数学解题中的几种常见错误

数学解题中的几种常见错误 江苏省上冈高级中学 丁素华在学习过程中，每个学生都会或多或少地犯一些错误，有的学生会认真地总结经验教训，确保以后不再犯同样的错误，有的学生则不善于总结，以至于一错再错，最终导致考场失利，每次月考结束后，总会有许多遗憾，某个选择题不该错，某个计算题粗心把结果算错，某道题忽略了一个已知条件，如此种种，举不胜举，为帮助同学们纠正常犯的解题错误，本文详细分析这些常见错误，并有针对性的给出纠正的办法：1、粗心之错这里所说的“粗心”，指的是一些莫名其妙，会而不对的错误，如计算60-15=55等等。例1、已知则|的值为： 错解：因|，|,|都是正值，故只需令，即可得和为。错因：粗心把忘掉减去。正解：令可得，|+|=例2、若函数是偶函数，则函数的图像的对称轴是 。A、B、C、D、C、错解：可用特殊函数法，设,则是偶函数，。 的对称轴为,选D。错因：也是粗心所致，你怎么能把代入中呢？正解：抽象函数问题可采用特殊函数法：设：,则是偶函数。 对称轴为,选A。纠错方法：要纠正粗心的错误，唯有培养认真的习惯。2、理解错误理解错误主要指学生对概念的理解不全面，甚至错误，如对定义域为与值域为的理解混淆，造成张冠李戴的错误，对函数的定义域与函数有意义的理解模糊，造成合而为一的错误的现象等。例3、已知函数的值域为，则实数的取值范围为： 。错解：令，则恒成立，所以应有， 解得。即的取值范围为（4，0）。错因分析：以上错解的错误原因在于没有准确地理解函数的值域为的意义。根据对数函数的图像和性质可知，当且仅当的值能取遍一切正实数时，函数的值域才是，而当时，由图可知，恒成立，这只能说明函数的定义域为，而不能保证可以取遍一切正数，要使可以取遍一切正数，结合二次函数的图象可知，的图象应与轴有交点才能满足。正解：要使的值能取遍一切正实数，应有。解得或，即的取值范围为 。3、忽略之错这种错误主要表现在解题中忽略隐含条件，忽视特殊情况而导致的错误。例4、已知，是上的，减函数，那么的取值范围是多少？错解：由已知可得，解得，即的取值范围为。错因：忽略题中的隐含条件，时函数的最小值应比时的函数最大值还大。正解：由题意可知： 解之得：。这类问题要特别注意隐含条件。例5、若向量,且的夹角为钝角，则的取值范围是什么?错解：因的夹角为钝角，于是可以得到，所以，故或。错因：忽视了，不是夹角为钝角的充要条件，因为的夹角为180时也有，从而扩大了的范围，导致错误。正解：因的夹角是钝角，故，解得或又由共线且反向可得由、可得的范围是。4、思维定式错误所谓思维定式就是人们通过训练，形成的思维习惯，如错误地将等式的性质类比到不等式中，造成习惯性的错解现象，如对分式不等式，习惯上不考虑分母的符号，直接将分式不等式化为整式不等式。例6、不等式的解集为： 错解：，即。 的的范围为（）。错因：受解分式方程的影响，去分母而导致错误。正解：不等式的解集为。纠错方法：克服思维定式，必须要从基础知识抓起，区分易混淆的式子。5、重复或遗漏之错这类错误通常发生在排列、组合、概率问题之中，因考虑不周，导致重复或遗漏。例7、从5双不同的鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的取法有 种。错解：从5双鞋子中任取一双有种取法，第二步，从余下的8只中任取两只有种取法，由分步计数原理可知，一共有 =140种符合条件的取法。错因：第一步的种取法中，若取到这一双鞋，第二步的种取法中，取到另一双鞋；这种取法与第一步的种取法中取，第二步种取法到实际上是同一种取法，在上述解法中视为了不同的取法，因此产生了重复现象。正解：至少有2只成双有两种可能。恰有一双：种；恰成二双：种，共有130种取法。纠错方法：避免重复或遗漏现象的方法就是分类或分步中一定要细心，认真领会排列组合的原理。6、以偏概全之错这类错误常发生在数列、圆锥曲线等问题中。例8、设数列的前项和为，则这个数列的通项公式为： 。错解：因为，所以。错因：此题错在没有分析的情况，以偏概全，误认为任何情况下都有。正解：时，时，。 纠错方法：要克服这类错误，主要