上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科）数学试题（解析版）

2015-2016学年上海市普陀区高三(上)12月调研数学试卷(文科)一填空题(本大题56分)本大题共有14小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中,每小空格填对得4分,填错或不正确的位置一律得零分)1.若全集,集合,则_.【答案】【解析】【分析】解一元二次不等式化简M，求出其补集，再由交集运算即可求解.【详解】,或,又,.故答案为:.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了交、并、补集的混合运算，属于容易题.2.若函数，则_【答案】【解析】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得定义域，取交集得到的定义域，将解析式相加可得所求结果.【详解】定义域为：；定义域为：的定义域为故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失.3.在的二项展开式中,第四项的系数为_.【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，求得第四项的系数.【详解】二项展开式中，第四项的系数为.故答案为：【点睛】本小题主要考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题.4.在,则函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】根据正切函数的图象与性质，求出时函数的值域即可.【详解】,函数的值域为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质，属于容易题.5.在数列中,则数列的各项和为_.【答案】2【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可求解.【详解】,数列为等比数列,首项为1,公比为2.,数列是等比数列,首项为1,公比为.数列的各项和.故答案为:2.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，极限的性质，属于中档题.6.若函数的反函数是,则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】由求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设,则,互换,得,解得.不等式的解集为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.7.设为坐标原点,若直线:与曲线:相交于点,则扇形的面积为_.【答案】【解析】【分析】通过曲线方程确定曲线为单位圆在x轴上方的部分（含与x轴交点），时，代入扇形面积公式即可求解.【详解】由曲线:,得,曲线:表示単位圆在轴上方的部分(含于轴的交点)时,扇形的面积为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，数形结合，属于中档题.8.若正六棱柱的底面边长为10,侧面积为180,则这个棱柱的体积为_.【答案】【解析】【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积，代入体积公式即可求解.【详解】设棱柱的底面边长为,高为,则,解得.正六棱柱的体积.故答案为:.【点睛】本题主要考查了正棱柱的侧面积和体积公式，属于容易题.9.在北纬45圈上有甲.乙两地，它们的经度差90，则甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为_；【答案】【解析】【分析】根据题意求出AB两点间的距离，可得，即球心角为，由弧长公式可得甲乙两地的球面距离为，即可得结果【详解】设在北纬45的纬线圈的圆心为C，球心为O，连接OA、OB、OC、AC、BC，则平面，在中，同理因为A、B两地经度差为，所以，在中，由此可得是边长为R的等边三角形，即，所以A、B两地的球面距离为，所以甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为【点睛】本题由实际问题入手，考查球面距离问题，关键是求球心O与A、B两点连线的夹角的大小，可利用纬线长，纬度，两点所在的经度计算AB的长度，再根据几何性质进行求解，得到的大小，结合弧长公式，即可求解，属中档题10.方程的解_.【答案】【解析】【分析】化简可得，根据二次方程即可求解.【详解】,即,(舍去)或;,故答案为:.【点睛】本题主要考查了对数运算及二次方程求解，涉及对数式与指数式的互化，属于中档题.11.设是双曲线上的动点,若到两条渐近线的距离分别为,则_.【答案】【解析】【分析】先确定两条渐近线方程，求出点到渐近线的距离，结合点在双曲线上，即可求.【详解】由条件可知:两条渐近线分别为,设双曲线上的点,则点到两条渐近线的距离分别为,所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，点到直线的距离，属于中档题.12.如图,已知正方体,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是_(结果用最简分数表示)【答案】【解析】【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体,在其12条棱中随机地取3条,基本事件总数,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数,这三条棱两两是异面直线的概率是.故答案为:.【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题.13.若是抛物线的焦点,点在抛物线上,且,则_.【答案】200【解析】【分析】根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此求出抛物线的准线方程，结合题中数据加以计算，即可得到本题答案【详解】抛物线的焦点为,准线为,根据抛物线的定义,到焦点的距离等于到准线的距离,即,可得,故答案为:200.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，考查向量等知识，属于中档题14.若函数最大值记为,则函数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】化简，利用对勾函数求值域，分类讨论与值域中点的大小，即可写出最大值.【详解】,当时,函数有最小值为;故答案为.【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题二选择题(本大题20分,共4小题,每小题5分)15.下列命题中的假命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】可根据和的单调性可判断为真命题；可通过分式不等式的求解判断为真命题；可通过反例验证为假命题.【详解】选项：在上单调递减 当时，原命题为真命题选项：由得：，即 ，原命题为真命题选项：在上单调递增 当时，原命题为真命题选项：若，则，原命题为假命题故答案为【点睛】本题考查命题真假性的判断，涉及到利用函数单调性比较大小、分式不等式的求解、不等式性质的应用等知识.16.若集合，则“”是“”成立的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】由分式不等式的求解得到集合；由对数函数性质可求得集合；根据集合的包含关系可求得结果.【详解】是的真子集 ，“”是“”成立的必要非充分条件故选【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够理解集合的包含关系与充分条件、必要条件之间的关系；涉及到分式不等式的求解、对数函数单调性的应用等知识.17.如图,在四面体,分别是,的中点,若与所成的角的大小为,则和所成的角的大小为( )A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结MO、NO，由已知得ONM是MN和CD所成的角（或补角），且MON=60，OM=ON，由此能求出MN和CD所成的角的大小【详解】:取中点,连结,在四面体,分别是,的中点,与所成的角的大小为,是和所成的角(或所成角的补角),且,或,和所成角为或.故选: C【点睛】本题主要考查了两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18.若函数，关于的方程，给出下列结论存在这样的实数，使得方程有3个不同的实根不存在这样的实数，是的方程有4个不同的实根存在这样的实数，是的方程有5个不同的实根不存在这样的实数，是的方程有6个不同的实根其中正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】将因式分解，得到或.对分成、六种情况，结合的图像，判断出正确结论.【详解】由得，解得或.注意到.当时，画出图像如下图所示，由图可知，此时方程有3个不同的实根.当时，画出的图像如下图所示，由图可知，此时方程有个不同的实根.当时，画出的图像如下图所示，由图可知，此时方程有个不同的实根.当时，画出的图像如下图所示，由图可知，此时方程有个不同的实根.当时，画出的图像如下图所示，由图可知，此时方程有个不同的实根.当时，此时方程有无数个不同的实根.综上所述，正确，共个正确.故选C.【点睛】本小题主要考查分段函数图像与性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三解答题:(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19.如图,椭圆左右两个焦点分别为,为椭圆的右顶点,点在椭圆上且.(1)计算的值;(2)求的面积.【答案】(1)6;(2) .【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质，可得,则,，利用余弦定理求解（2）求出，利用面积公式计算的面积.【详解】(1)椭圆的左右两个焦点分别为,为椭圆上一点,则,故,解得:;(2)由,可得:,由,可得的面积为:.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.20.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出；（2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价【详解】设圆柱的底面半径为，高为；圆锥的母线长为，高为，根据题意可知：（1），cm，cm，所以“笼具”的体积cm（2）圆柱的侧面积cm，圆柱的底面积cm，圆锥的侧面积cm，所以“笼具”的表面积为 cm，故造50个“笼具”的总造价：元答：这种“笼具”的体积约为 cm，生产50个“笼具”的总造价为元.【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题21.已知函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)设,求的值.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】（1）由三角函数公式可得,由即可求得单调增区间（2）由已知化简得，平方即可求解.【详解】(1)变形可得函数,由可得,函数的单调递增区间为,;(2),即,平方可得,故.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和二倍角公式，属于中档题22.已知,数列的前项和为,且.(1)求证:数列是等比数列,并求出通项公式;(2)对于任意(其中,均为正整数),若和的所有乘积的和记为,试求的值;(3)设,若数列的前项和为,是否存在这样的实数,使得对于所有的都有成立,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析,;(2)1;(3)存在,.【解析】【分析】（1）当时,通过与作差，进而计算可得结论（2）通过（1）可得Tn的表达式，进而计算即得结论（3）通过（1）可知数列cn的通项公式，利用并项相加、分n为奇数、偶数两种情况讨论即可【详解】(1),当时,两式相减,整理得:,又,即,数列是首项为1公比为2的等比数列,;(2);(3)结论:存在这样的实数,使得对于所有的都有成立.理由如下:由(1)可知,即,故,特别地,当为偶数时,有为奇数,此时,若为偶数,则,由可知对所有正偶数都成立,故;若为奇数,则,由可知,由可知对所有正奇数都成立,故;由可得实数的取值范围是:,所以存在这样的实数,使得对于所有的都有成立.【点睛】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题23.已知集合是满足下列性质的函数的全体,存在实数,对于定义域内的任意均有成立,称数对为函数的“伴随数对”.(1)判断是否属于集合,并说明理由;(2)若函数,求满足条件的函数的所有“伴随数对”;(3)若,都是函数的“伴随数对”,当时,;当时,.求当时,函数的零点.【答案】(1)是,理由见解析;(2)和,;(3)2014,2015,2016.【解析】【分析】（1）由题意可得，即为对成立,写出需满足条件求解即可（2）由题意可得，化简得对任意的都成立，转化为|cos2a|=1，即可求解（3）由（2）可得函数的周期为4，求出函数在上的解析式，即可求出当时,函数的解析