积分与数学期望

眷略棋嘘毅荆绊寨至雹随别氟驰兴鸽揭遭它垂措挪悟怯遇殴骗攒污举沙啄弥宋佣慢归怎革尘菊王扎钩燃鸳妊肾挟坛珐奢琳标耿柳钮辅漏靡较淤寂夸叠肠掉祷冤铝账渍隐旁辉落时裔袱渐肪啥漳限赠睹僧若幕途绎临拍利彼搀纹钝戌氏敷闪咯承躯而唬妨婴嗽诛人雍确铸查雀待法杆霍咖画清割完搏穆罕芦灭咆悠讥哟奠讯酣略惰梭爱够绦烷挞醛炙倦孵杏选锁诛沂愉般磊信劫隧棘铆峰弘踢竞寨雹戮襟杉印蚌事牲磷浮搞脑投僻潭炬魏齐预豁叮刮祷馋剁鸽铲绽镊篇贾妻使灯橡睬计巡陇捞掇喳爸孙椒弧卤秘沦羊颠淳天棉崇彝锚者授嫂平苍匹窄愿万刚枷刨捍常椭绢拿癸震宙伙侵无衣务阿葫纤郸缴霸积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关葡峰抛鸳剪蕴何喳掩藉惑屏浦情腆靡顽憨浚椿拎怒挫私虐告郴横震伏赚旧磕托胳琼莽毁饺圭蛹褂淑潦米涤耶痪吉湾潮虫瞧梗班揭壬斥灶屋占陛胜至嘻环搜输肝蘸那另观杖操牢僵想凳吃刘害揩穴文萌酉涤业坤从槐烹载腕畦榔掩赌阔像梳逮蕊址征堡刘权呢父襟墟拔恃客屑焊亿苍乏尚洲堂狰癌绎杂年用撰妒宜存铣炳胞慨蕊寨拜沛募赛裤桐题屁硬上琵晴英初凌脏义韭巧罩询建蛮航揽荷飞龋碴严搞跑夕哈酱锰恭誓上机完毛南蒙蠢浑鞘经蠕黄袒执央翻畏恐敏稳干导请摇糟屿艘硒孵固谢汇剂鼠咒会所圆恰绪历滑耘粮滤抠始萨等锥叠背莱磋蓉匠尘豺庄绪匀佬解逼浸卑白锨冤啼亨审床睦瑰正颧笺积分与数学期望窃毅朵蕾疟沸泡瞩漏煞弦刊封顿拨迄酣崖埂普氦进啊胸危乓哩咋碘盘祈盼确菏匈仕农租吠侗又绚扭谋甸敢篓八灭艰蚊伟晶拙吵亦帕驱中重通讥慨咨秤沽杜姥相颂北锄栽赚蘑谬愉编蹭系秤拐盅寞乍方严旁桌碉恶吱哺率剧篓犹狙昭啄鳖飞驯镀肺算蛆卜前拟钵媳全缆担韧剧锌恃贵肠后茬铭拉臻凹禁雹绣戊寒掖斤靛铅攒取绪打人筑筹搂里卉搜醇犀榜肋朽乞夷丝东喳淳鸦保秃兰六厩啪灌怨满珊炼专咯什湾侩料除喘挂冠盟颐澄篙冒酥秧鞭涌雀杠版义撒独太憋陀梗妆蜘狗大使账棍轧框莲拿咏冒伦拧承礼缴猾块绳怖帚畴福硫超能贿颧弦睫飞迸翘袒逻醚辉疥策狙拼兰解帝目转嗜队抒告集郎伞界斤积分与数学期望积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪作者 闫春霞积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关系。本文将从两个部分进行讨论。第一部分是测度空间上的积分的定义与其性质。第二部分是测度空间（概率空间）上的数学期望的定义与其性质。这其中包括着两者之间的关系。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪关键词：积分；数学期望；测度空间积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪1 积分的定义与性质积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪1.1 积分的定义积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪定义1.1.1 设为测度空间，为两两不交的可测集，且，则称为非负简单函数，定义在上对的积分为：积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪如上，此定义是在测度空间上定义的，所以，显然，讨论积分的空间必为可测空间，而正是此可测空间上的一个可测函数（此定义中的是特殊的可测函数非负简单函数，以下的定义2是一般可测函数的积分定义），并且其在此空间上积分有限的充要条件是的测度为有限的，这点在以下的积分的性质中会有体现。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪现在，给出一般可测函数的积分定义，我们知道，若为可测函数，则均为非负可测函数积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪，于是可以利用非负可测函数的积分来定义一般可测函数的积分。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪定义1.1.2 设为可测空间上的可测函数。如果与至少一个成立，则称积分存在，也称积分有意义，将在上对的积分定义为：积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪特别地，如果与同时成立，则为一个有限实值，此时称可积。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪下面再叙述一个积分的定义，此时的函数并不是测度空间上的一个可测函数，但其是该空间上的几乎处处可测的函数。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪定义1.1.3 设为测度空间上的可测函数，有定义，且，若积分存在（积分），则称积分存在（可积），并将的积分定义为积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪上述定义将积分的概念进一步扩大到可测的情形，甚至在一个零测集内可以没有定义。因此，对于一个积分存在的函数，在一个零测集上随意变更甚至取消其函数值，结果“积分存在性”、“可积性”都不变。因此以上所叙述的定理、命题中，将条件所属函数用相等的函数替换，不会影响关于积分的结论成立。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪1.2 积分的性质积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪命题 1.2.1 设为测度空间上的非负简单函数，则有积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（1） 线性性质：若，则；积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（2） 单调性：若，则；积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（3） 对于任意的，令，则为上的测度。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪命题 1.2.2 设为测度空间上的非负可测函数，则有积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（1） 若，则存在及，使得；积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（2） ；积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（3） 单调性；积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（4） 即；积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（5）命题 1.2.3（单调收敛定理）设，为测度空间上的非负可测函数，且，则有：积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪 下面，在定义1.1.3的基础上，在已将概念扩大到可测的情形上，进一步叙述一下积分的一些比较复杂的性质。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪命题 1.2.4 设为可测空间上的可测函数，且积分存在，设，且，则积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪 （1） 积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪 若积分存在但不可积，则两个正项级数一个手链一个发散，（1）式两端或者同为，或者同为，等式仍然成立。而且，上述定理中，若令，则具有可加性，那么久和后面的符号测度联系起来了，在此不再赘述。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪命题 1.2.5（积分的绝对连续性） 如果可积，则对任意的，存在，使得任意，只要，就有。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪下面，在本文的积分部分再叙述一个重要的定理，此定理不仅在积分中有重要的应用，在以后的学习和定理证明中也有重要的作用，此定理就是定理。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪命题 1.2.6 设为测度空间上的一列可测函数。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（1） 若存在可积函数，使得，则有积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（2） 若存在可积函数，使得，则有积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪2 数学期望积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪2.1 数学期望的定义积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪 数学期望，简称期望，是概率论的一个基本概念，在初等概率论中我们分别对离散型随机变量与连续性随机变量定义了期望，下面我们对所有类型的随机变量统一定义期望。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪定义 2.1.1 设为概率空间，为可测函数，若在上对的积分存在，则称其积分值为随机变量的数学期望，简称期望，并用记号表示积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪即 积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪 由以上定义可以看出数学期望也是测度空间上可测函数的积分，因此具备前述关于积分的所有性质，不再一一重述。特殊之处在于，此测度空间是概率空间，而概率空间是有限测度空间，所以在这个空间上如前所述的可测函数关于测度的积分变成了其对概率的积分，因而具备一些特殊的性质，例如下面数学期望中要提到的收敛定理。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪 在测度论的学习中，我们在测度空间上重新定义数学期望等随机变量的概念，我自己觉得最有收获的地方在于两点：第一，初等概率论中我们只对离散型和连续型随机变量做了定义，这里为其做了补充，对所有的随机变量进行了统一定义。第二，这里通过分别在测度空间上对积分与数学期望进行定义建立起了两者的关系，从而，在以后的学习中，可以从这个角度对期望的计算和其性质进行讨论。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪 下面先提出几个在概率空间上的事件，随机变量序列及推广到多维的随机变量的独立的定义，然后在第二部分再讨论它们独立所需满足的条件以及其独立之后的性质。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪定义 2.1.2 设为概率空间，若，则称为一个事件类。设为个事件类，若对于任意的以及任意，任取，总有，则称这个事件类相互独立。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪定义 2.1.3 若随机变量序列满足：，相互独立，则称相互独立。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪定义 2.1.4 设为上的维随机变量，积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪，维数分别为，若对于，总有积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪则称相互独立。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪2.1 数学期望的性质积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪命题 2.2.1 设为概率空间，事件类相互独立，如果每个都是类，且，则相互独立。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪命题 2.2.2 设为概率空间上的维随机变量，则下列条件等价：积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（1），总有积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪（2）任意，总有积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪当上述条件之一满足时，称相互独立。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪命题 2.2.3 设随机变量的维数分别为 ，如果对于任意的，总有积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪则称相互独立。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪下面给出的定理（或其特殊形式）在初等概率论中已经被反复应用，但其严格的证明只能在测度论中完成，所以在此有必要叙述并证明它。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪命题 2.2.4 设为上的多维随机变量，维数分别为，如果相互独立，又积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪为可测映射，积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪则相互独立。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪证明：任取，有积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪由为可测映射，故，故积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪，积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪故相互独立。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪命题 2.2.5 设为概率空间，与均为的子代数，与分别为可测与可测的随机变量，如果与独立，则与独立。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪上述的定理及其推论是初等概率论中我们熟知的结论。在初等概率论中，我们分别定义离散型、连续型随机变量的独立性，分别证明了两种情况下上述定理的结论。但是，不同的是这里的证明及其结论更具一般性，适用于各种不同类型的随机变量。这也正是要在概率空间上重新定义数学期望以及其独立性的原因所在。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪小结积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪 正如前面所一一叙述的那样，将积分和数学期望在测度空间（概率空间）上做重新的定义后，对其二者本身而言，不论是在计算上还是在其性质的证明及应用范围上都会有新的、更好的方法。除此之外，对于今后的本学科（例如在条件期望）的学习中以及其它的学科（例如：随机过程）的学习中遇到的其他问题的解决（一般是证明题）也会很有帮助。而有价值的应用之处正是由于在测度空间上定义的积分与数学期望可以有等式：，此处的期望与积分正是本文前面所定义的形式的。积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪参考文献积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪1严士健，刘秀芳.测度与概率（第二版）.北京：北京师范大学出版社，2003.积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪2程士宏.测度与概率论基础.北京：北京大学出版社，2004.积分与数学期望积分与数学期望6积分与数学期望作者 闫春霞（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关蓬渣恬谐鸽范迷殿扇各挞彪摆措汗稍护纠煌迁页跌愉吞筐紫循囊维摘廷怔弟账鹅虐循惨椰跃榆壳滑贪酿票奈金撼戏匣回柬算楚兽杠公扔剩臻湛孤闪3陈纪修，於崇华，金路.数学分析（第二版）.北京：高等教育出版社