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第 1页(共 18页) 2015年浙江省温州市高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本大题共 18个小题,每小题 3分,共 54分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1 ( ) A B C D 2已知集合 A=x|2x+a 0( aR),且 1A, 2A,则( ) A a 4 B a 2 C 4 a 2 D 4 a 2 3若幂函数 y=f( x)的图象经过点( , 3),则该幂函数的解析式为( ) A y=x 1 B y=x C y=x D y=已知 a=b= c=2 ,则( ) A c a b B c b a C a c b D a b c 5下列各式中正确的是( ) A =( x) B x = C( x) =x D x =x 6下列函数中,值域为 1, +)的是( ) A y=2x+1 B y= C y= +1 D y=x+ 7下列函数中,与函数 y=2x 表示同一函数的是( ) A y= B y= C y=( ) 2 D y=已知函数 f( x) = ,则 f( 1) +f( 0) =( ) A 3 B 4 C 5 D 6 9函数 f( x) =x 2+零点所在的一个区间是( ) A( 0, 1) B( 1, 2) C( 2, 3) D( 3, 4) 第 2页(共 18页) 10已知函数 f( x) =( x a)( x b)(其中 a b)的图象如图所示,则函数 g( x) =ax+ ) A B C D 11已知函数 f( x) =e x, e 为自然对数的底,则下列结论正确的是( ) A f( x)为奇函数,且在 R 上单调递增 B f( x)为偶函数 ,且在 R 上单调递增 C f( x)为奇函数,且在 R 上单调递减 D f( x)为偶函数,且在 R 上单调递减 12已知 ) A B C D 13已知定义在 R 上的函数 f( x)满足:对任意 ( x1均有 0, e 为自然对数的底,则( ) A f( ) f( ) f( e) B f( e) f( ) f( ) C f( e) f( ) f( ) D f( ) f( ) f( e) 14设 ,若 + ) = ,则 +) =( ) A B C D 15在一块顶角为 120、腰长为 2 的等腰三角形钢板废料 裁剪扇形,现有如图所示两种方案,则( ) 第 3页(共 18页) A方案一中扇形的周长更长 B方案二中扇形的周长更长 C方案一中扇形的面积更大 D方案二中扇形的面积更大 16某种型号的电脑自投放市场以来,经过三次降价,单价由原来的 5000 元降到 2560 元,则平均每次降价的百分率是( ) A 10% B 15% C 16% D 20% 17已知函数 f( x) =x|x|,若对任意 的 x1 有 f( x+m) +f( x) 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A( , 1) B( , 1 C( , 2) D( , 2 18存在函数 f( x)满足:对任意 xR 都有( ) A f( |x|) =x B f( |x|) =x C f( |x+1|) =x D f( |x+1|) =x 二、填空题(本大题共 4个小题,每小题 4分,共 16分) 19计算:( ( = 20函数 f( x) =2 的单调递增区间为 21对 a, bR,记 a, b= ,则函数 f( x) =x+1|, x+2( xR)的最小值是 22已知函数 f( x) =x+2)与 g( x) =( x a) 2+1,若对任意的 2, 6),都存在0, 2,使得 f( =g( 则实数 a 的取值范围是 三、解答题(本大题共 3个小题,共 30分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 23设全集为实数集 R,函数 f( x) =2x 1)的定义域为 A,集合 B=x|x| a0( aR) ( )若 a=2,求 A B 和 AB ( )若 B= a 的取值范围 24已知 三个内角分别为 A, B, C,且 A 第 4页(共 18页) ( )化简 ; ( )若角 A 满足 ( i) 试判断 锐角三角形还是钝角三角形,并说明理由; ( 求 值 25已知定理: “实数 m, n 为常数,若函数 h( x)满足 h( m+x) +h( m x) =2n,则函数y=h( x)的图象关于点( m, n)成中心对称 ” ( )已知函数 f( x) = 的图象关于点( 1, b)成中心对称,求实数 b 的 值; ( )已知函数 g( x)满足 g( 2+x) +g( x) =4,当 x0, 2时,都有 g( x) 3 成立,且当 x0, 1时, g( x) =2k( x 1) +1,求实数 k 的取值范围 第 5页(共 18页) 2015年浙江省温州市高一(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 18个小题,每小题 3分,共 54分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1 ( ) A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【专题】 三角函数的求值 【分析】 利 用诱导公式把要求的式子化为 从而求得结果 【解答】 解: , 故选: B 【点评】 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题 2已知集合 A=x|2x+a 0( aR),且 1A, 2A,则( ) A a 4 B a 2 C 4 a 2 D 4 a 2 【考点】 元素与集合关系的判断 【专题】 集合思想;定义法;集合 【分析】 根据元素和集合的关系,解不等式组即可得到结论 【解答】 解: 1A, 2A, , 解得 4 a 2, 故选: D 【点评】 本题主要考查元素和集合关系的应用,根据条件解不等式是解决本题的关键,比较基础 3若幂函数 y=f( x)的图象经过点( , 3),则该幂函数的解析式为( ) A y=x 1 B y=x C y=x D y=考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【专题】 函数思想;综合法;函数的性质及应用 【分析】 利用幂函数的形式设出 f( x),将点的坐标代入求出函数的解析式 【解答】 解: f( x)是幂函数 设 f( x) = 图象经过点( , 3), 3= , 第 6页(共 18页) = 1 f( x) =x 1 故选: A 【点评】 本题考查利用待定系数法求知函数模型的解析式 4已知 a=b= c=2 ,则( ) A c a b B c b a C a c b D a b c 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题;转化思想;函数的性质及应用 【分析】 利用对数函数、指数函数性质求解 【解答】 解: 0=a=, b= , c=2 20=1, c a b 故选: A 【点评】 本题考查三个数大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数、指数函数性质的合理运用 5下列各式中正确的是( ) A =( x) B x = C( x) =x D x =x 【考点】 根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【专题】 计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用 【分析】 利用根式与分数指数幂性质、运算法则求解 【解答】 解:在 A 中, = ( x) ,故 A 错误; 在 B 中, x = ,故 B 错误; 在 C 中,( x) =x ,故 C 正确; 在 D 中, x =x ,故 D 错误 故选: C 【点评】 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意根式与分数指数幂性质的合理运用 6下列函数中,值域为 1, +)的是( ) A y=2x+1 B y= C y= +1 D y=x+ 第 7页(共 18页) 【考点】 函数的值域 【专题】 计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用 【分析】 前三项都可由解析式看出值域: y=2x+1 0, y= , y= ,从而判断出这三项不正确,对于 D,先得到 ,两个不等式相加便可得到,这样便可得出该函数的值域,即得出 D 正确 【解答 】 解: 0, y=2x+1 的值域为( 0, +), 该选项错误; B. , 的值域为 0, +), 该选项错误; C |x| 0; ; ; 的值域为( 1, +), 该选项错误; D x 10; ; ; 即 y1; 的值域为 1, +), 该选项正确 故选: D 【点评】 考查函数值域的概念,指数函数的值域,以及反比例函数的值域,一次函数的值域,根据不等式的性质求值域的方法 7下列函数中,与函数 y=2x 表示同一函数的是( ) A y= B y= C y=( ) 2 D y=考点】 判断两个函数是否为同一函数 【专题】 对应思想;定义法;函数的性质及应用 【分析】 根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,即可判断它们是同一函数 【解答】 解:对于 A, y= =2x( x0)与 y=2x( xR)的定义域不同, 不是同一函数; 对于 B, y= =2|x|( xR)与 y=2x( xR)的解析式不同, 不是同一函数; 对于 C, y= =2x( x0)与 y=x( xR)的定义域不同, C 是同一函数; 对于 D, y=x( xR)与 y=2x( xR)的定义域相同,对应关系也相同, 是同一函数 第 8页(共 18页) 故选: D 【点评】 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题目 8已知函数 f( x) = ,则 f( 1) +f( 0) =( ) A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 函数的值 【专题】 计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用 【分析】 根据函数的表达式求出 f( 1)和 f( 0)的值,求和即可 【解答】 解: 函数 f( x) = , f( 1) =1+2=3, f( 0) =1, f( 1) +f( 0) =3+1=4, 故选: B 【点 评】 本题考察了求函数值问题,考察分段函数,是一道基础题 9函数 f( x) =x 2+零点所在的一个区间是( ) A( 0, 1) B( 1, 2) C( 2, 3) D( 3, 4) 【考点】 函数零点的判定定理;二分法求方程的近似解 【专题】 计算题;函数的性质及应用 【分析】 由题意,函数 f( x) =x 2+定义域上单调递增,再求端点函数值即可 【解答】 解:函数 f( x) =x 2+定义域上单调递增, f( 1) =1 2 0, f( 2) =2+2 0, 故函数 f( x) =x 2+零点所在区间是( 1, 2); 故选 B 【点评】 本题考查了函数的零点的判断,属于基础题 10已知函数 f( x) =( x a)( x b)(其中 a b)的图象如图所示,则函数 g( x) =ax+ ) 第 9页(共 18页) A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 先由函数 f( x)的图象判断 a, b 的范围,再根据指数函数的图象和性质即可得到答案 【解答】 解:由函数的图象可知, 1 b 0, a 1,则 g( x) =ax+b 为增函数,当 x=0 时,y=1+b 0,且过定点( 0, 1+b), 故选: C 【点评】 本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质,属于基础题 11已知函数 f( x) =e x, e 为自然对数的底,则下列结论正确的是( ) A f( x)为奇函数,且在 R 上单调递增 B f( x)为偶函数,且在 R 上单调递增 C f( x)为奇函数,且在 R 上单调递减 D f( x)为偶函数,且在 R 上单调递减 【考点】 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明 【专题】 函数思想;综合法;函数的性质及应用 【分析】 可先得出 f( x)的定义域为 R,求 f( x) = f( x),从而得出 f( x)为奇函数,根据指数函数的单调性便可看出 x 增大时, f( x)增大,从而得到 f( x)在 R 上单调递增,这样便可找出正确选项 【解答】 解: f( x)的定义域为 R; f( x) =e x f( x); f( x)为奇函数; x 增加时, e e f( x)增加; f( x)在 R 上单调递增 故选 A 【点评】 考查奇函数的定义,判断一个函数为奇函数的方法和过程,以及增函数的定义,指数函数的单调性 12已知 ) A B C D 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 转化思想;综合法;三角函数的求值 【分析】 由条件利用本题主要考查同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值 【解答】 解: ,则 = = , 故选: B 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题 第 10页(共 18页) 13已知定义在 R 上的函数 f( x)满足:对任意 ( x1均有 0, e 为自然对数的底,则( ) A f( ) f( ) f( e) B f( e) f( ) f( ) C f( e) f( ) f( ) D f( ) f( ) f( e) 【考点】 函数单调性的性质 【专题】 函数思想;综合法;函数的性质及应用 【分析】 根据条件及增函数的定义容易判断出 f( x)在 R 上单调递增,从而比较这三个数的大小便可得出对应的函数值的大小,从而找出正确选项 【解答】 解: ; 对任意的 , ,会得到 f( f( f( x)在 R 上为增函数; 又 ; 故选: A 【点评】 考查增函数的定义,根据增函数的定义比较函数值大小的方法,清楚这三个数的大小关系 14设 ,若 + ) = ,则 +) =( ) A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【专题】 计算题;转化思想;三角函数的求值 【分析】 利用角的范围可确定三角函数值的符号,利用诱导公式即可求值 【解答】 解: , + , + ) = 0, + ,可得: + , +) = + ) + = + ) = 故选: C 【点评】 本题主要考查了诱导公式的 应用,属于基础题 第 11页(共 18页) 15在一块顶角为 120、腰长为 2 的等腰三角形钢板废料 裁剪扇形,现有如图所示两种方案,则( ) A方案一中扇形的周长更长 B方案二中扇形的周长更长 C方案一中扇形的面积更大 D方案二中扇形的面积更大 【考点】 扇形面积公式 【专题】 计算题;转化思想;数形结合法;三角函数的求值 【分析】 由已知利用弧长公式,扇形面积公式求出值比较大小即可 【解答】 解: 顶角为 120、腰长为 2 的等腰三角形, A=B=30= , N=1, , 方案 一中扇形的周长 =2 =4+ ,方案二中扇形的周长 =1+1+1 =2+ , 方案一中扇形的面积 = 2 = ,方案二中扇形的周长 = = , 故选: A 【点评】 本题主要考查了弧长公式,扇形面积公式的应用,考查了计算能力,属于基础题 16某种型号的电脑自投放市场以来,经过三次降价,单价由原来的 5000 元降到 2560 元,则平均每次降价的百分率是( ) A 10% B 15% C 16% D 20% 【考点】 函数的值 【专题】 计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用 【分析】 设降价百分率为 x%,由题意知 5000( 1 x%) 2=2560,由此能够求出这种手机平均每次降价的百分率 【解答】 解:设降价百分率为 x%, 5000( 1 x%) 3=2560, 解得 x=20 故选: D 【点评】 本题考查数列的性质和应用,解题时要注意挖掘隐含条件,寻找数量关系,建立方程 17已知函数 f( x) =x|x|,若对任意的 x1 有 f( x+m) +f( x) 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A( , 1) B( , 1 C( , 2) D( , 2 【考点】 函数恒成立问题 【专题】 函 数思想;转化思想;函数的性质及应用 【分析】 根据函数 f( x)的解析式判断函数的奇偶性和单调性,利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化,利用参数分离法转化为求函数的最值即可 第 12页(共 18页) 【解答】 解: f( x) =x|x|= , 则函数 f( x)在定义域为增函数, 且 f( x) = x| x|= x|x|= f( x), 则函数 f( x)为奇函数, 则若对任意的 x1 有 f( x+m) +f( x) 0 恒成立, 等价为若对任意的 x1 有 f( x+m) f( x) =f( x), 即 x+m x 恒成立, 即 m 2x 恒成立, x1, 2x 2, 则 m 2, 故选: C 【点评】 本题主要考查不等式恒成立问题,根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常用方法 18存在函数 f( x)满足:对任意 xR 都有( ) A f( |x|) =x B f( |x|) =x C f( |x+1|) =x D f( |x+1|) =x 【考点】 函数的对应法则;函数的概念及其构成要素 【专题】 计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用 【分析】 在 A、 B 中,分别取 x=1,由函数性质能排除选 项 A 和 B;令 |x+1|=t, t0,则 x=1,求出 f( x) =1,能排除选项 C 【解答】 解:在 A 中,取 x=1,则 f( 1) =1,取 x= 1,则 f( 1) = 1,不成立; 在 B 中,令 |x|=t, t0, x=t,取 x=1,则 f( 1) =3,取 x= 1,则 f( 1) = 1,不成立; 在 C 中,令 |x+1|=t, t0,则 x=1, f( t) =1,即 f( x) =1,故 C 不成立, D 成立 故选: D 【点评】 本题考查抽象函数的性质,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用 二、填空题(本大题共 4个小题,每小题 4分,共 16分) 19计算:( ( = 2 【考点】 对数的运算性质 【专题】 计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用 【分析】 根据换底公式计算即可 第 13页(共 18页) 【解答】 解:( ( = =2, 故答案为: 2 【点评】 本题考查了换底公式,属于基础题 20函数 f( x) =2 的单调递增区间为 0, +) 【考点】 复合函数的单调性 【专题】 转化思想;综合法;函数的性质及应用 【分析】 由题意可得,本题即 求函数 t=1 的增区间,再利用二次函数的性质可得结论 【解答】 解:函数 f( x) =2 的单调递增区间,即函数 t=1 的增区间, 再利用二次函数的性质可得函数 t=1 的增区间为 0, +), 故答案为: 0, +) 【点评】 本题主要考查指数函数、二次函数的性质,复合函数的单调性,属于中档题 21对 a, bR,记 a, b= ,则函数 f( x) =x+1|, x+2( xR)的最小值是 【考点】 函数的最值及其几何意义 【专题】 计算题;分类讨论;分析法;函数的性质及应 用 【分析】 讨论当 |x+1|x+2, |x+1| x+2 时,求出 f( x)的解析式,由单调性可得最小值 【解答】 解:当 |x+1|x+2,即 x+1x+2 或 x+1 x 2, 解得 x 时, f( x) =|x+1|,递减, 则 f( x)的最小值为 f( ) =| +1|= ; 当 |x+1| x+2,可得 x 时, f( x) =x+2,递增, 即有 f( x) , 综上可得 f( x)的最小值为 故答案为: 【点评】 本题考查函数的最值的求法,考查绝对值不等式的解法,注意运用分类讨论的思想方法,以及函数的单调性, 属于中档题 22已知函数 f( x) =x+2)与 g( x) =( x a) 2+1,若对任意的 2, 6),都存在0, 2,使得 f( =g( 则实数 a 的取值范围是 1, 2 , 3 【考点】 对数函数的图象与性质 【专题】 函数思想;分类法;函数的性质及应用 第 14页(共 18页) 【分析】 分别求出 f( g( 值域,令 f( 值域为 g( 值域的子集列出不等式解出 a 【解答】 解: 2, 6), f( 2) f( f( 6),即 2f( 3, f( 值域为 2, 3) g( x)的图象开口向上,对称轴为 x=a, ( 1)若 a0,则 g( x)在 0, 2上是增函数, g( 0) g( g( 2),即 g( 值域为 , 4a+5, ,解得 1a0 ( 2)若 a2,则 g( x)在 0, 2上是减函数, g( 2) g( g( 1),即 g( 值域为 4a+5, , ,解得 2a3 ( 3)若 0 a1,则 x) =g( a) =1, x) =g( 2) =4a+5, g( x)的值域为1, 4a+5, ,解得 0 ( 4)若 1 a 2,则 x) =g( a) =1, x) =g( 0) =, g( x)的值域为 1, ,解得 a 2 综上, a 的取值范围是 1, 0 2, 3 ( 0, 2 ) ( , 2) = 1, 2 ,3 故答案为 1, 2 , 3 【点评】 本题考查了二次函数的值域,对数函数的单调性与值域,集合间的关系,分类讨论思想,属于中档题 三、解答题(本大题共 3个小题,共 30分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 23设全集为实数集 R,函数 f( x) =2x 1)的定义域为 A,集合 B=x|x| a0( aR) ( )若 a=2,求 A B 和 AB ( )若 B= a 的取值范围 【考点】 交、并、补集的混合运算;并集及其运算;交集及其运算 【专题】 计算题;集合思想;综合法;集合 【分析】 ( )先求出 A=( ),由 a=2 便可求出 B= 2, 2,然后进行并集、交集的运算即可; 第 15页(共 18页) ( )根据条件便有 B求出 ,可讨论 B 是否为空集: B=时会得到 a 0;而 B时得到 a0,且 B=x| axa,这样便可得到 ,这两种情况下得到的 a 的范围求并集便可得出 a 的取值范围 【解答】 解:( ) A= ; a=2 时, B= 2, 2; A B= 2, +), ; ( ) ( B= B ; 当 B=时, a 0; 当 B时, B=x| axa( a0); ,且 a0; ; 综上得, a 的取值范围为 【点评】 考查函数定义域的概念及求法,对数的真数大于 0,绝对值不等式的解法,交集、并集的运算,以及子集、补集的概念,不要漏了 B=的情况 24已 知 三个内角分别为 A, B, C,且 A ( )化简 ; ( )若角 A 满足 ( i) 试判断 锐角三角形还是钝角三角形,并说明理由; ( 求 值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的化简求值 【专题】 函数思想;综合法;三角函数的求值 【分析】 ( )由三角形内角和以及诱导公式化简可得原式 = ( )由 和 ,联立可解得 , ,可得( i) = 【解答】 解:( )由题意化简可得: 第 16页(共 18页) = = ( ) ,又 , 结合 为正数,联立可解得 , , A 为钝角,故可得( i) 钝角三角形; ( = 【点评】 本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数化简求值和同角三角函数基本关系,属基础题 25已知

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