上海市向明中学2016-2017学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

向明中学高二开学考数学卷一、填空题1.已知集合，集合，若，则实数_.【答案】【解析】【分析】根据题意，若，必有，解之可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证【详解】解：由，解得，验证可得符合集合元素的互异性，故答案为：【点睛】本题考查元素的互异性以及集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题2.己知关于x的不等式的解是，则关于x的不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】由不等式的解集可以得到不等式和等式，这样可以确定的正负性和之间的关系，最后求解不等式的解集即可.【详解】因为关于x的不等式的解是，所以有，因此有.故答案为：【点睛】本题考查了已知不等式的解集求参数取值范围和参数之间的关系，考查了解一元一次不等式，考查了数学运算能力.3.指数函数图象经过点，比较大小_.【答案】【解析】【分析】把点的坐标代入函数的解析式，求出的值，然后判断函数的单调性，最后根据函数的单调性比较大小即可.【详解】因为指数函数图象经过点，所以有，因此函数是实数集上的单调递减函数，因此有成立.故答案为：【点睛】本题考查了指数函数图象经过点求解析式，考查了利用指数函数单调性判断函数值大小问题，属于基础题.4.函数是定义在R上的奇函数，且，则_.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的定义直接求解即可.【详解】.故答案为：2【点睛】本题考查了奇函数性质，属于基础题.5.函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据对数的真数为正实数、非负实数有偶数方根、分式的分母不为零，再利用指数函数的单调性求解即可.【详解】由题意可知：.故答案为：【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了对数的定义，考查了数学运算能力.6.若，则 _【答案】【解析】【分析】利用角的关系，建立函数值的关系求解【详解】已知，且，则，故【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值7.中，则_.【答案】或【解析】【分析】根据三角形面积，结合特殊角的三角函数值直接求解即可.【详解】,或.故答案为：或【点睛】本题考查了三角形面积公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.8.若函数最小值为，则_.【答案】5【解析】【分析】利用辅助角公式把函数解析化简成正弦型函数的解析式的形式，根据正弦型函数的最小值求出的值.【详解】，其中，函数的最小值为，所以有.故答案为：5【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了已知正弦型函数的最小值求参数问题，考查了数学运算能力.9.函数的值域是_.【答案】 【解析】函数的值域为10.数列中，（），则_.【答案】5【解析】【分析】根据数列的递推公式求出数列前几项，可以发现数列具有周期性，求出周期，最后求即可.【详解】因为，所以有：，可见数列的周期为6，故.故答案为：5【点睛】本题考查了数列的周期性，考查了利用数列的递推公式求数列前几项，考查了数学运算能力.11.已知为等差数列，则_【答案】15【解析】因为由等差中项的性质可知12.无穷数列an由k个不同的数组成，Sn为an的前n项和.若对任意，则k的最大值为 .【答案】4【解析】试题分析：当时，或；当时，若，于是，若，于是，从而存在，当时，.所以要涉及最多的不同的项数列可以为：2,1，1,0,0，从而可看出.【考点】数列项与和【名师点睛】从研究与的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列由k个不同的数组成”和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.二、选择题13.已知在时有最小值，则的一个值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，根据余弦型函数的最小值，结合特殊角的余弦值，可以求出的一个值【详解】，因为函数在时有最小值，所以有，当时，.故选：B【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式，考查了根据余弦型函数的最小值求参数问题，考查了数学运算能力.14.数列1、的一个通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据各项的特点把1写成的形式、写成的形式，这样根据分数分子和分母的特点写出通项公式即可.【详解】把1写成的形式、写成的形式，分母各项为：这是以3为首项的奇数列，分子各项特征为：，因此数列的一个通项公式为：.故选：A【点睛】本题考查了通过数列前几项求通项公式，考查了归纳推理，属于基础题.15.对任意实数，均取、三者中的最小值，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】在同一直角坐标系内画出直线，利用数形结合求出函数的解析式，最后求出函数的最大值.【详解】在同一直角坐标系内画出直线，如下图：，同理点的坐标为：，通过图象可知：，当时，；当时，；当时，因此函数最大值为.故选：D【点睛】本题考查了求函数的最值问题，考查了数形结合思想，考查了一次函数的单调性.16.等差数列中，若，则公差d的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，结合已知列出不等式，最后求出公差d的整数解即可.【详解】因为，所以：.故选：C【点睛】本题考查了已知等差数列某两项的正负性求公差的整数解问题，考查了等差数列通项公式的应用，考查了数学运算能力.三、解答题17.已知，且，求的值.【答案】【解析】【分析】根据，再确定的取值范围，同理再确定的取值范围，进而确定的取值范围，利用二倍角的正切公式求出正切值，再利用两角和的正切公式，求出，最后求出的值.【详解】因为，所以，因为，所以，因此.,.【点睛】本题考查了根据角的正切值求角的取值范围，考查了两角和的正切公式，考查了二倍角的正切公式，考查了根据正切值求角问题，考查了数学运算能力.18.已知，求的最大值.【答案】【解析】【分析】令，利用同角的三角函数关系式中的平方和关系求出的值，最后利用二次函数的单调性求出函数的最大值.【详解】令，令，于是有原函数变为：.【点睛】本题考查了求函数的最大值问题，考查了换元法，考查了同角的三角函数关系式中平方和关系，考查了辅助角公式，考查了二次函数的单调性，考查了数学运算能力.19.已知函数.（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】对研究：（1）分类讨论和，时，应该有；（2）分类讨论和，时，应该有；【详解】（1）函数的定义域为，即在上恒成立。当时，得或.当时，显然在上不能恒成立，故舍去； 当时，恒成立；当，即时，则.解得或.综上可得，实数的取值范围为.（2）设的值域为，的函数值要取遍所有的正数，即是值域的子集.当时，得或.当时，符合题意；当时，不符合题意；当时，函数为二次函数，即函数的图象与轴有交点且开口向上，则，解得.综上可知，实数的取值范围为【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域和值域掌握对数函数的性质是解题基础解题时注意对真数多项式中最高次项系数需分类讨论20.若无穷数列满足：只要（p，），必有，则称具有性质P.（1）若具有性质P，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质P，并说明理由.【答案】（1）16；（2）不是，理由见解析.【解析】【分析】（1）由根据定义可以，得到，结合已知的等式，求出；（2）求已知，求出和的通项公式，求出的通项公式，然后根据已知结合定义进行判断即可.【详解】（1）具有性质P，所以由，而，因此可得：；（2）设等差数列的公差为，则有.设等比数列的公比为，由题意可知中：，则有.所以,因为，所以有，如果具有性质P，则有，因此数列不具有性质P.【点睛】本题考查了求等差数列和等比数列的通项公式，考查了数学阅读能力，考查了新定义数列问题.21.等差数列首项和公差都是，为的前n项和.（1）写出（）构成的集合A；（2）若将中的整数项按从小到大的顺序构成数列，求的一个通项公式.【答案】（1）；（2）当n为奇数，；当n为偶数，.【解析】【分析】根据等差数列的前n项和直接写出.（1）根据直接写出集合A；（