高中数学 第一章《数列》数列的应用课件 北师大版必修5.ppt

数列的应用 北师大版高中数学必修5第一章 数列 数列的应用 与数列有关的应用题大致有三类 一是有关等差数列的应用题 二是有关等比数列的应用题 三是有关递推数列中可化为等差 等比数列的问题 解决有关数列的应用题与解决其它应用题相似的是要认真理解题意 可以通过列表 画图等来加强对题意的理解 弄清各项之间的关系 便于确定模型的类型 等差或等比 弄清项与项数的关系 便于确定计算公式 遇到问题按等比增长时 对次数的理解要准确 数列的应用 例1 1994年全国高考试题 某种细菌在培养过程中 每20分钟分裂一次 一个分裂为两个 经过3小时 这种细菌由1个可繁殖成 a 511个b 512个c 1023个d 1024个 分析 由题意 这种细菌原有的个数 经过20分钟 40分钟 60分钟 分裂后的个数分别为1 2 22 23 这是一个等比数列 公比为2 因此经过3小时 这种细菌的个数为a10 1 210 1 29 512 故本题应选b 说明 此类问题切忌硬套类型 公式 要注重对问题分析过程的思考 这里即细菌个数随时间变化的规律的考察 这样即使不套用等比数列的公式 也会得出29的结果 经过1个20分钟 2 21 经过2个20分钟 4 22 经过3个20分钟 8 23 经过3小时 29 512 例2 有若干台型号相同的联合收割机 收割一片土地上的小麦 若同时投入工作至收割完毕需用24小时 但它们是每隔相同的时间投入工作的 每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕 如果第一台收割时间是最后一台的5倍 求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间 分析 依题意 这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列 按所规定的方法收割 所需要的时间等于第一台收割机所需要的时间 即求数列的首项 解 设从每一台工作起 这n台收割机工作的时间依次为a1 a2 an小时 依题意 an 是一个等差数列 由 得 a1 a2 an 24n 由 联立方程组得 解之得 a1 40 an 8 答 用这种方法收割完这片土地上的全部小麦需用40小时 例3 某林场原有木材量为a 木材以每年25 的增长率生长 而每年冬天要砍伐的木材量为x 为了实现经过20年达到木材存有量翻两翻 求每年砍伐量x的最大值 设1 2520 86 74 分析 木材的增长率是一个等比数列的问题 翻几翻问题也是等比数列问题 原来a 翻一翻2a 翻两翻4a 依次类推 解 例4 顾客从商场购买一台售价为1 25万元的电脑 采用分期付款的方法 先付款 也称首付 0 25万元 余款以后再付 但要支付利息 如果按月利率1 每月利息按复利计算 即每月利息记入下月本金 1 试分别计算1个月后 2个月后 3个月后 一年后顾客欠商场本利和 2 余额也采用分期付款的方法 要求每期付款数额相同 购买后第1个月月底第1次付款 再过1个月第2次付款 购买后一年第12次付清 那么每期应付款多少元 1 试分别计算1个月后 2个月后 3个月后 一年后顾客欠商场本利和 解 1个月后欠商场本利和 1 1 1 1 1 1 1 01万元 2个月后欠商场本利和 1 01 1 1 1 02万元 3个月后欠商场本利和 1 1 013 1 03万元 一年后欠商场本利和 1 1 0112 1 13万元 2 余额也采用分期付款的方法 要求每期付款数额相同 购买后第1个月月底第1次付款 再过1个月第2次付款 购买后一年第12次付清 那么每期应付款多少元 主要思路 思路1 逐月计算欠款情况 最后欠款数为零 思路2 从货款与还款随时间不断增值方面考虑 思路3 各期还款额等价到货款初的角度来考虑 思路1 逐月计算欠款情况 最后欠款数为零 解法1 1个月后欠1 1 1 x 1 01 x 2个月后欠 1 01 x 1 01 x 1 012 1 01x x 3个月后欠 1 012 1 01x x 1 01 x 1 013 1 012x 1 01x x 12个月后欠1 0112 1 0111x 1 0110 x 1 01x x 设每月付款x元 由1 0112 1 0111x 1 0110 x 1 01x x 0 得x 1 01x 1 0110 x 1 0111x 1 0112 答 每月还870元 思路2 从货款与还款随时间不断增值方面考虑 解法2 商品购买1年后货款全部付清时货款增值为1 1 0112万元 设每期付款额为x万元 第12期付款x万元时 没有增值 还是x万元 第11期付款x万元 经过1个月增值为x 1 01万元 第10期付款x万元 经过2月增值为x 1 012万元 第1期付款x万元 经过11月增值为x 1 0111万元 由x 1 01x 1 0110 x 1 0111x 1 0112 答 每月还870元 思路3 各期还款额等价到货款初的角度来考虑 解法3 货款初为1万元 设每期付款x元 则 第1期所付的x元 在货款初只值 第2期所付的x元 在货款初只值 第3期所付的x元 在货款初只值 第12期所付的x元 在货款初只值 以下同解法一 例5 1996年全国高考试题 某地现有耕地10000公顷 规划10年后粮食单产比现在增加22 人均粮食占有量比现在提高10 如果人口年增长率为1 那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷 精确到1公顷 设1 0110 1 1045 分析 这是一个实际应用问题 由于考虑的是人口平均增长率 因此每年年底的人口总数组成一个等比数列 而每年年底的耕地数组成一个等差数列 设该地区现有人口为p 那么10年后人口为p 1 1 10 设耕地每年至多只能减少x公顷 那么10年后耕地面积为 10000 10 x 公顷 设现在粮食单产为m吨 公顷 那么10年后粮食单产为m 1 22 吨 公顷 解 答 按规划耕地平均每年至多只能减少4公顷 思考题 2 环境问题严重危害人民群众身心健康 也直接影响着北京举办2008年奥运会 2000年我国北方地区发生的多起沙尘暴 主要是由于土地沙漠化引起的 据调查 沙漠化土地面积每年以4 的速度递增 北京市以北地区1995年底有沙漠化土地面积25200亩 计划从1996年起每年在沙漠上种植相同面积的树木 以改造沙漠为森林 计划在2007年年底前完成对沙漠的改造任务 问每年至少植树多少亩 1 0412 1 601 思考题 第一题提示 第二题提示 96年底沙漠化土地面积为 25200 x 1 04 97年底沙漠化土地面积为 25200 x 1 04 x 1 04 25200 1 042 x 1 042 1 04 2007年底沙漠化土地面积为 25200 1 0412 x 1 0412 1 0411 1 04 答案 每年至少植树2582亩 3 银行按规定在一定时间结算利息一次 结息后即将利息并入本金 这种计算方法叫做复利 现在某企业进行技术改造 有两种方案 甲方案 一次性贷款10万元 第一年可获利1万元 以后每年比上一年增加30 的利润 乙方案每年贷款1万元 第一年可获利1万元 以后每年比上一年增加5千元 两种方案使用期限都是10年 到期一次性还本付息 若银行贷款利息均按年利息10 计算 试比较两种方案的优劣 计算时 精确到千元 并取1 110 2 594 1