旋转模型专题

旋转模型专题 一 等线段共点一 等线段共点 二 按图形分类二 按图形分类 1 1 等腰三角形 等腰三角形 2 2 等边三角形 等边三角形 3 3 等腰直角三角形 等腰直角三角形 4 4 正方形 正方形 M D N E CB F A A B C D 三 按模型分类三 按模型分类 1 1 手拉手模型 手拉手模型 2 2 角含半角模型 角含半角模型 3 3 对角互补模型 对角互补模型 4 4 与勾股定理结合 与勾股定理结合 5 5 费马点问题 费马点问题 例题精讲例题精讲 1 手拉手模型 1 已知 如图 点为线段上一点 是等边三角形 CABACM CBN 常见结论 1 ANBM 2 CDCE 3 平分CFAFB 4 是等边三角形 CDE 5 AFM 60 且保持不变 2 如图 在凸四边形中 ABCD30BCD 60DABADAB 求证 222 ACCDBC 3 已知 以为边在外作等腰 其中 ABC ACABC ACD ACAD 如图 若 四边形是平行四边形 则2DACABC ACBC ABCD ABC 如图 若 是等边三角形 求的长 30ABC ACD 3AB 4BC BD 如图 若为锐角 作于 当时 ACD AHBC H 222 4BDAHBC 是否成立 若不成立 请说明你的理由 若成立 证明你的结论 2DACABC A HCB D D CB A D C B A 2 角含半角模型 4 已知 如图 1 在中 点 分别为线段Rt ABC 90BAC ABAC DE 上两动点 若 探究线段 三条线段之间的数量关BC45DAE BDDEEC 系 小明的思路是 把绕点顺时针旋转 得到 连结 使问AEC A90 ABE E D 题得到解决 请你参考小明的思路探究并解决下列问题 猜想 三条线段之间存在的数量关系式 并对你的猜想给予证BDDEEC 明 当动点在线段上 动点运动在线段延长线上时 如图 2 其它条EBCDCB 件不变 中探究的结论是否发生改变 说明你的猜想并给予证明 1 A B C D E 2 A B C DE 5 在正方形 ABCD 中 点 E F 分别在边 BC CD 上 且 EAF CEF 45 1 将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90 得到 ABG 如图 1 求证 AEG AEF 2 若直线 EF 与 AB AD 的延长线分别交于点 M N 如图 2 求证 222 NFMEEF 3 将正方形改为长与宽不相等的矩形 若其余条件不变 请你直接写出线段 EF BE DF 之间的数量关系 A B C D E F 6 在等边的两边 AB AC 所在直线上分别有两点 M N D 为外 ABC ABC 一点 且 探究 当点 M N 分别爱 60MDN 120BDCCDBD 直线 AB AC 上移动时 BM NC MN 之间的数量关系及的周长与等 AMN 边的周长 L 的关系 ABC 如图 当点 M N 在边 AB AC 上 且 DM DN 时 BM NC MN 之间 的数量关系式 此时 L Q 如图 当点 M N 在边 AB AC 上 且时 猜想 1 问的两个结DNDM 论还成立吗 写出你的猜想并加以证明 如图 当点 M N 分别在边 AB CA 的延长线上时 若 AN x 则 Q 用 x L 表示 NM D C B A N M D C B A N M D C B A 图 1 图 2 图 3 3 对角互补类 7 已知 平分 MAN ACMAN 在图 1 中 若 证明 90MANDCB 2ABADAC 在图 2 中 若 探究 三者之间的数120MAN 60DCB ABADAC 量关系 并给出证明 在图 3 中 若 则MAN 0180 180DCB 用含的三角函数表示 直接写出结果 不必证明 ABADAC 3 2 1 AB M C D N A B M C D N N M D C B A 8 如图 1 正方形和正方形 是正方形的对称中心 ABCDQMNPMABCD 交于 交于 MNABFQMADE 猜想 与的数量关系MEMF 如图 2 若将原题中的 正方形 改为 菱形 且 其它条件不变 MB 探索线段与线段的数量关系 并加以证明 MEMF 如图 3 若将原题中的 正方形 改为 矩形 且 其它条件不 1 2AB BC 变 探索线段与线段的数量关系 并说明理由 MEMF 如图 4 若将原题中的 正方形 改为平行四边形 且 MB 其它条件不变 求出的值 直接写出答案 AB BCm ME MF 4 1 2 3 A B C D Q P N M E F A B C D F E M Q P N F E F E A BC D Q P N M Q P N M D CB A 四 直角三角形斜边中点 9 在等腰直角中 是的中点 点从出ABC 90ACB ACBC MABPB 发向运动 交于点 试说明的形状和面积将如何变CMQMP ACQMPQ 化 A P M C Q B 10 等腰直角三角形 为中点 求ABC902ABCABO AC45EOF 的周长 BEF O F E CB A 11 已知 Rt ABC 中 AC BC C 90 D 为 AB 边的中点 EDF 90 EDF 绕 D 点旋转 它的两边分别交 AC CB 或延长线 于 E F 当 EDF 绕 D 点旋转到 DE AC 于 E 时 如图 1 易证 ABCCEFDEF SSS 2 1 当 EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上 述结论是否成立 若成立 请给予证明 若不成立 又有 怎样的数量关系 请写出你的猜想 不需证明 DEF S CEF S ABC S 五 等线段共点 12 如图所示 是等边内部一点 求PABC 3PC 4PA 5PB 的边长 ABC BPC S ABP S APC S ABC S P C B A P C B A 13 为等边内一点 求证 以 PABC 113APB 123APC AP 为边可以构成一个三角形 并确定所构成的三角形的各内角的度数 BPCP P CB A 14 如图 P 为正方形 ABCD 内一点 PA 1 PD 2 PC 3 将绕着 PAD D 点按逆时针旋转到的位置 90DCM 1 求的度数 2 求正方形的边长 APD M P D C BA 六 费马点问题 15 阅读下列材料 对于任意的 若三角形内或三角形上有一点 若有最小值 ABC PPAPBPC 则取到最小值时 点为该三角形的费马点 P 若三角形内有一个内角大于或等于 这个内角的顶点就是费马点120 若三角形内角均小于 则满足条件时 点既120 120APBBPCAPC P 为费马点 解决问题 如图 中 三个内角均小于 分别以 为边向外作等边ABC 120 ABAC 连接 交于点 ABD ACE CDBEP 证明 点为的费马点 即证明 且PABC 120APBBPCAPC PAPBPCCD P E D CB A 如图 点为三角形内部异于点的一点 证明 QPQAQCQBPAPBPC Q A BC D E P 若 直接写出的最小值30ABC 3AB 4BC PAPBPC 16 如图 四边形是正方形 是等边三角形 为对角线ABCDABE M 上任意一点 将绕点逆时针旋转得到 连接 BDBMB60 BNAMCMEN 求证 AMBENB 当点在何处时 的值最小 MAMCM 当点在何处时 的值最小 并说明理由 MAMBMCM 当的最小值为时 求正方形的边长 AMBMCM 31 17 阅读下列材料 阅读下列材料 小华遇到这样一个问题 如图 1 ABC 中 ACB 30 BC 6 AC 5 在 ABC 内部有一点 P 连接 PA PB PC 求 PA PB PC 的最小值 小华是这样思考的 要解决这个问题 首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段 分离 然后再将它们连接成一条折线 并让折线的两个端点为定点 这样依据 两点之间 线段最短 就可以求出这三条线段和的最小值了 他先后尝试了翻折 旋转 平移的方法 E N M D CB A 发现通过旋转可以解决这个问题 他的做法是 如图 2 将 APC绕点C顺时针旋转 60 得到 EDC 连接PD BE 则BE的长即为所求 1 请你写出图 2 中 PA PB PC 的最小值为 2 参考小华的思考问题的方法 解决下列问题 如图 3 菱形 ABCD 中 ABC 60 在菱形 ABCD 内部有一点 P 请在图 3 中画出并指明长度等于 PA PB PC 最小值的线段 保留画图 痕迹 画出一条即可 若 中菱形 ABCD 的边长为 4 请直接写出 当 PA PB PC 值最小时 PB 的长 七 最值问题 18 已知 以为一边作正方形 使 两点落在2PA 4PB ABABCDPD 直线的两侧 AB 如图 当时 求及的长 45APB ABPD 当变化 且其它条件不变时 求的最大值及相应的大小 APB PDAPB P D C B A 19 如图 已知是等腰直角三角形 90 点是的中ABC BAC DBC 点 作正方形 使点 分别在和上 连接 DEFGACDGDEAEBG 试猜想线段和的数量关系 请直接写出你得到的结论 BGAE 将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后 旋转角度大于 小于DEFGD 0 或等于 360 如图 通过观察或测量等方法判断 1 中的结论是否仍然 成立 如果成立 请予以证明 如果不成立 请说明理由 若 在 的旋转过程中 当为最大值时 求的值 2BCDE AEAF A B C D E F G GF E D C B A 八 综合应用 20 已知 在中 在中 连结 取Rt ABC ABBC Rt ADE ADDE EC 的中点 连结和 ECMDMBM 若点在边上 点在边上且与点不重合 如图 探索 DACEABBBM 的关系并给予证明 DM 如果将图 中的绕点逆时针旋转小于的角 如图 那么 中的ADE A45 结论是否仍成立 如果不成立 请举出反例 如果成立 请给予证明 1 A B C D E M 2