高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第三章 第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数课件 理.ppt

第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数 第三章 例1 已知角 45 1 在区间 720 0 内找出所有与角 终边相同的角 2 设集合m n 那么两集合的关系是什么 终边相同的角的表示 思路点拨 1 从终边相同的角的表示入手分析问题 先表示出所有与角 终边相同的角 然后列出一个关于k的不等式 找出相应的整数k 代回求出所有角 2 可对整数k的奇 偶数情况展开讨论 自主解答 解析 1 所有与角 终边相同的角可表示为45 k 360 k z 则令 720 45 k 360 0 解得 k 由于k z 从而k 2或k 1 代回得角 675 或角 315 2 因为m x x 2k 1 45 k z 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合 集合n x x k 1 45 k z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合 因此m n 点评 与角 终边相同的角可以表示为 2k k z 的形式 应注意 1 是任意角 2 相等的角终边一定相同 终边相同的角不一定相等 3 角度制与弧度制不能混用 1 若角 和角 的终边关于x轴对称 则角 可以用角 表示为 a 2k k z b 2k k z c k k z d k k z 变式探究 解析 因为角 和角 的终边关于x轴对称 所以 2k k z 所以 2k k z 答案 b 例2 1 若角 是第二象限角 则 是第几象限角 2 是第几象限角 2 已知 是第三象限角 则是第几象限角 思路点拨 对于 1 由角 是第二象限角 可得到角 的范围 即k 360 90 k 360 180 k z 进而可得到 2 的取值范围 再根据范围确定其象限 对于 2 同理由角 是第三象限角 可得到角 的范围 进而可得到的取值范围 再根据范围确定其所在象限 此外本题也可用几何法来确定 所在的象限 象限角的确定 自主解答 解析 1 因为角 是第二象限角 所以k 360 90 k 360 180 k z 则k 180 45 k 180 90 k z 当k是偶数时 设k 2n n z 则n 360 45 n 360 90 n z 可知在第一象限 当k是奇数时 设k 2n 1 n z 则n 360 225 n 360 270 n z 可知在第三象限 综上所述 若角 是第二象限角 则是第一象限角或第三象限角 因为2k 360 180 2 2k 360 360 可知角2 的终边应在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上 2 法一 是第三象限角 2k 2k 当k 3m m z 时 为第一象限角 当k 3m 1 m z 时 为第三象限角 当k 3m 2 m z 时 为第四象限角 故为第一象限角或第三象限角或第四象限角 法二 把各象限均分3等份 再从x轴的正向的上方起 依次将各区域标上 并依次循环一周 则 原来是第 象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域 由图可知 是第一或第三或第四象限角 点评 1 已知角 的范围或所在的象限 求所在的象限是常考题型之一 一般解法有直接法和几何法 若 是第k k取1 2 3 4之一 象限的角 利用单位圆判断 n n 是第几象限角的方法 把单位圆上每个象限的圆弧n等分 并从x轴正半轴开始 沿逆时针方向依次在每个区域标上1 2 3 4 再循环 直到填满为止 则有标号k的区域就是角 n n 终边所在的范围 如 k 2 则角是第一或第二或第四象限角 上图中标有号码2的区域就是终边所在位置 2 确定角所在的象限是确定函数值符号的关键 故必须掌握已知角 的范围 求与 有运算关系的角的范围这一类问题的解法 变式探究 2 已知点p tan cos 在第三象限 则角 的终边在第 象限 a 一b 二c 三d 四 扇形弧长 面积的计算 例3 已知一扇形的中心角是 所在圆的半径是r 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积 2 若扇形的周长是一定值c c 0 当 为多少弧度时 该扇形的面积有最大值 并求出这个最大值 解析 1 设弧长为l 弓形面积为s弓 因为 60 r 10cm 所以l cm s弓 s扇 s 10 100 sin60 50cm2 2 因为c 2r l 2r r 所以r s扇 r2 2 当且仅当 时 即 2 2舍去 时 扇形的面积有最大值为 点评 1 弧长公式l r 面积公式s lr r2 其中 必须是弧度制单位 而s lr类似于三角形的面积公式 弧长相当于三角形的底 半径相当于三角形的高 2 扇形的圆心角 半径r 弧长l 面积s之间有下列比例关系 变式探究 3 已知一扇形的面积为定值s 当圆心角 为多少弧度时 该扇形的周长c有最小值 并求出最小值 解析 因为s rl 所以rl 2s 所以周长c l 2r 当且仅当l 2r时 c 所以当 2时 周长c有最小值 利用定义求三角函数值 例4 1 已知角 的终边过点 a 2a a 0 求 的三角函数值sin cos tan 2 已知角 的顶点在原点 始边与x轴的非负半轴重合 终边为射线4x 3y 0 x 0 求sin cos2 的值 解析 1 因为角 的终边过点 a 2a a 0 所以x a y 2a r a 当a 0时 sin cos tan 2 当a 0时 sin cos 2 综上所述 sin cos tan 2 2 在射线4x 3y 0上取一点p 3 4 则r 5 依三角函数的定义有sin cos tan 法一 sin cos2 法二 sin cos2 sin2 sin cos2 1 cos 点评 定义法求三角函数值的两种情况 1 已知角的终边上一点p的坐标 则可先求出点p到原点的距离 然后用三角函数定义求解 2 已知角的终边所在的直线方程 则可先设出终边上一点的坐标 求出此点到原点的距离 然后用三角函数的定义来求相关问题 若直线的倾斜角为特殊角 则可直接写出角的三角函数值 注意 若角 的终边落在某条直线上 一般要分类讨论 变式探究 4 已知角 的终边上一点p m m 0 且sin 求cos tan 的值 解析 由题设知x y m r2 op 2 2 m2 o为原点 得r 从而sin r 于是3 m2 8 解得m 当m 时 r 2 x cos tan 当m 时 r 2 x cos tan 根据三角函数值的符号确定角所处象限取值范围 例5 若sin cos 0 试确定角 所在的象限 思路点拨 1 首先确定sin 与cos 的符号 再判断 所在的象限 2 先化简关系式再确定 的范围 3 因判断 所在的象限 故本题可以用特殊值 各个象限各取一个 来判断 解析 法一 由sin cos 0知或由上可知 在第一或第三象限 法二 由sin cos 0有sin2 0 即sin2 0 所以2k 2 2k k k 当k 2n n z 时 在第一象限 当k 2n 1 n z 时 在第三象限 故 在第一或第三象限 法三 若令 代入sin cos 0 可以验证知 只有 满足条件 所以 在第一或第三象限 点评 1 单位圆中的三角函数线是实现数形结合的重要工具 利用单位圆中的三角函数线可以研究同角三角函数关系 诱导公式以及三角函数的图象 要注意三角函数线是有向线段 2 三角函数在各象限的符号可用一口诀记忆 一象限全是正 二象限正弦正 三象限正切正 四象限余弦正 变式探究 5 1 2013 海口模拟 已知点p sin cos tan 在第一象限