高中数学 情境互动课型 第一章 集合与函数的概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性课件 新人教版必修1.ppt

1 3函数的基本性质1 3 1单调性与最大 小 值第1课时函数的单调性 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯 对人类的记忆牢固程度进行了有关研究 他经过测试 得到了有趣的数据 数据表明 记忆量y是时间间隔t的函数 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的 艾宾浩斯记忆遗忘曲线 如图 100 思考1 当时间间隔t逐渐增大时 你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗 通过这个试验 你打算以后如何对待刚学过的知识 思考2 艾宾浩斯记忆遗忘曲线 从左至右是逐渐下降的 对此 我们如何用数学观点进行解释 1 理解单调函数的定义 重点 2 理解增函数 减函数的概念 重点 3 掌握用定义判断函数单调性的方法 难点 4 会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性 求函数的单调区间 能用图象上动点p x y 的横 纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗 局部上升或下降 下降 上升 探究点函数单调性的定义 o x y 以f x x2为例说明图象的变化特点 f x x2 o x y o x y o x y o x y o x y o x y o x y o x y x y o 0 上随x的增大而减小 0 上随x的增大而增大 对区间d内任意x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 图象在区间d逐渐上升 o 对区间d内x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 x1 x2 d f x1 f x2 o m n 任意 区间d内随着x的增大 y也增大 图象在区间d逐渐上升 对区间d内x1 x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 x1 x2 都 f x1 f x2 o m n 任意 区间d内随着x的增大 y也增大 图象在区间d逐渐上升 d 根据以上的探究 同学们互相交流一下 试着总结出增函数的定义 那么就说函数f x 在区间d上是减函数 d称为f x 的单调减区间 你能类比增函数的研究方法定义减函数吗 设函数y f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 那么就说函数f x 在区间d上是增函数 d称为f x 的单调增区间 当x1 x2时 都有f x1 f x2 单调区间 设函数y f x 的定义域为i 增函数的定义 2 函数单调性是针对某个区间而言的 是一个局部性质 3 x1 x2取值的任意性 1 如果函数y f x 在区间i内是单调增函数或单调减函数 那么就说函数y f x 在区间i上具有单调性 在单调区间上 增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 特别提醒 2 定义在r上的函数f x 满足f 2 f 1 则函数f x 在r上是增函数 1 函数f x x2在是单调增函数 判断 提示 在不是单调的 提示 不具有代表性 增区间为 增区间为 增区间为 减区间为 y 写出下列函数的单调区间 即时训练 例1 下图是定义在区间 5 5 上的函数y f x 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一个单调区间上 它是增函数还是减函数 解析 函数的单调区间有 其中在区间上是减函数 在区间上是增函数 整个上午 8 00 12 00 天气越来越暖 中午时分 12 00 13 00 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多 暴风雨过后 天气转暖 直到太阳下山 18 00 才又开始转凉 画出这一天8 00 20 00期间气温作为时间函数的一个可能图象 并说出所画函数的单调区间 解 单调增区间是 8 12 13 18 单调减区间是 12 13 18 20 变式练习 作差变形 定号 判断 取值 证明 根据单调性的定义 设v1 v2是定义域 0 上的任意两个实数 且v1 v2 所以 函数v 0 是减函数 也就是说 当体积v减小时 压强p将增大 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 作差变形 即作差f x1 f x2 或f x2 f x1 并用因式分解 配方 有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形 定号 确定差f x1 f x2 或f x2 f x1 的符号 当符号不确定时 可进行分类讨论 判断 根据定义得出结论 利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤 提升总结 此为证明的关键点 易错点 画出反比例函数f x 的图象 1 这个函数的定义域i是什么 2 它在定义域i上的单调性是怎样的 证明你的结论 变式练习 函数图象如图 根据函数单调性的定义 结合函数的图象可知上述说法是错误的 思考交流 在此题的基础上请同学们继续探究 若f x g x 均为减函数 判断y f x g x 的增减性 若f x 为增函数 g x 为减函数 判断y f x g x y g x f x 的增减性并证明 并概括 增函数 增函数为增函数 减函数 减函数为减函数 增函数 减函数为增函数 减函数 增函数为减函数 d c 解析 直线y kx b在k 0时 单调递减 2a 1 0 即a d d 5 函数f x x2 2ax 3在 4 上是减函数 则a的取值范围为 4 解题关键 可利用函数图象求解 6 已知f x 是r上的增函数 若f a f 1 2a 则a的取值范围是 解题关键 利用增函数的定义可知 a 1 2a 即 7 若二次函数在区间上单调递增 求a的取值范围 二次函数的对称轴为 由图象可知只要 即即可 解析 8 证明函数在区间上是增函数 证明 任取 且 则 因为 得 所以函数在区间 2 上是增函数 取值 作差变形 定号 下结论 证明 步骤