北师大版高考数学选修23同步教案 第2部分 复习课（2） 概率

北师大版高考数学选修23同步教案 第2部分 复习课（2） 概率 复习课 (二)概率离散型随机变量的分布列考查方式离散型随机变量的概率分布列是求随机变量的数学期望和方差的基础，而求分布列需要综合应用排列、组合和概率的相关知识，是高考考查的重点内容之一在近几年高考中主要以大题形式综合考查，难度以低、中档为主备考指要求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算不难发现，正确求出离散型随机变量的分布列是解题的关键求离散型随机变量的分布列有三个步骤 (1)明确随机变量X取哪些值； (2)计算随机变量X取每一个值时的概率； (3)将结果用二维表格形式给出，计算概率时注意结合排列与组合知识.典例(xx天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14. (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率解 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X0)?112?113?11414，P(X1)12?113?114?11213?114?112?113141124，P(X2)?112131412?113141213?11414，P(X3)121314124.所以随机变量X的分布列为X0123机变量X的数学期望EX0141112421431241312. (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)1411241124141148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.题组训练1一袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的均值是_(用数字作答)解析令取红球个数为X(X0,1,2)，P(X0)C22C25110，P(X1)C13C12C2535，P(X2)C23C25310.则X的分布列为X012P11035310于是EX011013523101.2，故红球个数的均值为1.2.答案1.22小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队 (1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X的分布列和数学期望解 (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C2828种，X0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X0)82827. (2)两向量数量积X的所有可能取值为2，1,0,1，X2时，有2种情形；X1时，有10种情形；X1时，有8种情形所以X的分布列为X2101P1145142727EX(2)114(1)514027127314.条件概率与独立事件概率考查方式高考对条件概率与独立事件概率考查，主要是概率的求法，多以解答题一问出现，一般难度较低备考指要1.求解条件概率，要利用计算公式 (1)对于古典概率的题目，可采用缩减样本空间的办法求条件概率或用P(B|A). (2)直接利用公式P(B|A)求解.2.对于相互独立事件要注意区分与互斥事件的不同，解题时先要注意判断事件是互斥，还是相互独立，然后选择相应的公式解题. (1)当事件A，B互斥时，那么事件AB发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率和 (2)当事件A，B相互独立时，那么AB发生(即A，B同时发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率之积.典例乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响求 (1)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和X的分布列与数学期望解 (1)记A i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)，则P(A3)12，P(A1)13，P(A0)1121316；记B i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)，则P(B3)15，P(B1)35，P(B0)1153515.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)1215131516351615310，所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为310. (2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得P(X0)P(A0B0)1615130，P(X1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)1315163516，P(X2)P(A1B1)133515，P(X3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)12151615215，P(X4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)123513151130，P(X6)P(A3B3)1215110.可得随机变量X的分布列为X012346P13016152151130110所以数学期望EX013011621532154113061109130.题组训练1从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A.18B.14C.25D.12解析选B P(A)C23C22C2541025，P(AB)C22C25110.由条件概率计算公式，得P(B|A)11041014.2甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判 (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望解 (1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”，则AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2)14. (2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”则P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3)18.P(X2)P(B1B3)P(B1)P(B3)14，P(X1)1P(X0)P(X2)1181458.EX0P(X0)1P(X1)2P(X2)98.超几何分布、二项分布考查方式超几何分布、二项分布属于离散型随机变量的分布列，是高考的重点和热点主要考查分布列及均值的求法，以解答题为主，难度中等备考指要熟练掌握二项分布和超几何分布的概率公式P(Xk)C kn pk(1p)nk和P(Xk)CkM C nk NMC nN，弄清N，M，n，k等的数值及含义，并能代入公式求出随机变量的概率及分布列.典例(xx山东高考)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示 (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)C48C510518. (2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X0)C56C510142，P(X1)C46C14C510521，P(X2)C36C24C5101021，P(X3)C26C34C510521，P(X4)C16C44C510142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142故X的数学期望是EX0152121021352141422.题组训练1一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个现从中随机摸出3个球 (1)求至少摸到一个红球的概率； (2)求摸到黑球的个数X的分布列、均值解 (1)至少摸到1个红球的概率为1C33C3811565556. (2)由题意知X服从参数N8，M3，n3的超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，则P(Xk)Ck3C3k5C38(k0,1,2,3)，P(X0)C03C35C38528，P(X1)C13C25C381528，P(X2)C23C15C381556，P(X3)C33C38156.X的分布列为X0123P52815281556156EX05281152821556315698.2(xx浙江高考)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，nN，n2)，这些球除颜色外完全相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，mn的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k1,2,3，mn)123mn (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p； (2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明E(X) (1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为pCn1mn1C nmnnmn. (2)证明随机变量X的概率分布为X1n1n11n21k1mn PC n1n1C nmn C n1nC