高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用课件 理.ppt

第三章导数及其应用 3 2导数的应用 高考理数 考点一导数与函数的单调性设函数f x 在 a b 内可导 f x 是f x 的导数 则 注 1 f x 在 a b 内可导为此规律成立的一个前提条件 2 对于在 a b 内可导的函数f x 来说 f x 0是f x 在 a b 上为递增函数的充分不必要条件 f x 0 即并不是在定义域中的任意一点处都满足f x 0 知识清单 考点二导数与函数的极 最 值1 函数的极值与导数 域内可能有多个极大值和极小值 2 极大值与极小值没有必然关系 极大值可能比极小值还小 3 导数等于零的点不一定是极值点 例如 f x x3 f x 3x2 当x 0时 f 0 0 但是x 0不是函数的极值点 4 可导函数在极值点处的导数必为零 2 函数的最大值与最小值 1 函数的最大值与最小值 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 但在开区间 a b 内连续的函数f x 不一定有最大值与最小值 注 1 在函数的整个定义域内 函数的极值不一定唯一 在整个定义 2 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 i 求f x 在 a b 内的 极值 ii 将f x 的各 极值与 f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 考点三生活中的优化问题1 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 优化问题 导数在这一类问题中有着重要的应用 它是求函数最大 小 值的有力工具 2 解决优化问题的基本思路 方法一 方法二 求函数f x 的定义域 求导函数f x 利用导数研究函数的单调性的两个方法 方法技巧 在定义域内解不等式f x 0和f x 0 若不等式中带有参数 则一般需对参数进行分类讨论 确定函数f x 的单调区间 例1 2017天津红桥一模 19 1 已知函数f x x 2lnx a r 讨论函数f x 的单调性 解析函数f x x 2lnx的定义域为 0 f x 1 令f x 0 得x2 2x a 0 其判别式 4 4a 当 0 即a 1时 x2 2x a 0 f x 0 此时f x 在 0 上单调递增 当 0 即a1 若a 0 则x1 0 则x 0 x2 时 f x 0 即f x 在 0 x2 上单调递减 在 x2 上单调递增 若a 0 则x1 0 则x 0 x1 时 f x 0 x x1 x2 时 f x 0 即f x 在 0 x1 上单调递增 在 x1 x2 上单调递减 在 x2 上单调递增 综上所述 当a 0时 函数f x 在 0 x2 上单调递减 在 x2 上单调递增 当0 a 1时 函数f x 在 0 x1 上单调递增 在 x1 x2 上单调递减 在 x2 上单调递增 当a 1时 函数f x 在 0 上单调递增 1 可导函数在某一区间上单调 实际上就是在该区间上f x 0 或f x 0 f x 在该区间的任意子区间内都不恒等于0 恒成立 然后分离参数 转化为求函数的最值问题 从而获得参数的取值范围 2 可导函数在某一区间上存在单调区间 实际上就是f x 0 或f x 0 f x 在该区间的任意子区间内都不恒等于0 在该区间上存在解集 这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题 3 若已知f x 在区间i上的单调性 区间i中含有参数时 可先求出f x 的单调区间 令i是其单调区间的子集 从而可求出参数的取值范围 利用导数与函数的单调性求参数的取值范围 例2 2015重庆 20 12分 设函数f x a r 1 若f x 在x 0处取得极值 确定a的值 并求此时曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若f x 在 3 上为减函数 求a的取值范围 解析 1 对f x 求导得f x 因为f x 在x 0处取得极值 所以f 0 0 即a 0 当a 0时 f x f x 故f 1 f 1 从而f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y x 1 化简得3x ey 0 2 由 1 知f x 令g x 3x2 6 a x a 由g x 0 解得x1 x2 当x0 即f x 0 故f x 为增函数 当x x2时 g x 0 即f x 0 故f x 为减函数 由f x 在 3 上为减函数 知x2 3 解得a 故a的取值范围为 1 解决函数极值问题的一般思路 利用导数研究函数的极 最 值 2 函数的最大值 最小值是比较整个定义域内的函数值得出来的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的 函数的极值可以有多个 但最大 小 值只有一个 极值只能在区间内一点处取得 最值可以在端点处取得 有极值未必有最值 有最值也未必有极值 极值可能成为最值 例3 2017江西南昌高三第二次模拟 21 已知函数f x xln x 1 ax2 bx a b r a b为常数 e为自然对数的底数 1 当a 1时 讨论函数f x 在区间上极值点的个数 2 当a 1 b e 2时 对任意的x 1 都有f x k成立 求正实数k的取值范围 解析 1 当a 1时 f x ln x 1 2x b 记g x f x b 则g x 2 令g x 0 x 当x 时 g x 0 所以当x 时 g x 取得极小值6 ln2 又g e 2 g e 1 2e 4 f x 0 g x b 所以 i 当 b 6 ln2 即b ln2 6时 f x 0 函数f x 在区间上无极值点 ii 当6 ln2 b e 2 即 e 2 b ln2 6时 f x 0有两个不同的解 函数f x 在区间上有两个极值点 iii 当e 2 b 2e 4 即 2e 4 b e 2时 f x 0有一个解 函数f x 在区间上有一个极值点 iv 当 b 2e 4 即b 2e 4时 f x 0 函数f x 在区间上无极值点 2 当a 1 b e 2时 对任意的x 1 都有f x k 成立 即xln x 1 x2 e 2 x0 当x 2时 h x 2时 x 0 所以当x 2时 x 取得最小值 2 所以只需e2 即正实数k的取值范围是 2 1 利用导数证明不等式若证明f x g x x a b 则可以通过构造函数f x f x g x 证明f x 0 如果证明f x 在 a b 上的最大值小于0 那么即可证明f x g x x a b 2 利用导数解决不等式的恒成立问题 恒成立 与 存在性 问题可看作一类问题 一般都可通过求相关函数的最值来解决 如 当f x 在x d上存在最大值和最小值时 若f x g a 对于x d恒成立 应求f x 在x d上的最小值 将原条件转化为g a f x min 若f x g a 对于x d恒成立 应求f x 在x d上的最大值 将原条件转化为g a f x max 若存在x d 使得f x g a 成立 则应求f x 在x 利用导数解决不等式问题的常见类型及解题策略 d上的最大值 将原条件转化为g a f x max 若存在x d 使得f x g a 成立 则应求f x 在x d上的最小值 将原条件转化为g a f x min 例4 2017课标全国 21 12分 已知函数f x x 1 alnx 1 若f x 0 求a的值 2 设m为整数 且对于任意正整数n m 求m的最小值 解题导引 解析本题考查导数的综合应用 1 f x 的定义域为 0 若a 0 因为f aln20 由f x 1 知 当x 0 a 时 f x 0 所以f x 在 0 a 上单调递减 在 a 上单调递增 故x a是f x 在 0 的唯一最小值点 由于f 1 0 所以当且仅当a 1时 f x 0 故a 1 2 由 1 知当x 1 时 x 1 lnx 0 令x 1 得ln 从而ln ln ln 1 1 故 2 所以m的最小值为3 一题多解f x 1 x 0 当a 0时 f x 0 而f 1 0 不合题意 a 0 f x 在 0 a 上单调递减 在 a 上单调递增 又f x 0 f a 0 即a 1 alna 0 记h x x 1 xlnx 则h x 1 lnx 1 lnx h x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 h x h 1 0 即当且仅当x 1时 h x 0 当且仅当a 1时 f x 0成立 a 1 利用导数研究函数零点的方法方法一 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 根据函数f x 的性质作出图象 3 判断函数零点的个数 方法二 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 分类讨论 判断函数零点的个数 利用导数研究函数的零点或方程的根 例5 2016课标全国 21 12分 已知函数f x x 2 ex a x 1 2有两个零点 1 求a的取值范围 2 设x1 x2是f x 的两个零点 证明 x1 x2 2 解析 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 2分 i 设a 0 则f x x 2 ex f x 只有一个零点 3分 ii 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 又f 1 e f 2 a 取b满足b b 2 a b 1 2 a 0 故f x 存在两个零点 4分 iii 设a0 因此f x 在 1 上单调递增 又当x 1时f x 0 所以f x 不存在两个零点 6分 若a1 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 因此f x