高中数学 4.6三角函数的性质配套课件 理 新人教A版.ppt

第六节三角函数的性质 三年9考高考指数 理解正弦函数 余弦函数 正切函数的性质 1 函数y sinx y cosx y tanx的性质是本节的重点 函数y asin x 的图象和性质是高考的热点 2 题型既有选择 填空题 也有解答题 小题主要考查三角函数的图象与性质 解答题常结合三角恒等变换 平面向量 解三角形等知识综合考查 1 函数y sinx y cosx y tanx的性质 r r x x k k z 1 1 1 1 r 奇函数 偶函数 奇函数 t 2 t 2 t 增区间 2k 2k k z 减区间 2k 2k k z 增区间 2k 2 2k k z 减区间 2k 2k k z 增区间 k k k z 对称轴x k k z 对称中心 k 0 k z 对称轴x k k z 对称中心 k 0 k z 对称中心 0 k z 即时应用 1 思考 如何根据正弦曲线上的特殊点确定正弦函数的最小正周期 提示 两个相邻的最高 低 点之间的距离是一个周期 相邻的最高点与最低点之间的距离是半个周期 函数y asin x 的图象与x轴的两个相邻的交点之间的距离是半个周期 两条相邻的对称轴之间的距离是半个周期 一条对称轴与最近的平衡点之间的距离是四分之一周期 2 正弦函数y sinx取得最小值 余弦函数y cosx取得最大值时x的取值集合分别是 解析 y sinx取得最小值时x k z y cosx取得最大值时x 2k k z 答案 x x k z x x 2k k z 3 函数y tanx 的值域是 解析 y tanx在上为增函数 即 1 tanx 1 答案 1 1 2 函数y asin x 0 的性质 1 定义域 值域 当a 0时 当a 0时 2 周期 3 奇偶性 当 时 函数y asin x 为奇函数 当 时 函数y asin x 为偶函数 x r a a a a k k z 4 单调性 当a 0时 函数y asin x 的增区间由不等式求得 减区间由不等式求得 当a 0时 正好反过来 5 对称性 函数y asin x 的图象的对称轴由方程 x k k z 求得 对称中心的横坐标由方程 x k k z 求得 即时应用 1 函数f x 的周期是 2 函数f x 的增区间是 对称轴是 3 函数f x sin 2x 0 是偶函数 则 解析 1 f x t 2 f x 由得 函数f x 的增区间是由得函数f x 的对称轴是x 3 联想到y sinx是奇函数 y cosx是偶函数 又 0 或由f x f x 得sin 2x sin 2x 即 sin2xcos cos2xsin sin2xcos cos2xsin 2sin2xcos 0对任意的x恒成立 cos 0 又 0 答案 三角函数的值域或最值 方法点睛 三角函数值域 最值 的求法三角函数的值域问题 实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题 主要有以下三条途径 1 将sinx或cosx用所求变量y来表示 如sinx f y 再由 sinx 1得到一个关于y的不等式 f y 1 从而求得y的取值范围 2 将y用sinx或cosx来表示 即将原函数化为y asin x b y acos x b型或化为关于sinx 或cosx 的二次函数式 利用函数的单调性或配方法 换元法来确定y的取值范围 3 利用数形结合或不等式法求解 提醒 在进行三角变换时 一定要注意恒等变换 即x的取值范围既不能扩大也不能缩小 例1 1 已知函数f x 则函数f x 的值域为 2 已知f x 求g x 的最值及取得最值时x的取值集合 解题指南 1 弦化切 转化为tanx的二次函数 换元求值域 2 化简f x 的分母时要注意角 x与 x及其正 余弦的关系 化简其分子时 要注意统一角 规范解答 1 f x tan2x 2tanx 2 令tanx t y t2 2t 2 t 1 2 1 ymax 5 ymin 1 函数f x 的值域为 1 5 答案 1 5 2 f x 此时 即x的取值集合为 此时 即x的取值集合为 互动探究 将本例 1 中的 去掉 试探究函数f x 的定义域及最值 解析 由cos2x 0及tanx有意义 得x k k z 函数f x 的定义域为 x x k k z 由本例 1 的解析知 令tanx t 则t r y t2 2t 2 t 1 2 1 t r ymin 1 函数f x 无最大值 反思 感悟 求三角函数值域 最值 的注意事项 1 求函数的值域 最值 一定要注意函数的定义域 同一个函数的定义域不同 值域 最值 也可能不同 2 求三角函数值域 最值 的变形方向 一是把所给函数解析式化成y asin x y acos x y atan x 的形式 二是把所给函数解析式化成关于sinx cosx tanx 或asin x 的二次函数的形式 利用换元法求解 变式备选 求函数y sinx cosx sinxcosx 1的值域 解析 令sinx cosx t 则 t sinx cosx 2 t2 即sinxcosx 函数的值域是 简单的三角方程 三角不等式 方法点睛 常见的三角方程 三角不等式的解集 1 常见三角方程的解集 x x k k z x x 2k k z x x 2k k z x x k k z x x 2k k z x x 2k k z x x k k z 2 常见的三角不等式的解集 x 2k x 2k k z x 2k x 2k k z x 2k x 2k k z x 2k x 2k k z x k x k k z x k x k k z 例2 1 2011 湖北高考 已知函数f x sinx cosx x r 若f x 1 则x的取值范围为 a x k x k k z b x 2k x 2k k z c x k x k k z d x 2k x 2k k z 2 方程的解集是 解题指南 1 先利用辅助角公式化简f x 再利用正弦函数y sinx的图象解答 2 把2x 看成一个整体 结合正弦函数y sinx的图象解答 规范解答 1 选b f x 2sin x 由f x 1 得sin x 即 2 由正弦函数y sinx的图象易得 即 答案 互动探究 对本例 2 试求方程在 0 2 上的解集 解析 由本例 2 的解析知 x 0 2 方程在 0 2 上的解集为 反思 感悟 解简单的三角方程 三角不等式的依据是三角函数的图象或三角函数的定义及单位圆 求解时要注意弦函数与切函数的周期的不同 变式备选 求下列函数的定义域 解析 1 由tanx 1 0 即tanx 1得 函数y 的定义域为 2 要使函数有意义 必须使sinx cosx 0 方法一 利用图象 在同一坐标系中画出 0 2 上y sinx和y cosx的图象 如图所示 在 0 2 内 满足sinx cosx的x为 再结合正弦 余弦函数的周期是2 所以定义域为 方法二 利用三角函数线 如图 mn为正弦线 om为余弦线 要使sinx cosx 即mn om 则 在 0 2 内 定义域为 方法三 sinx cosx 将视为一个整体 由正弦函数y sinx的图象和性质可知 解得 所以定义域为 三角函数的周期性 单调性 对称性 方法点睛 1 求解三角函数的周期性 对称性及单调性的方法研究三角函数的周期性 对称性 单调性 通常将三角函数的解析式化为y asin x b 或y acos x b y atan x b 的形式 2 几种具体求对称性的方法 1 函数y asin x 与x轴 即直线y 0 的交点为对称中心 其横坐标可由 x k k z 求出 过最高点或最低点且垂直于x轴的直线是图象的对称轴 2 函数y asin x b与直线y b的交点为对称中心 其纵坐标为b 横坐标可由 x k k z 求出 过最高点或最低点且垂直于x轴 或直线y b 的直线是图象的对称轴 函数y acos x b可类似得出 3 函数y atan x 不是轴对称图形 是中心对称图形 其对称中心的横坐标可由 x k z 求出 3 奇偶性是对称性的特例当函数y asin x y acos x 的图象移动至过原点时 函数为奇函数 图象的最高点 或最低点 在y轴上时 函数为偶函数 函数y atan x 的图象过原点或图象的渐近线过原点时 函数为奇函数 例3 2012 南宁模拟 已知函数f x g x 1 求函数f x 的周期及对称中心 2 设x x0是函数y f x 图象的一条对称轴 求g x0 的值 3 求函数h x f x g x 的单调递增区间 解题指南 1 降次 化简变形f x 的解析式成y acos x b的形式 然后求其周期及对称中心 2 先根据题意求x0的表达式 再求g x0 的值 3 化简h x 的解析式是求其单调递增区间的关键 规范解答 1 周期 由 f x 的对称中心为 2 由 1 知f x 因为x x0是函数y f x 图象的一条对称轴 所以 所以 当k为偶数时 当k为奇数时 3 h x 当 即时 函数h x 是增函数 故函数h x 的单调递增区间是 反思 感悟 研究函数的周期及对称性 单调性等 把所给函数的解析式化简 变形成y asin x b 或y acos x b y atan x b 是解题的关键 常用的变形公式是逆用二倍角公式降次角升倍 辅助角公式asinx bcosx 等 变式训练 1 如果函数y 3cos 2x 的图象关于点中心对称 那么 的最小值为 解析 选a 函数y 3cos 2x 的图象关于点中心对称 k k z 所以 故选a 2 2012 合肥模拟 已知函数f x asin x bcos x a b 是实常数 0 的最小正周期为2 并且当x 时 f x 取得最大值2 1 求f x 的解析式 并求f x 的单调递减区间 2 在闭区间上是否存在f x 的对称轴 若存在 求出其对称轴方程 若不存在 请说明理由 解析 1 f x 由题意 得 不妨令k 0 得 f x 2sin x 由 得 f x 的单调递减区间是 2 存在 由 得x k k z 由 k z k 5 故在区间上f x 存在对称轴x 满分指导 三角函数主观题的规范解答 典例 12分 2011 重庆高考 设a r f x cosx asinx cosx cos2 x 满足f f 0 求函数f x 在上的最大值和最小值 解题指南 先对函数解析式进行化简 然后根据条件求出a的值 进而求出在区间上的最大值和最小值 规范解答 f x 2分由f f 0 得 1 解得a 4分因此f x 6分当时 f x 为增函数 7分 当时 f x 为减函数 8分所以函数f x 在上的最大值为f 2 10分又因 所以函数f x 在上的最小值为 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 上海高考 若三角方程sinx 0与sin2x 0的解集分别为e f 则 a ef b e f c e f d 解析 选b 对三角方程sinx 0解得e x x k k z 对三角方程sin2x 0解得f x x k z 故两集合关系为e f 故选b 2 2011 安徽高考 已知函数f x sin 2x 其中 为实数 若f x 对x r恒成立 且 则f x 的单调递增区间是 解析 选c 由f x 对x r恒成立知 x 时 f x 取最值 或 代入f x 并由f f 检验得 2k 不妨令 所以 计算得单调递增区间是 3 2011 新课标全国卷 设函数f x sin x cos x 0 的最小正周期为 且f x f x 则 a f