上海市延安中学2016届高三下学期开学摸底数学试题（解析版）

上海市延安中学高三开学摸底考数学试卷1.计算：_.【答案】.【解析】【分析】直接利用数列极限公式得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查了数列极限的计算，属于简单题.2.已知函数 ，则它的定义域是_.【答案】.【解析】【分析】根据函数定义域得到不等式，计算得到答案.【详解】函数 的定义域满足： 解得 故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.3.已知，则的值为_.【答案】.【解析】【分析】化简得到，代入数据计算得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查了利用齐次式计算三角函数值，意在考查学生的计算能力.4.设复数满足，则_【答案】【解析】分析：首先利用题中所给的条件，利用方程的思想，去分母、移项、合并同类项、做除法运算，求得，之后应用复数模的计算公式，求得结果.详解：由可求得，所以，所以答案1.点睛：该题考查的是有关复数的概念及运算问题，在解题的过程中，需要我们对复数的运算法则比较熟悉，还可以通过设出，利用复数的运算法则，以及复数相等的条件，求得结果.5.若函数的图像经过点，则_【答案】【解析】【分析】先根据点坐标求，再根据反函数性质求结果.【详解】因为函数的图像经过点，所以令故答案为点睛】本题考查指数函数解析式以及反函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.6.已知的展开式中含的项的系数为30，则_.【答案】6【解析】试题分析：，考点：二项式定理的应用7.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】【详解】试题分析：原不等式为，即，时，不等式为，符合题意，当时，有，综上所述的范围是考点：行列式的定义，不等式恒成立问题8.等比数列的首项，公比为，满足，则公比q的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】计算极限得到，解不等式得到答案.【详解】公比为，即故答案为：【点睛】本题考查了根据数列的无穷项和求公比范围，意在考查学生的计算能力.9.设双曲线的左右顶点分别为，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线的斜率分别为，则的值为_.【答案】1.【解析】【分析】双曲线的左右顶点分别为，计算化简得到答案.【详解】双曲线的左右顶点分别为设，则故答案为：【点睛】本题考查了双曲线相关斜率的计算，意在考查学生的计算能力.10.从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数，则使得的概率为 【答案】【解析】试题分析：首先从这个整数中任意取个不同的数分别为，取法数为，使，即使为偶数的取法有，所概率为考点：古典概型11.数列满足，则的前60项和为_【答案】1830【解析】试题分析：当时，；当时，；当时，.将与相减得：；将与相减得：.所以，所以.考点：数列.【此处有视频，请去附件查看】12.在三棱锥P-ABC中，并且，M是底面ABC内一点，则M到该三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值为_.【答案】.【解析】【分析】根据等体积法计算得到，构造向量计算得到答案.【详解】 根据等体积法： 构造向量：， 则即故，当同向即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，构造向量，是解题的关键.13.已知，若同时满足条件：或；.则m的取值范围是_.【答案】【解析】根据可解得x1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在是必须是，当m=0时，不能做到f(x)在时，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m0,且此时2个根为，为保证条件成立，只需，和大前提m0取交集结果为；又由于条件2的限制，可分析得出在恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比两个根中较小的来的大，当时，解得交集为空，舍当m=-1时，两个根同为，舍当时，解得，综上所述，【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想【此处有视频，请去附件查看】14.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P为Q上及内部的动点，设向量.则mn的取值范围是_.【答案】2，5【解析】【详解】由已知得，则=.注意到，等于在方向的投影乘以.当点Q在点c处、点P在BC上时，在方向的投影最短为2；当点Q在点D处、点P在AD上时，在方向的投影最长为5.综上， 故答案为2，5二、选择题：15.下列命题是真命题的是（ ）A. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B. 正四面体是四棱锥C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥D. 正四棱柱是平行六面体【答案】D【解析】【分析】依次判断每个选项：缺少条件，除去底面，其余各面相邻两面的公共边都互相平行；正四面体是三棱锥，故错误；缺少条件，这些三角形有一个公共顶点；正确，得到答案.【详解】A. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱缺少条件：除去底面，其余各面相邻两面的公共边都互相平行，故错误；B. 正四面体四棱锥正四面体是三棱锥，故错误；C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥缺少条件：这些三角形有一个公共顶点，故错误；D. 正四棱柱是平行六面体根据平行六面体的定义知正确；故选：【点睛】本题考查了棱柱，棱锥，平行六面体，四面体的定义，意在考查学生对于几何体概念的理解.16.若，则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】试题分析：若方程无实根，则，即；若复数在复平面上对应的点位于第四象限，则，解得，所以若，则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件，故选B考点：1、充分条件与必要条件；2、复数的几何意义17.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数有下列函数：； ，其中是一阶整点函数有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【详解】根据题中所给的函数的性质，可知图象所过的唯一个整点为，图象所过的唯一个整点为，而图象上横坐标为整数的点的纵坐标都是整数，而图象上横坐标为零或负正整数的点的纵坐标都是整数，故整点很多，所以满足条件的一阶整点函数有2个，故选B考点：新定义的有关问题18.设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，先确定的轨迹为直线，代入抛物线方程，可得的范围，再根据在圆上，将的坐标代入圆的方程，得到半径r与的等式关系，结合题意，即可得出r的取值范围【详解】设，当斜率存在时，设斜率为，则，相减得：，因为直线与圆相切，所以，即，的轨迹是直线，代入抛物线得：，所以，又在圆上，代入得：，所以，因为直线恰好有四条，所以，所以，即时直线恰好有两条，当直线斜率不存在时，直线有两条，所以直线恰有条时故选D【点睛】本题主要考查根据直线与圆的关系求半径范围以及设而不求的数学方法三、解答题：19.已知在直三棱柱中， ，直线与平面ABC成30的角（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）计算，计算，利用等体积法计算得到距离.（2）为中点，过作交于，连接，确定为二面角的平面角，计算线段长度，利用余弦定理计算得到答案.【详解】（1）直线与平面ABC成的角为，故，故 过作于，易知平面， ；故平面，平面，故，故，故点到平面的距离为.（2）为中点，过作交于，连接 等腰中，为中点，则， 故为二面角的平面角中，故 在中，利用余弦定理得到：故二面角的余弦值为【点睛】本题考查了点到平面的距离，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.已知函数（1）求函数的最大值及此时x的值；（2）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对定义域中的任意的x都有，若，求的最大值【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）化简得到，计算得到函数的最大值.（2）根据题意得到，根据余弦定理和均值不等式得到，代入向量公式计算得到答案.【详解】（1）故当，即时，最大值为 （2），则，故 根据余弦定理：即当时等号成立，故的最大值为【点睛】本题考查了三角函数化简，余弦定理，均值不等式，向量运算，意在考查学生的综合应用能力.21.我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品的关税税率、市场价格(单位:元)与市场供应量之间满足关系式:(其中为正常数)，当时，P关于的函数的图像如图所示：(1)试求的值；(2)记某市场需求量为Q，它近似满足当P=Q时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4元时，求税率的最大值【答案】（1）；（2）时，最大值为【解析】【分析】（1）根据图象求出、的值（2）当时，可得，可求得，由双勾函数在，上单调递减，可知当时，有最小值【详解】（1）由图可知，时有，解得；（2）当时，得，解得：，而在，上单调递减，当时，有最小值，此时，取得最大值5；故当时，关税税率的最大值为【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法22.给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（I）求椭圆的方程和其“准圆”方程；(II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M，N.（1）当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；（2）求证：|MN|为定值.【答案】（I）；(II )（1）；（2）见解析【解析】【详解】（I）因为，所以 所以椭圆的方程为，准圆的方程为. （II）（1）因为准圆与轴正半轴的交点为P（0，2）, 设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为,所以，消去y，得到, 因为椭圆与只有一个公共点,所以, 解得.所以方程为. （2）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是(或)，即为(或)，显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直. 当都有斜率时，设点，其中，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,则，消去得到，即,，经过化简得到:,因为，所以有,设的斜率分别为,因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足上述方程,所以，即垂直.综合知：因为经过点，又分别交其准圆于点M，N，且垂直，所以线段MN为准圆的直径，所以|.23.已知数列中，且其前n项和满足（其中），令；（1）求数列的通项公式；（2）若，求证： ，；（3），求同时满足下列条件的所有a的值；对任意的正整数n，都有；对任意的，均存在，使得