湖北省襄阳市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年湖北省襄阳市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合 A=x| 2 x 2， B=x| 1x 3，那么 A B=（ ） A x| 2 x 3 B x|1x 2 C x| 2 x1 D x|2 x 3 2下列函数是偶函数的是（ ） A y= y=23 C y=x D y=x0， 1 3三个数 a=b=c=间的大小关系是（ ） A a c b B a b c C b a c D b c a 4设向量 ， 满足 | + |= ， | |= ，则 =（ ） A 1 B 2 C 3 D 5 5函数 f（ x） = 的定义域为（ ） A（ 0， ） B（ 2， +） C（ 0， ） （ 2， +） D（ 0， 2， +） 6如图所示的韦恩图中 A， B 是非空集合，定义集合 A*B 为阴影部分表示的集合，则 A*B（ ） A U（ A B） B A （ C（ （ D（ A B） U（ AB） 7若 ，且 （ ， ），则 ） A B C D 8已知 、 、 、 为非零向量，且 + = ， = ，则下列命题正确的个数为（ ） 若 | |=| |，则 =0； 若 =0，则 | |=| |； 若 | |=| |，则 =0； 若 =0，则 | |=| | A 1 B 2 C 3 D 4 第 2 页（共 19 页） 9若函数 y=x+）（ A 0， 0， ）在一个周期 内的图象如图所示， M、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且 ，则 A=（ ） A B C D 10设函数 f（ x） =2x+ ），则下列结论正确的是（ ） A f（ x）的图象关于直线 x= 对称 B f（ x）的图象关于点（ ， 0）对称 C f（ x）的最小正周期为 ，且在 0， 上为增函数 D把 f（ x）的图象向右平移 个单位，得到一个偶函数的图象 11已知函数 g（ x）与 f（ x） =a 0， a1）的图象关于直线 y=x 对称，则 g（ 2） +g（ ）的值为（ ） A 4 B 2 C 1 D 0 12某同学为了研究函数 的性质，构造了如图所示的两个边长为 1的正方形 CP=x，则 f（ x） =F那么，可推知方程 解的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 4 二、填空题：本大题共四小题，每小题 5分，共 20 分请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13在平行四边形 角线 ， ，则 = 第 3 页（共 19 页） 14函数 y=2x ）的单调增区间是 15设函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 1）的值为 16已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意 xR 都 f（ x+6） =f（ x） +f（ 3）成立；当 0， 3，且 x1，都有 给出下列四个命题： f（ 3） =0； 直线 x= 6 是函数 y=f（ x）图象的一条对称轴； 函数 y=f（ x）在 9， 6上为增函数； 函数 y=f（ x）在 0， 2014上有 335 个零点 其中正确命题的序号为 三、解答题解答应写 出文字说明，证明过程或演算步骤 17在平面直角坐标系 ，已知 =（ 2， 1）， | |= （ 1）若 ，求 的坐标； （ 2）若 + 与 2 5 垂直，求 与 的夹角 的大小 18某同学用 “五点法 ”画函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如 表： x+ 0 2 x x+） 0 5 5 0 （ 1）请将上表数据补充完整，并求出函数 f（ x）的解析式； （ 2）将 y=f（ x）的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（ x）的图象若关于 x 的方程 g（ x）（ 2m+1） =0 在 0， 上有两个不同的解，求实数 m 的取值范围 19已知函数 f（ x） =x （ 1）判断函数 f（ x）的奇偶性，并加以证明； （ 2）判断函数 f（ x）的单调性，并加以证明； 第 4 页（共 19 页） （ 3）若函数 f（ x）在区间 2， a上的最大值与最小值之和不小于 ，求 a 的取值范围 20如图，有一块矩形空地 在这块空 地上开辟一个内接四边形 绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知 AB=a（ a 2）， ，且 H=G，设 AE=x，绿地 积为 y （ 1）写出 y 关于 x 的函数解析式，并求出它的定义域； （ 2）当 何值时，绿地面积 y 最大？并求出最大值 21定义在 1， 1上的函数 f（ x）满足： 对任意 a， b 1， 1，且 a+b0，都有 0 成立； f（ x）在 1， 1上是奇函数，且 f（ 1） =1 （ 1）求证： f（ x）在 1， 1上是单调递增函数； （ 2）解关于 x 不等式 f（ x） f（ x+1）； （ 3）若 f（ x） 22 对所有的 x 1， 1及 a 1， 1恒成立，求实数 m 的取值范围 22 A、 B 是单位圆 O 上的点，点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 在第二象限，记 且 （ 1）求 B 点坐标； （ 2）求 的值 第 5 页（共 19 页） 2015年湖北省襄阳市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合 A=x| 2 x 2， B=x| 1x 3，那么 A B=（ ） A x| 2 x 3 B x|1x 2 C x| 2 x1 D x|2 x 3 【考点】 并集及其运算 【专题】 计算题；数形结合 【分析】 把两个集合的解集表示 在数轴上，可得集合 A 与 B 的并集 【解答】 解：把集合 A 和集合 B 中的解集表示在数轴上，如图所示， 则 A B=x| 2 x 3 故选 A 【点评】 此题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道基础题 2下列函数是偶函数的是（ ） A y= y=23 C y=x D y=x0， 1 【考点】 函数奇偶性的判断 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据 偶函数的定义 “对于函数 f（ x）的定义域内任意一个 x，都满足 f（ x） =f（ x），则函数 f（ x）为偶函数 ”进行判定 【解答】 解：对于 A，满足 f（ x） = f（ x），不是偶函数； 对于 B， f（ x） =23=f（ x），是偶函数； 对于 C，满足 f（ x） = f（ x），则不是偶函数； 对于 D， x0， 1，则不是偶函数 故选 B 【点评】 本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题 3三个数 a=b=c=间的大小关系是（ ） A a c b B a b c C b a c D b c a 【考点】 指数函数单调性的应用 【专题】 计算题 【分析】 将 a=c=y=y=2用它们的图象和性质比较，将 b=象为对数函数 y=用其图象可知小于零最后三者得到结论 【解答】 解：由对数函数的性质可知： b=0， 由指数函数的性质可知： 0 a 1， c 1 第 6 页（共 19 页） b a c 故选 C 【点评】 本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质 4设向量 ， 满足 | + |= ， | |= ，则 =（ ） A 1 B 2 C 3 D 5 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 将等式进行平方，相加即可得到结论 【解答】 解： | + |= ， | |= ， 分别平方得 +2 + =10， 2 + =6， 两式相减得 4 =10 6=4， 即 =1， 故选： A 【点评】 本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础 5函数 f（ x） = 的定义域为（ ） A（ 0， ） B（ 2， +） C（ 0， ） （ 2， +） D（ 0， 2， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域 【解答】 解：要使函数有意义，则 ， 即 1 或 1， 解得 x 2 或 0 x ， 即函数的定义域为（ 0， ） （ 2， +）， 故选： C 【点评】 本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础 6如图所示的韦恩图中 A， B 是非空集合，定义集合 A*B 为阴影部分表示的集合，则 A*B（ ） A U（ A B） B A （ C（ （ D（ A B） U（ AB） 第 7 页（共 19 页） 【考点】 表达集合的关系及运算 【专题】 规律型 【分析】 先判断阴影部分表示元素的性质，再根据交集、并集与补集的意义判定即可 【解答】 解： 图中阴影部分表示属于集合 A 或集合 B，且不同时属于 A 又属于 B 的元素组成的集合， 即表示属于集合（ A B），且不属于集合（ AB）的元素组成的集合， 故选 D 【点评】 本题考查 表示集合的关系及运算 7若 ，且 （ ， ），则 ） A B C D 【考点】 同角三角函数间的基本关系 【专题】 转化思想；三角函数的求值 【分析】 利用同角三角函数基本关系式即可得出 【解答】 解： ，且 （ ， ）， = ， = 故选： B 【点评】 本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8已知 、 、 、 为非零向量，且 + = ， = ，则下列命题正确的个数为（ ） 若 | |=| |，则 =0； 若 =0，则 | |=| |； 若 | |=| |，则 =0； 若 =0，则 | |=| | A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；对应思想；平面向量及应用；简易逻辑 【分析】 分 ， 共线和不共线判断 ，利用已知条件判断以 ， 为邻边的四边形的形状可得 的真假，则答案可求 【解答】 解：由 、 、 、 为非零向量，且 + = ， = ，得 若 | |=| |，当 、 共线时， 或 为 ，满足 =0， 当 、 不共线时，可知以 ， 为邻边的四边形的形状是菱形，则 =0， 正确； 若 =0，可得：（ + ） （ ） =0，即 ，则 | |=| |， 正确； 若 | |=| |，可知以 ， 为邻边的四边形的形状是矩形，则 ， 正确； 若 =0，可知以 ， 为邻边的四边形的形状是矩形，则 | |=| |， 正确 故选： D 【点评】 本题考查命题的真假的判断与应用，向量的数量积运算及其几何意义，是中档题 第 8 页（共 19 页） 9若函数 y=x+）（ A 0， 0， ）在一个周期内的图象 如图所示， M、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且 ，则 A=（ ） A B C D 【考点】 y=x+）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三 角函数的最值 【专题】 压轴题；图表型 【分析】 根据图象求出函数的周期，再求出 的值，根据周期设出 M 和 N 的坐标，利用向量的坐标运算求出 A 的值，即求出 A的值 【解答】 解：由图得， T=4 =，则 =2， 设 M（ ， A），则 N（ ， A）， ， A 0， AA=0，解得 A= ， A= 故选 C 【点评】 本题考查了由函数图象求出函数解析式中的系数，根据 A、 的意义和三角函数的性质进行求解，考查了读图能力 10设函数 f（ x） =2x+ ），则下列结论正确的是（ ） A f（ x）的图象关于直线 x= 对称 B f（ x）的图象关于点（ ， 0）对称 C f（ x）的最小正周期为 ，且在 0， 上为增函数 D把 f（ x）的图象向右平移 个单位，得到一个偶函数的图象 【考点】 命题的真假判断与应用；函数 y=x+）的图象变换 【专题】 计算题；三角函数的图像与性质 【分析】 通过 x= 函数是否取得最值判断 A 的正误；通过 x= ，函数值是否为 0，判断 用函数的周期与单调性判断 C 的正误；利用函数的图象的平移判断 D 的正误 第 9 页（共 19 页） 【解答】 解：对于 A，当 x= 时，函数 f（ x） =2 + ） = ，不是函数的最值，判断 A 的错误； 对于 B，当 x= ，函数 f（ x） =2 + ） =10，判断 B 的错误； 对于 C， f（ x）的最小正周期为 ，由 ，可得， kZ，在 0， 上为增函数， 选项 C 的正确； 对于 D，把 f（ x）的图象向右平移 个单位，得到函数 f（ x） =2x+ ），函数不是偶函数， 选项 D 不正确 故选： C 【点评】 本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、奇偶性、周期性，基本知识的考查 11已知函数 g（ x）与 f（ x） =a 0， a1）的图象关于直线 y=x 对称，则 g（ 2） +g（ ）的值为（ ） A 4 B 2 C 1 D 0 【考点】 反函数；函数的值 【专题】 计算题；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 由已知可得函数 g（ x）与 f（ x） =a 0， a1）互为反函数，即 g（ x） =a 0， a1），结合对数的运算性质，可得答案 【解答】 解：若函数 g（ x）与 f（ x） =a 0， a1）的图象关于直线 y=x 对称， 故函数 g（ x）与 f（ x） =a 0， a1）互为反函数， 故 g（ x） =a 0， a1）， 故 g（ 2） +g（ ） =， 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是反函数，函数求值，对数的运算性质，难度中档 12某同学为了研究函数 的性质，构造了如图所示的两个边长为 1的正方形 CP=x，则 f（ x） =F那么，可推知方程 解的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 4 【考点】 根的存在性及根的个数判断 第 10 页（共 19 页） 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由题意可得当 A、 P、 F 共线，即 x= 时， f（ x）取得最小值为 ，当 P 与B 或 C 重合，即 x=1 或 0 时， f（ x）取得最大值为 +1 由此作出函数的图象可得答案 【解答】 解：由题意可得函数 =F， 当 A、 P、 F 共线，即 x= 时， f（ x）取得最小值为 ， 当 P 与 B 或 C 重合，即 x=1 或 0 时， f（ x）取得最大值为 +1 故函数 f（ x）的图象应如图所示： 而方程 解的个数就是函数 f（ x）与 y= 的图象交点的个数， 故方程 解的个数应为 2 故选 C 【点评】 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化的数学思想 ，属中档题 二、填空题：本大题共四小题，每小题 5分，共 20 分请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13在平行四边形 ，对角线 于点 O， ，则 = 2 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【专题】 计算题；平面向量及应用 【分析】 依题意， + = ，而 =2 ，从而可得答案 【解答】 解： 四边形 平行四边形，对角线 于点 O， + = ， 又 O 为 中点， =2 ， + =2 ， + = ， 第 11 页（共 19 页） =2 故答案为： 2 【点评】 本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题 14函数 y=2x ）的单调增区间是 + + kZ） 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用正弦函数的单调性，得出结论 【解答】 解：对于函数 y=2x ），令 22x 2， 求得 x， kZ，可得它的增区间为 + + kZ）， 故答案为： + + kZ） 【点评】 本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题 15设函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 1）的值为 2 【考点】 分段函数的应用；函数的值 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 直接利用分段函数化简求解即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 则 f（ 1） = ， f（ f（ 1） =f（ ） = 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力 16已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意 xR 都 f（ x+6） =f（ x） +f（ 3）成立；当 0， 3，且 x1，都有 给出下列四个命题： f（ 3） =0； 直线 x= 6 是函数 y=f（ x）图象的一条对称轴； 函数 y=f（ x）在 9， 6上为增函数； 函数 y=f（ x）在 0， 2014上有 335 个零点 其中正确命题的序号为 【考点】 命题的真假判断与应用 【专题】 综合题；函数的性质及应用 第 12 页（共 19 页） 【分析】 中，由题意，令 x= 3，求出 f（ 3） =0； 中，由题意，求出 f（ x）的周期为 6，且满足 f（ 6 x） =f（ 6+x），得出 x= 6 是 y=f（ x）图象的对称轴； 中，由题意，得出 y=f（ x）在 3， 0上是减函数，从而得 y=f（ x）在 9， 6上的单调性； 中，由题意，知 y=f（ x）在 0， 6上只有一个零点 3，得出 y=f（ x）在 0， 2014上的零点数 【解答】 解：对于 ， f（ x+6） =f（ x） +f（ 3）， f（ 3+6） =f（ 3） +f（ 3）， 又 f（ 3） =f（ 3）， f（ 3） =f（ 3） +f（ 3）， f（ 3） =0， 正确； 对于 ，由 知 f（ x+6） =f （ x）， f（ x）的周期为 6； 又 f（ x）是 R 上的偶函数， f（ x+6） =f（ x）； 而 f（ x）的周期为 6， f（ x+6） =f（ 6+x）， f（ x） =f（ x 6）， f（ 6 x） =f（ 6+x）； 直线 x= 6 是 y=f（ x）图象的一条对称轴， 正确； 对于 ， 0， 3，且 x1 ， 即 y=f（ x）在 0， 3上是增函数； f（ x）是 R 上的偶函数， y=f（ x）在 3， 0上是减函数； 又 f（ x）的周期为 6， y=f（ x）在 9， 6上是减函数， 错误； 对于 ， f（ 3） =0，且 f（ x）的周期为 6， 又 y=f（ x）在 0， 3上为增函数，在 3， 6上为减函数， y=f（ x）在 0， 6上只有一个零点 3， 又 2014=3356+3， y=f（ x）在 0， 2014上有 335+1=336 个零点， 错误 综上，以上正确的命题是 故答案为： 【点评】 本题考查了函数的单调性与奇偶性，周期性与对称性以及函数零点的综合应用问题，是较难的题目 三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在平面直角坐标系 ，已知 =（ 2， 1）， | |= （ 1）若 ，求 的坐标； （ 2）若 + 与 2 5 垂直，求 与 的夹角 的大小 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 （ ）由 的坐标求出 ，可得 | |= | |，结合 得 ，则 的坐标可求； 第 13 页（共 19 页） （ ）由两向量垂直得数量积为 0，求出 ，再由数量积公式求 、 的夹角 【解答】 解：（ ） ， ， 又 | |= ， | |= | |， ， ，则 或 ； （ ） 与 2 垂直， （ ） （ 2 ） =0， ，则 ， ， 0， ， = 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用数量积公式求两向量的夹角，属中档题 18某同学用 “五点法 ”画函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： x+ 0 2 x x+） 0 5 5 0 （ 1）请将上表数据补充完整，并求出函数 f（ x）的解析式； （ 2）将 y=f（ x）的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（ x）的图象若关于 x 的方程 g（ x）（ 2m+1） =0 在 0， 上有两个不同的解，求实数 m 的取值范围 【考点 】 函数 y=x+）的图象变换；正弦函数的图象 【专题】 函数思想；转化法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）根据五点法进行求解即可 （ 2）根据函数平移关系求出函数 g（ x）的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可 【解答】 解：（ 1）根据表中已知数据，解得 A=5， =2， = ，数据补全如下表： x+ 0 2 x 第 14 页（共 19 页） x+） 0 5 0 5 0 且函数表达式为 f（ x） =52x ） （ 2）通过平移， g（ x） =52x+ ），方程 g（ x）（ 2m+1） =0 可看成函数 g（ x）， x0，和函数 y=2m+1 的图象有两个交点，当 x0， 时， 2x+ ， ，为使横线 y=2m+1 与函数 g（ x）有两个交 点，只需 2m+1 5，解得m 2 【点评】 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用五点法以及函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键 19已知函数 f（ x） =x （ 1）判断函数 f（ x）的奇偶性，并加以证明； （ 2）判断函数 f（ x）的单调性，并加以证明； （ 3）若函数 f（ x）在区间 2， a上的最大值与最小值之和不小于 ，求 a 的取值范围 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断 【专题】 证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）可看出 f（ x）为奇函数，根据奇函数的定义证明即可； （ 2）可设 ，且 后作差，通分，提取公因式便可得到，从而可以判断出 ， 0），或 0， +）时都有 f（ f（ 这样便可得出 f（ x）的单 调性； （ 3）由（ 2）可知 f（ x）在 2， a上单调递增，从而可以求出 f（ x）在 2， a上的最大、最小值，这样根据条件即可建立关于 a 的不等式，解不等式便可得出 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x）是奇函数； 函数 f（ x）的定义域是 x|x0， xR； 又 ； 函数 f（ x）是奇函数； （ 2）设 ，且 ： = = ； 0； 0， +），或 ， 0）时， ； 第 15 页（共 19 页） f（ f（ f（ x）在（ ， 0），（ 0， +）上单调递增； （ 3）解： 2， a0， +）； 函数 f （ x）在区间 2， a上为增函数； ； 由已知 ，解得： a4； a 的取值范围是 4， +） 【点评】 考查奇函数的定义及判断方法和过程，反比例函数的单调性，单调性的定义，以及根据单调性定义判断并证明一个函数单调性的方法和过程，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值 20如图，有一块矩形空地 在这块空地上开辟一个内接四边形 绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知 AB=a（ a 2）， ，且 H=G，设 AE=x，绿地 积为 y （ 1）写出 y 关于 x 的函数解析式，并求出它的定义域； （ 2）当 何值 时，绿地面积 y 最大？并求出最大值 【考点】 函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法 【专题】 分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）求得 S S （ a x）（ 2 x），利用 y=2（ S 化简即得结论； （ 2）通过（ 1）可知 y= 2 a+2） x 的图象为开口向下、对称轴是 x= 的抛物线，比较 与 2 的大小关系并结合函数的单调性即得结论 【解答】 解：（ 1）由 H=G， 依题意， S S （ a x）（ 2 x）， 则 y=2S 2S a a x）（ 2 x） = 2 a+2） x， 由题意 ，解得： 0 x2， y= 2 a+2） x，其中定义域为（ 0， 2； 第 16 页（共 19 页） （ 2） y= 2 a+2） x 的图象为抛物线，其开口向下、对称轴是 x= ， y= 2 a+2） x 在（ 0， ）递增，在（ ， +）上递减 若 2，即 a 6，则 x= 时， y 取最大值 ； 若 2，即 a6，则 y= 2 a+2） x， 0 x2 是增函数， 故当 x=2 时， y 取最大值 2a 4； 综上所述：若 a 6，则 时绿地面积取最大值 ； 若 a6，则 时绿地面积取最大值 2a 4 【点评】 本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题 21定义在 1， 1上的