 2 上是增 而 F 2 0 故当 x 2 时 F x 0 即 f x kg x 恒成立 若 k e2时 F x 2e2 x 2 ex e 2 而 F 2 2ke 2 2 0 所以当 x 2 时 f x kg x 不恒成立 综上 k 的取值范围是 1 e2 点评 此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程 函数恒成立问题 考查分类讨 论思想 解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质 此题是一道中档题 7 2013 新课标 已知函数 f x ex ln x m 设 x 0 是 f x 的极值点 求 m 并讨论 f x 的单调性 当 m 2 时 证明 f x 0 分析 求出原函数的导函数 因为 x 0 是函数 f x 的极值点 由极值点处的导 数等于 0 求出 m 的值 代入函数解析式后再由导函数大于 0 和小于 0 求出原函数的单调区 间 证明当 m 2 时 f x 0 转化为证明当 m 2 时 f x 0 求出当 m 2 时函数 的导函数 可知导函数在 2 上为增函数 并进一步得到导函数在 1 0 上有唯 一零点 x0 则当 x x0时函数取得最小值 借助于 x0是导函数的零点证出 f x0 0 从 而结论得证 解答 解 x 0 是 f x 的极值点 解得 m 1 第 12 页 共 23 页 所以函数 f x ex ln x 1 其定义域为 1 设 g x ex x 1 1 则 g x ex x 1 ex 0 所以 g x 在 1 上为增 函数 又 g 0 0 所以当 x 0 时 g x 0 即 f x 0 当 1 x 0 时 g x 0 f x 0 所以 f x 在 1 0 上为减函数 在 0 上为增函数 证明 当 m 2 x m 时 ln x m ln x 2 故只需证明当 m 2 时 f x 0 当 m 2 时 函数在 2 上为增函数 且 f 1 0 f 0 0 故 f x 0 在 2 上有唯一实数根 x0 且 x0 1 0 当 x 2 x0 时 f x 0 当 x x0 时 f x 0 从而当 x x0时 f x 取得最小值 由 f x0 0 得 ln x0 2 x0 故 f x 0 综上 当 m 2 时 f x 0 第 13 页 共 23 页 点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数在闭区间上的最值 考 查了不等式的证明 考查了函数与方程思想 分类讨论的数学思想 综合考查了学生分析 问题和解决问题的能力 熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键 是难题 8 2013 秋 梁子湖区校级月考 已知函数 I 若 x 0 时 f x 0 求 的最小值 II 设数列 an 的通项 an 1 分析 I 由于已知函数的最大值是 0 故可先求出函数的导数 研究其单调性 确定 出函数的最大值 利用最大值小于等于 0 求出参数 的取值范围 即可求得其最小值 II 根据 I 的证明 可取 由于 x 0 时 f x 0 得出 考察发现 若取 x 则可得出 以此为依据 利用放缩法 即可得到结论 解答 解 I 由已知 f 0 0 f x f 0 0 欲使 x 0 时 f x 0 恒成立 则 f x 在 0 上必为减函数 即在 0 上 f x 0 恒成立 当 0 时 f x 0 在 0 上恒成立 为增函数 故不合题意 若 0 时 由 f x 0 解得 x 则当 0 x f x 0 所以 当 0 x 时 f x 0 此时不合题意 若 则当 x 0 时 f x 0 恒成立 此时 f x 在 0 上必为减函数 所以 当 x 0 时 f x 0 恒成立 第 14 页 共 23 页 综上 符合题意的 的取值范围是 即 的最小值为 II 令 由 I 知 当 x 0 时 f x 0 即 取 x 则 于是 a2n an ln2n lnn ln2 所以 点评 本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法 解题的关键是充 分利用已有的结论再结合放缩法 本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想 有一定 的难度 9 2013 秋 城关区校级月考 设函数 f x ax cosx x 0 讨论 f x 的单调性 设 f x 1 sinx 求 a 的取值范围 分析 求导函数 可得 f x a sinx x 0 sinx 0 1 对 a 进行分类讨论 即可确定函数的单调区间 第 15 页 共 23 页 由 f x 1 sinx 得 f 1 a 1 1 可得 a 构造函数 g x sinx 0 x 可得 g x 0 0 x 再考虑 0 x 即可得到结论 解答 解 求导函数 可得 f x a sinx x 0 sinx 0 1 当 a 0 时 f x 0 恒成立 f x 单调递减 当 a 1 时 f x 0 恒成立 f x 单调 递增 当 0 a 1 时 由 f x 0 得 x1 arcsina x2 arcsina 当 x 0 x1 时 sinx a f x 0 f x 单调递增 当 x x1 x2 时 sinx a f x 0 f x 单调递减 当 x x2 时 sinx a f x 0 f x 单调递增 由 f x 1 sinx 得 f 1 a 1 1 a 令 g x sinx 0 x 则 g x cosx 当 x时 g x 0 当时 g x 0 g x 0 即 0 x 当 a 时 有 当 0 x时 cosx 1 所以 f x 1 sinx 当时 1 1 sinx 综上 a 第 16 页 共 23 页 点评 本题考查导数知识的运用 考查函数的单调性 考查函数的最值 解题的关键是 正确求导 确定函数的单调性 10 2011 新课标 已知函数 f x 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线 方程为 x 2y 3 0 求 a b 的值 如果当 x 0 且 x 1 时 f x 求 k 的取值范围 分析 I 求出函数的导数 利用切线方程求出切线的斜率及切点 利用函数在切点处 的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上 列出方程组 求出 a b 值 II 将不等式变形 构造新函数 求出新函数的导数 对参数 k 分类讨论 判断出导函 数的符号 得到函数的单调性 求出函数的最值 求出参数 k 的范围 解答 解 由题意 f 1 1 即切点坐标是 1 1 由于直线 x 2y 3 0 的斜率为 且过点 1 1 故 即解得 a 1 b 1 由 知 所以 考虑函数 x 0 则 第 17 页 共 23 页 i 设 k 0 由知 当 x 1 时 h x 0 而 h 1 0 故 当 x 0 1 时 h x 0 可得 当 x 1 时 h x 0 可得h x 0 从而当 x 0 且 x 1 时 f x 0 即 f x ii 设 0 k 1 由于当 x 1 时 k 1 x2 1 2x 0 故 h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得h x 0 与题设矛盾 iii 设 k 1 此时 h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得 h x 0 与题设矛盾 综合得 k 的取值范围为 0 点评 本题考查导数的几何意义 函数在切点处的导数值是切线的斜率 考查构造函数 通过导数研究函数的单调性 求出函数的最值 考查了分类讨论的数学思想方法 11 2010 全国卷 设函数 f x 1 e x 证明 当 x 1 时 f x 第 18 页 共 23 页 设当 x 0 时 f x 求 a 的取值范围 分析 1 将函数 f x 的解析式代入 f x 整理成 ex 1 x 组成新函数 g x ex x 1 然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数 g x 的最小值 g 0 进而 g x g 0 可得证 2 先确定函数 f x 的取值范围 然后对 a 分 a 0 和 a 0 两种情况进行讨论 当 a 0 时根据 x 的范围可直接得到 f x 不成立 当 a 0 时 令 h x axf x f x x 然后对函数 h x 进行求导 根据导函数判断单调性并求出最值 求 a 的范围 解答 解 1 当 x 1 时 f x 当且仅当 ex 1 x 令 g x ex x 1 则 g x ex 1 当 x 0 时 g x 0 g x 在 0 是增函数 当 x 0 时 g x 0 g x 在 0 是减函数 于是 g x 在 x 0 处达到最小值 因而当 x R 时 g x g 0 时 即 ex 1 x 所以当 x 1 时 f x 2 由题意 x 0 此时 f x 0 当 a 0 时 若 x 则 0 f x 不成立 当 a 0 时 令 h x axf x f x x 则 f x 当且仅当 h x 0 因为 f x 1 e x 所以 h x af x axf x f x 1 af x axf x ax f x i 当 0 a 时 由 1 知 x x 1 f x 第 19 页 共 23 页 h x af x axf x a x 1 f x f x 2a 1 f x 0 h x 在 0 是减函数 h x h 0 0 即 f x ii 当 a 时 由 i 知 x f x h x af x axf x ax f x af x axf x af x f x 2a 1 ax f x 当 0 x 时 h x 0 所以 h x 0 所以 h x h 0 0 即 f x 综上 a 的取值范围是 0 点评 本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式 考查考生综合运用知识的能力 及分类讨论的思想 考查考生的计算能力及分析问题 解决问题的能力 导数常作为高考 的压轴题 对考生的能力要求非常高 它不仅要求考生牢固掌握基础知识 基本技能 还 要求考生具有较强的分析能力和计算能力 估计以后对导数的考查力度不会减弱 作为压 轴题 主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题 利用导数证明不等式等 常伴随对参 数的讨论 这也是难点之所在 12 2010 全国卷 已知函数 f x x 1 lnx x 1 若 xf x x2 ax 1 求 a 的取值范围 证明 x 1 f x 0 分析 先根据导数公式求出导函数 f x 代入 xf x x2 ax 1 将 a 分离出来 然后利用导数研究不等式另一侧的最值 从而求出参数 a 的取值范围 第 20 页 共 23 页 根据 I 可知 g x g 1 1 即 lnx x 1 0 然后讨论 a 与 1 的大小 从而确定 x 1 的符号 然后判定 f x 与 0 的大小即可证得结论 解答 解 xf x xlnx 1 题设 xf x x2 ax 1 等价于 lnx x a 令 g x lnx x 则 当 0 x 1 g x 0 当 x 1 时 g x 0 x 1 是 g x 的最大值点 g x g 1 1 综上 a 的取值范围是 1 由 知 g x g 1 1 即 lnx x 1 0 当 0 x 1 时 f x x 1 lnx x 1 xlnx lnx x 1 0 当 x 1 时 f x lnx xlnx x 1 0 所以 x 1 f x 0 点评 本题主要考查了利用导数研究函数的最值 以及利用参数分离法求参数的取值范 围 同时考查了运算求解的能力 属于中档题 13 2009 全国卷 设函数 f x x2 aln 1 x 有两个极值点 x1 x2 且 x1 x2 求 a 的取值范围 并讨论 f x 的单调性 第 21 页 共 23 页 证明 f x2 分析 1 先确定函数的定义域然后求导数 f x 令 g x 2x2 2x a 由题意知 x1 x2是方程 g x 0 的两个均大于 1 的不相等的实根 建立不等关系解之即可 在函数 的定义域