2020届重庆外国语学校高三上期入学检测数学理科试题（解析版）

重庆实验外国语学校入学检测数学试题(理)一选择题:(本大题12个小题,每小题5分,共60分)1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可求出集合，然后进行并集的运算即可【详解】解：，；故选【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算2.函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理即可求解.【详解】由函数，则，故函数的零点在区间上.故选：B【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断零点所在的区间，需熟记定理内容，属于基础题.3.已知命题；命题，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：命题为假命题，命题为真命题，所以为假命题，为假命题，为真命题，为假命题，故选C.考点：逻辑联结词.4.定义在上的函数满足，则（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】推导出，由此能求出的值【详解】定义在上的函数满足，故选C【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.5.设函数的定义域为I，则“在I上的最大值为”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合函数最值的性质进行判断即可【详解】若“在I上的最大值为M”则“”成立，函数恒成立，则“在I上的最大值不是2，即必要性不成立，则“在I上的最大值为M”是“”的充分不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数最值的定义和性质是解决本题的关键6.已知偶函数f（x）在0，+）单调递增，若f（2）=2，则满足f（x1）2的x的取值范围是 （）A. （，1）（3，+）B. （，13，+）C. 1，3D. （，22，+）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得： 即的取值范围是；故选B【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式7.函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义求得函数为偶函数，图象关于轴对称，排除；利用时，的符号可排除，从而得到结果.【详解】由题意可得：定义域为：由得：为偶函数，图象关于轴对称，可排除当时， ，可排除本题正确选项：【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是能够利用函数的奇偶性和特殊位置的符号来进行排除，属于常考题型.8.已知函数，设，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先比较大小得|，再分析得到y=（）x是减函数，利用函数的图像和性质即得解.【详解】|e0.3|=e0.31，1|=ln2，2，|；又y=（）x是减函数，f（）f（）f（）；故abc故答案为A【点睛】（1）本题主要考查对数指数的性质，考查函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出是一个偶函数，且在（0，+）是减函数.9.已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，则函数的零点个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【详解】当时，则，此时有，函数是周期为2的周期函数令，则，由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），结合图象可得两函数图象有三个交点，函数的零点个数为3.选B点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解10.已知函数，若正实数，满，则的最小值是（ ）A. 1B. C. 9D. 18【答案】A【解析】【分析】先由函数的解析式确定其为奇函数，再由得到与的关系式，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以函数为奇函数，又若正实数满，所以，所以，当且仅当，即时，取等号.故选A【点睛】本题主要考查基本不等式，先由函数奇偶性求出变量间的关系，再由基本不等式求解即可，属于常考题型.11.设函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由已知中函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，可以根据函数的图象分析出实数的取值范围【详解】函数的图象如下图所示：关于方程恰有个不同的实数解，令tf（x），可得t2at+20，（*）则方程（*）的两个解在（1，2，可得，解得，故选B.【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键12.对于任意的正实数x ，y都有（2x)ln成立，则实数m的取值范围为A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由，可得， 设，则可设， 则，所以，所以单调递减， 又，所以在单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以，故选D. 点睛：本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及利用导数求解函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合应用，解答中通过分离参数，构造新函数，利用函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题.二填空题:(本大题4个小题,每小题5分,共20分)13.已知集合,若,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】首先确定出集合，然后根据包含关系得到的关系式【详解】由题意，因为，所以，即故答案为：【点睛】本题考查集合的包含关系，考查对数函数定义域，属于基础题14.已知命题:,命题:幂函数在是减函数,若“”为真命题,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先求出命题为真时的参数范围，再根据复合命题的真假确定【详解】命题:,，则，命题:幂函数在是减函数，“”真命题，则同时为真，故答案为：【点睛】本题考查复合命题的真假，掌握复合命题的真值表是解题基础复合命题真值表：真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真15.已知上的奇函数满足:,且时,则_.【答案】【解析】【分析】由已知得对称轴，结合奇函数得函数是周期函数，由周期性和对称性把自变量转化到区间上计算【详解】，是图象的对称轴，又是奇函数，是周期函数，周期为4.又，故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性，对称性，周期性确定函数的解题关键另外还考查了对数的运算属于中档题16.已知函数，若存在实数，当时，则的取值范围是_【答案】【解析】所以，得则，令，得，又，则的取值范围为点睛：分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到，则所求式子即关于的函数求值域问题，根据复合函数求值域的方法求出值域即可三解答题:(共70分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答,第2223为选考题,考生根据要求作答.)(一)必考题:共60分.17.李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：单价（千元）销量（百件）已知.（1）若变量具有线性相关关系，求产品销量（百件）关于试销单价（千元）的线性回归方程；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从个销售数据中任取个子，求“好数据”个数的分布列和数学期望.（参考公式：线性回归方程中的估计值分别为.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】(1) 根据所给数据，先计算出，计算，代入公式求，再由求即可 (2)利用回归方程计算销量的预测值，找到4个“好数据”：、，于是可写出的所有可能取值为，计算即可.【详解】（1）由，可求得，故，代入可得， ，所以所求的线性回归方程为 （2）利用（1）中所求的线性回归方程可得，当时，；当 时，；当时，；当时，；当时，；当时， 与销售数据对比可知满足的共有4个“好数据”：、 于是的所有可能取值为 ， 的分布列为：123P所以【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法，运用，离散型随机变量的分布列、期望，属于中档题.18.已知函数求曲线在点处的切线方程若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围【答案】(1) x+y-1=0.(2) .【解析】【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为，所以. 所以 又 所以曲线在点处的切线方程为 即.（5分）（2）由题意得， 所以. 由，解得， 故当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 又，若函数恰有两个零点， 则解得. 所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.19.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差参考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（）详见解析；（）；数学期望为6，方差为2.4.【解析】【分析】（1）完成列联表，由列联表，得，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关（2） 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意，由此能求出随机变量的数学期望和方差【详解】解：（1）完成列联表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100女性7030100合计12080200由列联表，得：，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关（2）由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，选取的3人中至少有2人经常网购的概率为： 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意，随机变量的数学期望，方差D（X）=【点睛】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.已知抛物线:,直线:与交于两点,为坐标原点.(1)当直线过抛物线的焦点时,求;(2)是否存在直线使得直线?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后应用韦达定理，得，由焦半径公式可得焦点弦长；（2）若存在，则，由此可得，注意验证是否满足【详解】（1）抛物线中，焦点为，设，由得，直线过焦点，则，（2）假设存在满足题意的直线，则，由（1），或均满足，但时，直线过原点，不合题意，直线方程为【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查焦点弦的性质在直线与圆锥曲线相交问题学用设而不求法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解21.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再按导函数零点讨论：若，无零点，单调；若，一个零点，先减后增；若，一个零点，先减后增；（2）由单调性确定函数最小值：若，满足；若，最小值为，即；若，最小值为，即，综合可得的取值范围为.试题解析：（1）函数的定义域为，若，则，在单调递增. 若，则由得. 当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增. 若，则由得.当时，；当时，故在单调递减，在单调递增. （2）若，则，所以. 若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，. 若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.综上，的取值范围为.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.(二)选考题:共10分.请考生在第2223题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.直线 的极坐标方程为 ，以极点为坐标原