梯形中常见辅助线的作法

梯形中常见辅助线的作法梯形中常见辅助线的作法 梯形是一种特殊的四边形 它是平行四边形和三角形的 综 合 可以通过适当地添 加辅助线 构造三角形 平行四边形 再运用三角形 平行四边形的相关知识去解决梯形 问题 下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明 希望对同学们有所帮助 一 平移对角线 平移一条对角线 使之经过梯形的另一个顶点 一 平移对角线 平移一条对角线 使之经过梯形的另一个顶点 例例 1 1 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD AC BD 梯形的高 CF 为 10 求梯形 ABCD 的 面积 分析分析 由于等腰梯形 ABCD 的对角线 AC BD 且 AC BD 所以我们可以平移一对角线构 造一等腰直角三角形 通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等 因此只需求出 三角形的面积即可 解解 过点 C 作 CE DB 交 AB 的延长线于点 E DC AE 四边形 CDBE 为平行边形 DB CE DC BE 梯形 ABCD 为等腰梯形 AD BC AC BD AC CE ADC CBE 即 S ADC S CBE S 梯形 ABCD S ACE AC BD CE DB AC CE ACE 为等腰直角三角形 CF 为高 CF 也为等腰直角三角形 ACE 斜边上的中线 CF 10 AE 20 S 梯形 ABCD S ACE AE CF 20 10 100 二 平移一腰或两腰 平移一腰 使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点 或者二 平移一腰或两腰 平移一腰 使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点 或者 同时移动两腰使它们交于一点 同时移动两腰使它们交于一点 例例 2 2 如图 等腰梯形 ABCD 两底之差等于一腰的长 那么这个梯形较小的一个内角是 A 9O B 6O C 45 D 30 解析解析 由条件 两底之差等于一腰的长 可平移一腰 如图所示平移 DC 到 AE AE 交 BC 于 E 可知 BE BC AD AB 又 AB DC AE 故 AB BE AE ABE 是等边三角形 所以 B 60 故选 B 例例 3 3 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AD BC E F 分别为 AD BC 的中点 且 EF BC 求证 B C 解析解析 要证 B C 可把它们移到同一个三角形中 利用等腰三角形的有关性质加以 证明 过点 E 作 EH AB EG DC 分别交 BC 于 H G AD BC 四边形 ABHE 和四边形 EGCD 都是平行四边形 AE BH ED GC 又 E F 分别为 AD BC 的中点 所以 AE ED BF FC BH GC BF BH FC GC 从而 FH FG 又 EF BC 所以 EH EG 故 EHF EGF 得 B C 三 延长两腰 将梯形两腰延长相交构造三角形 三 延长两腰 将梯形两腰延长相交构造三角形 例例 4 4 在梯形 ABCD 中 AD BC ABC BCD 60 AD BC 30 BD 平分 ABC 求梯 形的周长 解析解析 延长两腰相交于点 E 如图 因为 ABC BCD 60 故 E 60 BCE 为 等 边三角形 又 BD 平分 ABC 所以 BD 垂直平分 CE 所以 CD BC 又 AD BC 故 ADE 为等边三角形 AD ED CD 由 AD BC 30 知 CD 2CD 30 CD 10 梯形的周长为 30 AB CD 30 2CD 50 四 作梯形的高 过梯上底的两个端点分别作梯形的高 四 作梯形的高 过梯上底的两个端点分别作梯形的高 例例 5 5 已知等腰梯形的一个内角为 60 它的上底是 3cm 腰长是 4cm 则下底是 解析 解析 如图 梯形 ABCD 中 B C 60 AD 3cm AB DC 4cm 过点 A D 分别作 AE BC DF BC 垂足分别为 E F 则有 BAE CDF 30 BE FC AB 2 cm BC BE EF FC BE AD FC 7 cm 梯形中添加辅助线的方法有很多 同学们在学习的过程中还须活学活用 也可以