重庆市部分区县2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年重庆市部分区县高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|1 x3， B=x|x 2，则 AB 等于（ ） A x|1 x2 B x|1x2 C x|1x3 D x|2 x3 2计算 （ ） A B C D 3下列四个函数中，与 y=x 表示同一函数的而是（ ） A y= B y= C y=（ ） 2 D y= 4已知向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 1），则 与 的夹角为（ ） A 30 B 45 C 120 D 135 5若 a=b=c=则下列不等式正确的是（ ） A a b c B b a c C b c a D c a b 6已知函数 f（ x） = 若 f（ a） = ，则 a=（ ） A 1 B C 1 或 D 1 或 7函数 f（ x） =2x+4x 3 的零点所在区间是（ ） A（ ， ） B（ ， 0） C（ 0， ） D（ ， ） 8函数 f（ x） =2x ）的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的 ，那么所得图象的函数表达式为（ ） A y= y=x+ ） C y=4x+ ） D y=4x+ ） 9若函数 y=f（ x）的图象如图所示，则函数 y=f（ 1 x）的图象大致为（ ） A B C D 10函数 y=x+）（ 0， | ）的图象的一部分如图所示，则 、 的值分别 为（ ） A 1， B 2， C 1， D 2， 11当 2x1 时，二次函数 y=（ x m） 2+ 有最大值 4，则实数 m 的值为（ ） A B 2 或 C 或 D 2 或 或 12设 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（ 2+x） =f（ 2 x），当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） x 1，若在区间（ 2， 6）内，函数 y=f（ x） x+2），（ a 0， a1）恰有 1 个零点，则实数 ） A（ 1， 4） B（ 4， +） C（ ， 1） （ 4， +） D（ 0， 1） （ 1， 4） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . 13已知全集 U=R，集合 M=y|y=1， xR，则 14函数 的定义域为 15已知向量 ， ，满足 =0， | |=2， | |=1，则 | +2 |= 16给出下列四个命题： 对于向量 、 、 ，若 ， ，则 ； 若角的集合 A=|= + ， kN B=|=， kZ，则 A=B； 函数 y=2y=图象有且仅有 2 个公共点； 将函数 f（ x）的图象向右平移 2 个单位，得到 f（ x+2）的图象 其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 A=x|1 2x 4， B=x|0 （ 1）求 A B； （ 2）若记符号 A B=x|xA 且 xB，求 B A 18已知 x+ ） = ，且 x（ 0， ） （ 1）求 值； （ 2）求 的值 19已知 是平面内两个不共线的非零向量， ， ，且 A， E， C 三点共线 （ 1）求实数 的值； （ 2）若 =（ 2， 1）， =（ 2， 2），求 的坐标 20某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数： R（ x） = ，其中 x 是仪器的月产量（注：总收益 =总成本 +利润） （ 1）将利润 x 表示为月产量 x 的函数； （ 2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 21在 ，角 A， B， C 分别为三个内角， B=2A，向量 =（ 向量 =（ 且向量 （ 1）求角 B 的大小； （ 2）设 f（ x） =x ） + 0），且 f（ x）的最小正周期为 ，求 f（ x）的单调递增区间及 f（ x）在 0， 上的最大值 22已知函数 f（ x） = （ mZ）为偶函数，且在（ 0， +）上为增函数 （ 1）求 m 的值，并确定 f（ x）的解析式； （ 2）若 g（ x） =f（ x） a 0 且 a1），是否存在实数 a，使 g（ x）在区间 2， 3上的最大值为 2，若存在，求出 a 的值，若不存在 ，请说明理由 2015年重庆市部分区县高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|1 x3， B=x|x 2，则 AB 等于（ ） A x|1 x2 B x|1x2 C x|1x3 D x|2 x3 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 直接根据交集的定义求解即可 【解答】 解：因为集合 A=x|1 x3， B=x|x 2， 所以集合 AB=x|1 x3x|x 2=x|2 x3 故选： D 【点评】 本题主要考查集合的交并补运算，一般在高考题中出现在前三题的位置中，属于基础题目 2计算 （ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数 【专题】 三角函数的求值 【分析】 利用两角和与差的正弦公式求得答案 【解答】 解： 45+15） = ， 故选 D 【点评】 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式属基础题 3下列四个函数中，与 y=x 表示同一函数的而是（ ） A y= B y= C y=（ ） 2 D y= 【考点】 判断两个函数是否为同一函数 【专题】 计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据同一函数的定义：定义域相同，值域相同，解析式相同，判断即可得到结果 【解答】 解：与 y=x 表示同一函数的是 y= ， 故选： D 【点评】 此题考查了判断两个函数是否为同一函数，弄清同一函数的定义是解本题的关键 4已知向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 1），则 与 的夹角为（ ） A 30 B 45 C 120 D 135 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用 【分析】 利用平面向量的数量积公式解答即可 【解答】 解： = = = ，所以 与 的夹角为 45； 故选： B 【点评】 本题考查了平面向量的数量积公式是运用求两个向量的夹角；属于基础题 5若 a=b=c=则下列不等式正确的是（ ） A a b c B b a c C b c a D c a b 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用指数函数、对数函数的性质求解 【解答】 解： a=30=1， 0=b=， c= ， a b c 故选： A 【点评】 本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用 6已知函数 f（ x） = 若 f（ a） = ，则 a=（ ） A 1 B C 1 或 D 1 或 【考点】 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值 【分析】 按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍 【解答】 解：令 f（ a） = 则 或 ， 解之得 a= 或 1， 故选： C 【点评】 已知函数值，求对应的自变量值，是根据方程思想，构造方程进行求解对于分段函数来说，要按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍 7函数 f（ x） =2x+4x 3 的零点所在区间是（ ） A（ ， ） B（ ， 0） C（ 0， ） D（ ， ） 【考点】 二分法求方程的近似解 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 据函数零点的判定定理，判断出 f（ ）与 f（ ）的符号相反，即可求得结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+4x 3 的图象是连续的， 且在定义域 R 上为增函数， 又 f（ ） = 2 0， f（ ） = 0， 故函数 f（ x） =2x+4x 3 的零点所在区间是（ ， ）， 故选： A 【点评】 本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题 8函数 f（ x） =2x ）的 图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的 ，那么所得图象的函数表达式为（ ） A y= y=x+ ） C y=4x+ ） D y=4x+ ） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：把函数 f（ x） =2x ）的图象向左平移 个单位，可得 y=（ x+ ） =2x+ ）的图象， 再将图象 上各点的横坐标压缩为原来的 ，那么所得图象的函数表达式为 y=4x+ ）， 故选： D 【点评】 本题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，属于基础题 9若函数 y=f（ x）的图象如图所示，则函数 y=f（ 1 x）的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象与图象变化 【专题】 压轴题；数形结合 【分析】 先找到从函数 y=f（ x）到函数 y=f（ 1 x）的平移变换规律是：先关于 y 轴对称得到 y=f（ x），再整体向右平移 1 个单位；再画出对应的图象，即可求出结 果 【解答】 解：因为从函数 y=f（ x）到函数 y=f（ 1 x）的平移变换规律是：先关于 y 轴对称得到 y=f（ x），再整体向右平移 1 个单位即可得到 即图象变换规律是： 故选： A 【点评】 本题考查了函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题，但也是易错题易错点在于左右平移，平移的是自变量本身，与系数无关 10函数 y=x+）（ 0， | ）的图象的一部分如图所示，则 、 的值分别为（ ） A 1， B 2， C 1， D 2， 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【专题】 计算题；三角函数的图像与性质 【分析】 根据函数一个零点和与之最近的最小值点之间的距离，求出 T= =，算出 =2 得到表达式为 y=2x+），再由函数的最小值，将（ ， 1）代入解出 = ，即可得到本题的答案 【解答】 解： 函数的一个零点为 x= ，与之最近的最小值点为 x= 函数的周期 T= =4（ ），即 =，可得 =2 函数表达式为 y=2x+）， x= 时，函数的最小值为 1 2 += +2得 = +2 kZ） | ， 取 k=1，得 = 故选： B 【点评】 本题给出三角函数的部分图象，求函数的表达式，着重考查了三角函数的图象与性质、由y=x+）的部分图象确定其解析式等知识，属于基础题 11当 2x1 时，二次函数 y=（ x m） 2+ 有最大值 4，则实数 m 的值为（ ） A B 2 或 C 或 D 2 或 或 【考点】 二次函数的性质 【专题】 计算题；分类讨论；分析法；函数的性质及应用 【分析】 求出二次函数的对称轴为 x=m，再分对称轴在区间 2， 1的左侧、中间、右侧三种情况，分别根据当 2x1 时 y 的最大值为 4，求得 m 的值，综合可得结论 【解答】 解： 二次函数 y=（ x m） 2+ 的对称轴为 x=m， 2x1， 当 m 2 时，函数 f（ x）在 2， 1上是减函数， 函数的最大值为 f（ 2） =（ 2 m） 2+1+，求得 m= ，舍去； 当 2m1 时，函数 f（ x）的最大值为 f（ m） =1+， 求得 m= （ 舍去） 当 m 1 时，函数 f（ x）在 2， 1上是增函数， 函数的最大值为 f（ 1） =（ 1 m） 2+1+， 求得 m=2 综上可得， m=2 或 故选： B 【点评】 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题 12设 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（ 2+x） =f（ 2 x），当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） x 1，若在区间（ 2， 6）内，函数 y=f（ x） x+2），（ a 0， a1）恰有 1 个零点，则实数 ） A（ 1， 4） B（ 4， +） C（ ， 1） （ 4， +） D（ 0， 1） （ 1， 4） 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 由 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（ 2+x） =f（ 2 x），推出函数 f（ x）是以 4 为最小正周期的函数，结合题意画出在区间（ 2， 6）内函数 f（ x）和 y=x+2）的图象，注意对 a 讨论，分 a 1， 0 a 1，结合图象即可得到 a 的取值范围 【解答】 解： f（ x）是定义在 R 上的偶函数， f（ x） =f（ x）， 又 f（ 2+x） =f（ 2 x）， 即 f（ x+4） =f（ x） f（ x+4） =f（ x）， 则函数 f（ x）是以 4 为最小正周期的函 数， 当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） x 1， f（ x）是定义在 R 上的偶函数， 当 x0， 2时， f（ x） =（ ） x 1， 结合题意画出函数 f（ x） 在 x（ 2， 6）上的图象 与函数 y=x+2）的图象， 结合图象分析可知， 要使 f（ x）与 y=x+2）的图象， 恰有 1 个交点， 则有 0 a 1 或 ， 解得 0 a 1 或 1 a 4， 即 a 的取值范围是（ 0， 1） （ 1， 4） 故选： D 【点评】 本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用，同时考查数形结合的数学思想方法，以及对底数 a 的讨论，是一道中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . 13已知全集 U=R，集合 M=y|y=1， xR，则 y|y 1 【考点】 补集及其运算 【专题】 对应思想；定义法；集合 【分析】 先化简集合 M，再根据补集的定义求出 【解答】 解：全集 U=R，集合 M=y|y=1， xR=y|y 1， y|y 1 故答案为： y|y 1 【点评】 本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题目 14函数 的定义域为 2， +） 【考点】 函数的定义域及其求法；对数函数的定义域 【专题】 计算题 【分析】 函数 的定义域为 ，由此能求出结果 【解答】 解：函数 的定义域为 ， 解得 x2 故答案为： 2， +） 【点评】 本题考查函数的定义域及其求法，解题时要认真审题，仔细解答 15已知向量 ， ，满足 =0， | |=2， | |=1，则 | +2 |= 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；集合思想；平面向量及应用 【分析】 根据题意，由数量积的运算性质可得 | +2 |2=（ +2 ） 2= 2+4 +4 2=| |2+4 +4| |2，代入数据可得 | +2 |2 的值，进而可得答案 【解答】 解：根据题意， | +2 |2=（ +2 ） 2= 2+4 +4 2=| |2+4 +4| |2=8， 则 | +2 |=4 ， 故答案为： 4 【点评】 本题考查平面向量数量积的运算，掌握数量积的有关运算性质是解题的关键 16给出下列四个命题： 对于向量 、 、 ，若 ， ，则 ； 若角的集合 A=|= + ， kN B=|=， kZ，则 A=B； 函数 y=2y=图象有且仅有 2 个公共点； 将函数 f（ x）的图象向右平移 2 个单位，得到 f（ x+2）的图象 其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序号） 【考点】 命题的真假判断与应用 【专题】 阅读型；函数的性质及应用；平面向量及应用；集合 【分析】 由于 可为零向量，而零向量与任何向量共线，即可判断 ； 对 k 讨论为奇数或偶数，分解集合 A，判断 A， B 的关系，即可判断 ； 写出函数 y=2y=图象的第一象限的交点，令 f（ x） =2x 用零点存在定 理，得到 f（ x）在（ 1， 0）上有零点，即可判断 ； 由图象平移的规律，左右平移一定针对自变量 x 而言，即可判断 【解答】 解： 对于向量 、 、 ，若 ， ，则 ， 的位置关系不确定，由于 可为零向量，而 零向量与任何向量共线，故 错； 若 k=2n，则 =，若 k=2n 1，则 =n ， nZ，则 A=B，故 对； 函数 y=2y=图象有交点（ 2， 4），（ 4， 16），当 x 0 时，令 f（ x） =2x 由于 f（ 1） 0， f（ 0） 0，即 f（ x）在（ 1， 0）上有零点 ，故 错； 将函数 f（ x）的图象向右平移 2 个单位，得到 f（ x 2）的图象，故 对 故答案为： 【点评】 本题考查向量的共线，注意零向量的特点，考查函数的图象的平移和图象的交点，注意运用零点存在定理，同时考查集合的相等，属于基础题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 A=x|1 2x 4， B=x|0 （ 1）求 A B； （ 2）若记符号 A B=x|xA 且 xB，求 B A 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题 】 计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 （ 1）通过解不等式 1 2x 4=22、 0 可知 A=（ 0， 2）、 B=1， +），进而计算可得结论； （ 2）通过（ 1）可知 A=（ 0， 2）、 B=1， +），进而利用 B A 的定义计算即得结论 【解答】 解：（ 1） 1 2x 4=22， 0 x 2， A=（ 0， 2）， 0， x 1， B=1， +）， A B=（ 0， +）； （ 2）由（ 1）可知 A=（ 0， 2）、 B=1， +）， B A=x|xB 且 xA=2， +） 【点评】 本题考 查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题 18已知 x+ ） = ，且 x（ 0， ） （ 1）求 值； （ 2）求 的值 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 转化思想；转化法；三角函数的求值 【分析】 （ 1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出； （ 2）利用同角三角函数基本关系式、 “弦化切 ”即可得出 【解答】 解：（ 1） x+ ） = ，且 x（ 0， ） ， = = （ 2） = = = =7 【点评】 本题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式、 “弦化切 ”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19已知 是平面内两个不共线的非零向量， ， ，且 A， E， C 三点共线 （ 1）求实数 的值； （ 2）若 =（ 2， 1）， =（ 2， 2），求 的坐标 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【专题】 平面向量及应用 【分析】 本题（ 1）可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出 的值，得到本题结论；（ 2）利用向量和，用 ， 表示 ，利用 ， 的坐标，得到 的坐标，得到本题结论 【解答】 解：（ 1） ， ， = = + = A， E， C 三点共线， 存在 mR，使得 ， ， = = 是平面内两个不共线的非零向量， ， ， 实数 的值为： （ 2） ， ， = ， =（ 2， 1）， =（ 2， 2）， =（ 6， 3） +（ 1， 1） =（ 7， 2） 的坐标为：（ 7， 2） 【点评】 本题考查了向量共线和向量的坐标运算，本题难度不大，属于基础题 20某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器 需增加投入 100 元，已知总收益满足函数： R（ x） = ，其中 x 是仪器的月产量（注：总收益 =总成本 +利润） （ 1）将利润 x 表示为月产量 x 的函数； （ 2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【考点】 函数模型的选择与应用 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 （ 1）根据利润 =收益成本，由已知分两段当 0x400 时，和当 x 400 时，求出利润函数的解析式； （ 2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论 【解答】 解：（ 1）由于月产量为 x 台，则总成本为 20000+100x， 从 而利润 f（ x） = ； （ 2）当 0x400 时， f（ x） =300x 20000= （ x 300） 2+25000， 当 x=300 时，有最大值 25000； 当 x 400 时， f（ x） =60000 100x 是减函数， f（ x） =60000 100400 25000 当 x=300 时，有最大值 25000， 即当月产量为 300 台时，公司所获利润最大，最大利润是 25000 元 【点评】 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键 21在 ，角 A， B， C 分别为三个内角， B=2A，向量 =（ 向量 =（ 且向量 （ 1）求角 B 的大小； （ 2）设 f（ x） =x ） + 0），且 f（ x）的最小正周期为 ，求 f（ x）的单调递增区间及 f（ x）在 0， 上的最大值 【考点】 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【专题】 计算题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用 【分析】 （ 1）由向量垂直得到关于 A 的等式求出 B； （ 2）利用（ 1）的结论，化简三角函数式，求单调区间和最值 【解答】 解：（ 1）由已知 B=2A，向量 =（ 向量 =（ 且向量 得到 =A+B） =，所以 3A= ， A= ， B= ； （ 2） f（ x） =x ） +x ） += ，（ 0）， 因为 f