2019届重庆市江津中学、合川中学等七校高三第三次诊断性考试（文科）数学试题（解析版）

七校高2019级第三次诊断性考试数学（文科）试题试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前、务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.2.答选择题时，心须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4.考试结束后，将答题卷交回.第卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用交集的定义求解即可.【详解】因为，所以集合，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.已知复数，则在复平面内对应的点在第（ ）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】C【解析】【分析】根据共轭复数的定义，结合复数与对应点的关系，可得结果.【详解】因为，所以，则，所以在复平面中所对应的点为，该点在第三象限故选：C【点睛】本题考查共轭复数概念以及复数所对应的点，理解概念，细心计算，属基础题.3.安徽黄山景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于分钟的概率为.故选B【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.4.已知向量，则下列结论正确的是（ ）A. B. /C. D. 【答案】C【解析】【分析】采用排除法，一一进行验证，可得结果.【详解】由，因为，故与不垂直，所以A选项不对因为，所以与不共线，所以B选项不对由，所以则，所以C选项正确由，所以故与不垂直，所以D选项不对故选：C【点睛】本题考查向量的位置关系，以及数量积用坐标进行运算，属容易题.5.已知函数，则（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的概念，由的取值带进相应的函数式，可得结果.【详解】因为，所以，又，所以，故选：C【点睛】本题考查分段函数的概念，属基础题.6.若双曲线的渐近线与圆相切，则C的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出渐近线方程,根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径,解方程即可求得直线方程的斜率,代入即可得渐近线方程.【详解】因为双曲线设双曲线的渐近线方程为,即 因为双曲线的渐近线与圆相切,圆心为,半径 则圆心到双曲线渐近线的距离等于半径,由点到直线距离公式可得 解方程可得 所以双曲线的渐近线方程为故选:B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程,点到直线距离公式的用法,属于基础题.7.阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据程序框图的结构,可知作用为求和.依次列出前几次循环,即可得输出值为时的值,进而得判断框里的不等式.【详解】由程序框图可知, (1) 是(2) 是(3) 是(4) 否由以上循环可知, 故选:B【点睛】本题考查了循环结构在程序框图中的应用,由输出结果确定判断框内容,属于基础题.8.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 1B. 3C. 6D. 2【答案】D【解析】【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.四棱锥的体积是.故选D.【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法9.算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（ ）A. 24B. 48C. 12D. 60【答案】A【解析】由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设等比数列的首项为，则有，解得该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为选A10.已知函数, 先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线对称， 则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，因为，最小值为故选A考点：三角函数图象变换，三角函数的对称轴11.已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点，P为第二象限内椭圆上的一点，且，直线交y轴于点M，若，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题可知，解得，那么有，可知，根据正弦定理求出，再由，可得a,c之间的关系，确定离心率e。【详解】解：如图，由，得，在中，可得，即，又，由，得.则，即.故选：B.【点睛】本题的解题关键是确定是等腰三角形，建立之间的联系进而求解。12.已知函数，是的导函数，若关于x的方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数化简式子，采用分离变量的方法，并构造新的函数，利用导数研究新函数的单调性，并比较新函数的值域与的关系可得结果.【详解】由，所以函数的定义域为，则方程，即为，化简可得，由关于x的方程有两个不相等的实根，所以可知方程有两个不相等的实根，故令当时，所以函数单调递增，当时，所以函数单调递减.所以，又，所以，故可知故选：C【点睛】本题考查了利用导数求参数取值范围的问题，熟练掌握分离参数的方法，并学会构建新的函数，对式子化简有很大帮助，属中档题.第卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.等差数列中，若，其前n项和为，则_.【答案】15【解析】【分析】根据等差数列的求和公式，以及等差数列的性质，可得结果.【详解】因数列为等差数列，所以，又，所以，由，所以故答案为：15【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题型.14.设变量x，y满足约束条件，则的最大值为_.【答案】3【解析】【分析】先根据约束条件做出可行域，再求的最大值。【详解】解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由得，平移直线，经过点A时，直线的截距最小，此时z最大.由，解得，此时，故答案为：3.【点睛】本题考查线性规划且不含参数，难度不大，认真做出可行域再分析即可。15.已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】根据切线与直线垂直求得切线的斜率为，令曲线在处的导数为列方程，由此求得的值.【详解】，当时，导数为.由于切线与直线垂直，故切线的斜率为，即，解得.【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的表示，考查导数与切线的斜率对应关系，属于基础题.16.在三棱锥中，平面ABC，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一个球的球面上，则该球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】采用数形结合，由锥体体积公求高，过底面中心作底面的垂线，假设球心，半径为，利用，结合勾股定理，求出外接球的半径，可得结果.【详解】如图由，可知为正三角形则,又平面ABC且三棱锥的体积为，所以,所以，取正的中心，过点作底面，可知球心在上，连接，作交于点，则，则,则,，即，化简可得：所以球的表面积为：故答案为：【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积的问题，利用数形结合的方法，直观形象，快速找到球心并解出半径，属中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答.22、23为选考题，考生根据要求作答.（）必考题：共60分.17.在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，.（1）证明：；（2）若B为钝角，的面积为，求.【答案】（1）见详解；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，边化角，并结合两角和与差的正弦公式展开可得结果.（2）根据三角形面积公式，可得,利用正弦定理，边化角，可得角，结合（1）的结论与平方关系，可得，最后可得结果.【详解】（1）在中, ,所以又，所以所以所以，即，所以.（2）由，所以则，由（1）可知，所以又B为钝角，所以，又则，所以或（舍）所以.【点睛】本题考查解三角形，合理利用正弦定理，余弦定理以及面积公式，灵活转化，属中档题.18.把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下6个小组：5.25，6.15)，6.15，7.05)，7.05，7.95)，7.95，8.85)，8.85，9.75)，9.75，10.65，并绘制出频率分布直方图，如图所示是这个频率分布直方图的一部分已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格(1)求这次铅球投掷成绩合格人数；(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；(3)若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a、b 两位同学的成绩均为优秀，求a、b 两位同学中至少有1人被选到的概率【答案】（1）36（2）4（3）【解析】【分析】（1）由频率之和为1，求出最后一组的频率，进而求出总人数，即可由频率求出合格人数；（2）计算各组人数，计算出中间的人在第几组即可；（3）给5个人分别编号，列出所有可能情况与事件所包含的情况，由古典概型计算公式计算即可.【详解】(1)第6小组的频率为1(0.040.100.140.280.30)0.14参加这次铅球投掷的总人数为50根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为(0.280.300.14)5036(2)成绩在第1、2、3组的人数为(0.040.100.14)5014，成绩在第5、6组的人数为(0.300.14)5022，参加这次铅球投掷的总人数为50，这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在7.95，8.85)内，即第4组(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a、b、c、d、e，则选出2人的所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中a、b至少有1人的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有7种，a、b 两位同学中至少有1人被选到的概率为P【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型，由频率样本总量=频数、频率之和为1可解频率分布直方图，根据题意列出情况数即可求得概率.19.在直三棱柱中，D为侧面的中心，E为BC的中点.（1）求证：平面侧面；（2）求点到面的距离.【答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）根据，可得线面垂直，结合面面垂直的判定定理可得结果.（2）假设点到面的距离为，找到面垂线并计算垂线段的长度，同时计算，利用等体积法，可得结果.【详解】（1）在直三棱柱中，如图，连接，由，且点为中点，所以,又面，面，所以，又，面，所以面，又面，所以平面侧面.（2）连接,作交于点， 可知/且,又面,所以，面,所以面，又，可知四边形为正方形，,所以由（1）可知面，面，所以,则为直角三角形，所以设点到面的距离为所以即所以【点睛】本题考查面面垂直的判定以及利用等体积法求点到面的距离，数形结合找准辅助线，细心计算，属中档题.20.已知椭圆的短轴长等于，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设为坐标原点，过右焦点F的直线与椭圆C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若，求四边形AOBE面积S的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）根据离心率，结合之间关系，可得椭圆方程.（2）巧设直线方程，联立椭圆方程得关于的一元二次方程，使用韦达定理并表示四边形AOBE面积S，结合换元法与以及函数单调性，可得结果.【详解】（1）由可知，又，即，由，所以，可得，所以椭圆C的方程为：（2）由（1）可知：，如图设直线方程为，所以，由，可知四边形AOBE为平行四边形，所以平行四边形AOBE面积为，则所以化简得，令，所以由在递增，故在递减，所以当时，【点睛】本题考查椭圆方程，还考查了直线与椭圆的几何关系，对这种类型问题，学会巧设直线方程，使用韦达定理，掌握换元法的使用，以及融合不等式，函数的单调性等知识点，属中档题.21.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若时恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性（2）采用分离参数的方法，然后构造新的函数，根据导数研究新函数的单调性，并判断新函数的值域与a的关系，可得结果.【详解】（1）由，所以，则即，令，则或所以当或时，当时，所以函数的单调递增区间是的单调递减区间是（2）由，所以，即故由题意可知在成立令，即化简得所以当时，则函数在单调递减，所以所以【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性以及参数的范围问题，熟练掌握分离参数的方法，灵活构造函数，达到化繁为简，属中档题.（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则