2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题（解析版）

北碚区高2020届普通高等学校招生第一次诊断性考试数学一、选择题1.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点（）A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度【答案】B【解析】，即，所以要得到函数的图像，先将横坐标伸长到原来的，变为；再向右平移个单位即可得到，应选答案B2.已知集合，则集合的子集个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】D【解析】分析：先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数详解：由题意可知，集合B=z|z=x+y，xA，yA=0，1，2，则B的子集个数为：23=8个，故选D点睛：本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.3.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求得的值，然后结合诱导公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由三角函数的定义可得：，则.本题选择C选项【点睛】本题主要考查终边相同的角的三角函数定义，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.函数的零点个数为A. B. C. D. 【答案】C【解析】画出与的图象(如图所示)，它们有2个交点，所以函数的零点个数为2.故选C5.若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在区间上递减,则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在上的最小值大于0，由此联立不等式组求解【详解】解：令，其对称轴方程为，外函数对数函数是增函数，要使函数在上递减，则，即：实数的取值范围是故选：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题6.若,是第三象限的角,则（ ）A. B. C. 2D. -2【答案】A【解析】试题分析：，为第三象限，,考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式【此处有视频，请去附件查看】7.已知函数 (为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：不等式在上恒成立等价于在上恒成立，可利用导数求在上的函数的最小值.详解：因为在上恒成立，故在上不等式总成立，令，则.当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数；所以，故，故选D.点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.8.非零向量满足：，则与夹角的大小为A. 135B. 120C. 60D. 45【答案】A【解析】【分析】先化简得，再化简得，最后求与的夹角.【详解】因为，所以，因，所以，整理可得，所以有，设与的夹角为，则 ，又，所以，故选A【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与另一段的比例中项，即满足后人把这个数称为黄金分割数，把点称为线段的黄金分割点.在中，若点为线段的两个黄金分割点，在内任取一点，则点落在内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据几何概型概率求解.测度为面积.【详解】由题意得所求概率为几何概型概率，测度为面积.即所求概率为选B.【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.10.在中，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：设，又，所以，利用余弦定理和基本不等式求得，再利用三角形的面积公式，即可求解结果详解：设，因为，所以，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，故选C点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到11.设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，通过求导及已知不等式，可得出为递增函数，再将原不等式化为可解得【详解】解：令，则，在上为单调递增函数，原不等式可化为，根据的单调性得故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解题的关键，属中档题12.已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则、 设因为所以点轨迹为 令则 则由 得 故选点睛：本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标系的方法，先根据题目条件得出点点轨迹，然后利用三角函数换元，求得各向量的表示方法，借助辅助角公式进行化简，本题较为综合，运用了较多知识点二、填空题13.已知实数，是与的等比中项，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.【详解】实数是与的等比中项，解得则，当且仅当时，即时取等号故答案为:【点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.14.已知函数，关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为_【答案】【解析】【详解】作出的图象如下：结合图像可知， ，故 令得： 或，令得： ，且等号取不到，故，故填 .点睛：一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高.15.如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,则_【答案】【解析】试题分析：如图，过C作CEOB于E，因为AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，CBA=60所以E为OB的中点，连结OD，则考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义16.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，BC3，PB2，PC，则三棱锥PABC外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】由O为ABC外接圆的圆心，且平面PBC平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，可得球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是PBC外接圆的圆心，在PBC中，由余弦定理、正弦定理可得R.【详解】因为O为ABC外接圆的圆心，且平面PBC平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，根据球的性质，球心一定在垂线l上，球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是PBC外接圆的圆心，在PBC中，由余弦定理得cosB，sinB，由正弦定理得：，解得R，三棱锥PABC外接球的表面积为s4R210，故答案为10【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.三、解答题17.等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足求数列的通项公式；设，求数列的前n项和【答案】（）an=（nN*）（）1-【解析】【分析】根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可，先化简，再根据裂项相消法求结果.【详解】解：（）设公比为，则因为，成等差数列， 所以2=+，即因为，所以（）bn=-，nN*，数列bn的前n项和Sn=+=1-，nN*【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD（）求证：AF平面PEC；（）求证：平面PEC平面PCD【答案】（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）取PC的中点G，连结FG、EG，AFEG又EG平面PCE，AF平面PCE，AF平面PCE； （）由（）得EGAF，只需证明AF面PDC，即可得到平面PEC平面PCD【详解】证明：（）取PC的中点G，连结FG、EG，FG为CDP的中位线，FGCD，FG=CD四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，AECD，AE=CDFG=AE，FGAE，四边形AEGF是平行四边形，AFEG又EG平面PCE，AF平面PCE，AF平面PCE；（）PA=ADAFPDPA平面ABCD，PACD，又因为CDAB，APAB=A，CD面APDCDAF，且PDCD=D，AF面PDC由（）得EGAF，EG面PDC又EG平面PCE，平面PEC平面PCD【点睛】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题19.己知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于A、B两点，点（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求的值【答案】（1） ， ；（2） .【解析】【分析】（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程由直角坐标与极坐标互换公式，求得曲线C普通方程（2）直线的参数方程改写为（t为参数），由t的几何意义求值【详解】直线l的参数方程为为参数，消去参数，可得直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，直线的参数方程改写为（t为参数），代入，【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化20.已知函数（1）求函数的单调增区间；（2）将函数图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域【答案】（1），；（2）【解析】【分析】利用倍角公式降幂后，再由两角差的正弦公式化简（1）由相位在正弦函数的增区间内求得的取值范围，可得函数的单调增区间；（2）由函数的伸缩和平移变换求得的解析式，结合的范围求得相位的范围，进一步求得函数的值域【详解】解：（1）由，解得，函数的单调增区间为，；（2）将函数的图象向左平移个单位，得，再向下平移1个单位后得到函数，由，得，则函数的值域为【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，属中档题21.已知椭圆（）的焦距为2，离心率为，右顶点为.（I）求该椭圆的方程；（II）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线，的斜率之和为定值.【答案】（I）.（II）见解析.【解析】分析：（I）由椭圆的焦距和离心率可得，故，从而可得椭圆的方程（II）讨论直线的斜率，当斜率存在时设其方程为，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及题意可求得，即得结论成立详解：（I）由题意可知，故，又，椭圆方程为（II）由题意得，当直线斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.由消去y整理得，直线与椭圆交于两点，解得设，则，又，.即直线，的斜率之和为定值.点睛：求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22.如图所示，直角梯形ABCD中，四边形EDCF为矩形，平面平面ABCD(1)求证：平面ABE；(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请