高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第五节 抛物线及其性质课件 理.ppt

第五节抛物线及其性质 知识点一抛物线的定义与方程 1 抛物线的定义 1 平面内与一个定点f 点f不在直线l上 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点f叫做抛物线的焦点 定直线叫做抛物线的准线 2 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 在平面内 动点到定点f距离与到定直线l的距离相等 定点不在定直线上 2 抛物线的方程 在抛物线中 记焦点f到准线l的距离为p 以抛物线的焦点f到准线l垂线段的中点为坐标原点 以抛物线的轴所在直线为坐标轴建立坐标系 可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程y2 2px x2 2py 其中p 0 一个易错点 忽略定义中的限制条件致误 1 抛物线的定义中要求定点在定直线外 利用抛物线的定义求解时要注意判断 若动点p到定点f 1 1 的距离与它到直线l 3x y 4 0的距离相等 则动点p的轨迹方程为 答案x 3y 2 0 答案1 知识点二抛物线的几何性质 两个易错点 不把抛物线方程标准化 忽略p的符号 3 把抛物线方程化成标准方程y2 mx或x2 ny的形式再进行相关求解 若抛物线y ax2的准线方程是y 2 则a的值为 4 参数p表示抛物线的焦点到准线的距离 值大于0 当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时 不要出现p 0的错误 抛物线x2 2py 0的焦点到顶点的距离为1 则抛物线标准方程为 解析焦点到准线的距离p 2 1 2 则标准方程为 x2 4y 答案x2 4y 5 六个常见结论 直线ab过抛物线y2 2px p 0 的焦点 交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 两点 如图 答案2 1 求抛物线方程时 若由已知条件可知所求曲线是抛物线 一般用待定系数法 若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹 一般用轨迹法 2 待定系数法求抛物线方程时既要定位 即确定抛物线开口方向 又要定量 即确定参数p的值 解题关键是定位 最好结合图形确定方程适合哪种形式 避免漏解 3 解决抛物线相关问题时 要善于用定义解题 即把 pf 转化为点p到准线的距离 这种 化斜为直 的转化方法非常有效 要注意领会和运用 例1 已知抛物线的顶点在原点 焦点在y轴上 抛物线上一点m m 3 到焦点的距离为5 求m的值 抛物线方程和准线方程 点评 如果问题中涉及抛物线的焦点和准线 又能与距离联系起来 那么用抛物线定义就能解决问题 抛物线的几何性质求解方略 1 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考 通过图形可以直观地看出抛物线的顶点 对称轴 开口方向等几何性质 体现了数形结合的思想 2 涉及抛物线的切线问题 要考虑应用导数来解决 这是不同于椭圆和双曲线的一点 点评 根据题意画出图形 利用抛物线的定义及性质结合平面几何知识求解 直线与抛物线位置关系解题方略 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 ab x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不求 整体代入 等解法 涉及弦的中点 斜率时 一般用 点差法 求解 例3 已知平面内一动点p到点f 1 0 的距离与点p与y轴的距离的差等于1 点评 1 设抛物线方程为y2 2px p 0 直线ax by c 0 将直线方程与抛物线方程联立 消去x得到关于y的方程my2 ny q 0 1 若m 0 当 0时 直线与抛物线有两个公共点 当 0时 直线与抛物线只有一个公共点 当 0时 直线与抛物线没有公共点 2 若m 0 直线与抛物线只有一个公共点 此时直线与抛物线的对称轴平行 2 研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆 双曲线的位置关系的方法类似 一般是联立两曲线方程 但涉及抛物线的弦长 中点 距离等问题时 要注意 设而不求 整体代入 点差法 以及定义的灵活应用 弦的中点问题求解策略 示例 2014 银川质量检测 已知一条过点p 2 1 的直线与抛物线y2 2x交于a b两点 且p是弦ab的中点 则直线ab的方程为 答案 x y 1 0 方法总结 弦中点问题的解决