安徽省淮南市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年安徽省淮南市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4， 5，集合 M=0， 3， 5， N=1， 4， 5，则集合 M （ =（ ） A 5 B 0， 3 C 0， 2， 3， 5 D 0， 1， 3， 4， 5 2下列函数中，在 ， 上的增函数是（ ） A y= y= y= y=已知函 数 f（ =x，则 等于（ ） A B C 1 D 2 4函数 y=6+2x 的零点为 ） A（ 1， 2） B（ 2， 3） C（ 3， 4） D（ 5， 6） 5已知 是第二象限角， ，则 ） A B C D 6若偶函数 f（ x）在（ ， 1上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A f（ ） f（ 1） f（ 2） B f（ 1） f（ ） f（ 2） C f（ 2） f（ 1） f（ ） D f（ 2） f（ ） f（ 1） 7函数 的最小正周期为（ ） A B C D 2 8函数 的图象可由 y=图象经过怎样的变换得到（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 9 =（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为 “同族函数 ”，那么y=域为 1， 9的 “同族函数 ”共有（ ） A 7 个 B 8 个 C 9 个 D 10 个 二 、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4分 .、共 20 分 . 11已知指数函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， 4），若 f（ m） =8，则 m= 12函数 y= 的定义域是 13已知 ， ，则 ） = 14若 f（ x） =20 1）在区间 上的最大值是 ，则 = 15关于函数 f（ x） =42x+ ），（ xR）有下列命题： （ 1） y=f（ x）是以 2为最小正周期的周期函数； （ 2） y=f（ x）可改写为 y=42x ）； （ 3） y=f（ x）的图象关于（ ， 0）对称； （ 4） y=f（ x）的图象关于直线 x= 对称； 其中真命题的序号为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知集合 A=x|3x 7， B=x|12x+20 0， C=x|x a （ 1）求 A B；（ B； （ 2）若 AC，求 a 的取值范围 17已知 是第三象限角，且 f（ ）= （ 1）若 ） = ，求 f（ ）； （ 2）若 = 1920，求 f（ ） 18已知函数 f（ x） = 是定义在（ 1， 1）上的奇函数，且 f（ ） = （ ）求函数 f（ x）的解析式 （ ）用定义证明 f（ x）在（ 1， 1）上的增函数 （ ）解关于实数 t 的不等式 f（ t 1） +f（ t） 0 19已知 ，求下列式子的值 （ 1） （ 2） 0已知 （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）求 f（ x）的单调减区间； （ 3）若函数 g（ x） =f（ x） m 在区间 上没有零点，求 m 的取值范围 2015年安徽省淮南市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4， 5，集合 M=0， 3， 5， N=1， 4， 5，则集合 M （ =（ ） A 5 B 0， 3 C 0， 2， 3， 5 D 0， 1， 3， 4， 5 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 由全集 U 以及 N，求出 N 的补集，找出 M 与 N 补集的并集即可 【解答】 解： 全集 U=0， 1， 2， 3， 4， 5，集合 M=0， 3， 5， N=l， 4， 5， 0， 2， 3， 则 M （ =0， 2， 3， 5 故选 C 【点评】 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2下列函数中，在 ， 上的增函数是（ ） A y= y= y= y=考点】 正切函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用三角函数的单调性，得出结论 【解答】 解：由于 y= ， 上是减函数，故排除 A； 由于 y= x= 时，无意义，故排除 B； 由于当 x ， 时， 2x， 2，故函数 y= ， 上没有 单调性，故排除 C； 由于 x ， 时， 2x， 2，故函数 y= ， 上是增函数， 故选： D 【点评】 本题主要考查三角函数的单调性，属于基础题 3已知函数 f（ =x，则 等于（ ） A B C 1 D 2 【考点】 函数的值；函数解析式的求解及常用方法 【专题】 函数 的性质及应用 【分析】 运用 “整体代换 ”的思想，令 ，求解出 x 的值，即可求得答案 【解答】 解： 函数 f（ =x， 令 ，则 x= =2， 故 f（ ） =2 故选： D 【点评】 本题考查了函数的求值，运用了 “整体代换 ”的思想求解函数值，解题过程中运用了对数的运算性质，要熟练掌握指数式与对数式的互化属于基础题 4函数 y=6+2x 的零点为 ） A（ 1， 2） B（ 2， 3） C（ 3， 4） D（ 5， 6） 【考点】 二分法求方程的近似解 【专题 】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 分别求出 f（ 2）和 f（ 3）并判断符号，再由函数的单调性判断出函数唯一零点所在的区间 【解答】 解： f（ 2） =2 0， f（ 3） =0， f（ x） =x 6 的存在零点 2， 3） f（ x） =x 6 在定义域（ 0， +）上单调递增， f（ x） =x 6 的存在唯一的零点 2， 3） 故选： B 【点评】 本题主要考查函数零点存在性的判断方法的应用，要判断个数需要判断函数的单调性，属于基础题 5已知 是第二象限角， ，则 ） A B C D【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 三角函数的求值 【分析】 由 为第二象限角及 用同角三角函数间的基本关系求出 【解答】 解： 是第二象限角， ， = ， 故选： B 【点评】 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键 6若偶函数 f（ x）在（ ， 1上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A f（ ） f（ 1） f（ 2） B f（ 1） f（ ） f（ 2） C f（ 2） f（ 1） f（ ） D f（ 2） f（ ） f（ 1） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 常规题型 【分析】 题目中条件： “f（ x）为偶函数， ”说明： “f（ x） =f（ x） ”，将不在（ ， 1上的数值转化成区间（ ， 1上，再结合 f（ x）在（ ， 1上是增函数，即可进行判断 【解答】 解： f（ x）是偶函数， f（ ） =f（ ）， f（ 1） =f（ 1）， f（ 2） =f（ 2）， 又 f（ x）在（ ， 1上是增函 数， f（ 2） f（ ） f（ 1） 即 f（ 2） f（ ） f（ 1） 故选 D 【点评】 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、奇偶性与单调性的综合等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题 7函数 的最小正周期为（ ） A B C D 2 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【专题】 计算题 【分析】 利用二倍角公式化简函数 ，然后利用诱导公式进一步化简，直接求出函数的最小正周期 【解答】 解：函数 =2x+ ） = 所以函数的最 小正周期是： T= 故选 C 【点评】 本题是基础题，考查三角函数最小正周期的求法，三角函数的化简，公式的灵活运应，是本题的关键 8函数 的图象可由 y=图象经过怎样的变换得到（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 利用诱导公式化简函数 的解析式为 y=x ，再 根据函数 y=x+）的图象变换规律得出结论 【解答】 解： 函 数 =（ 2x+ ） = 2x） =x ， 故把 y=图向右平移 个单位可得函数 y=x 的图象， 故选 D 【点评】 题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题 9 =（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用三角函数的恒等变换化简所给的式子，可得结果 【解答】 解： = = = =1， 故选： A 【点评】 本 题主要考查三角函数的恒等变换、以及化简求值，属于基础题 10若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为 “同族函数 ”，那么y=域为 1， 9的 “同族函数 ”共有（ ） A 7 个 B 8 个 C 9 个 D 10 个 【考点】 函数的值域 【专题】 计算题；函数的性质及应用；集合 【分析】 由题意知定义域中的数有 1， 1， 3， 3 中选取；从而讨论求解 【解答】 解： y=域为 1， 9的 “同族函数 ”即定义域不同， 定义域中的数有 1， 1， 3， 3 中选取； 定义域中含有两个元素的有 22=4 个； 定义域中含有三个元素的有 4 个， 定义域中含有四个元素的有 1 个， 总共有 9 种， 故选 C 【点评】 本题考查了学生对新定义的接受能力及集合的应用，属于基础题 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4分 .、共 20 分 . 11已知指数函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， 4），若 f（ m） =8，则 m= 3 【考点】 指数函数的图象与性质 【专题】 计算题；方程思想；函数的性质及应用 【分析】 设函数 f（ x） =a 0 且 a1，把点（ 2， 4），求得 a 的值，可得函数的解析式， 进而得到答案 【解答】 解：设函数 f（ x） =a 0 且 a1， 把点（ 2， 4），代入可得 ， 解得 a=2， f（ x） =2x 又 f（ m） =8， 2m=8， 解得： m= 3， 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，难度不大，属于基础题 12函数 y= 的定义域是 1， 1） （ 1， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用 【分析】 由根式内部的代数式大于等于 0，分式的分母不等于 0 联立不等式组求解 x 的取值集合得答案 【解答】 解：要使函数 y= 有意义， 则 ， 解得： x 1 且 x1 函数 y= 的定义域是： 1， 1） （ 1， +） 故答案为： 1， 1） （ 1， +） 【点评】 本题考查 了函数的定义域及其求法，是基础题 13已知 ， ，则 ） = 【考点】 两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系 【专题】 计算题 【分析】 把已知的两等式左右两边平方，利用完全平方公式展开后，分别记作 和 ，然后将+，左边利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简，右边计算，整理后即可求出 ）的值 【解答】 解： ， ， （ 2= ，（ 2= ， 即 ， 2， +得： 2（ +（ +2（ =1+1+2 ） =2+2 ） = ， 则 ） = 故答案为： 【点评】 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键 14若 f（ x） =20 1）在区间 上的最大值是 ，则 = 【考点】 三角函数的最值 【专题】 计算题；转化思想 【分析】 根据已知区间，确定 x 的范围，求出它的最大值，结合 0 1，求出 的值 【解答】 解： ，故答案为： 【点评】 本题是基础题，考查三角函数的最值的应用，考查计算能力，转化思想的应用 15关于函数 f（ x） =42x+ ），（ xR）有下列命题： （ 1） y=f（ x）是以 2为最小正周期的周期函数； （ 2） y=f（ x）可改写为 y=42x ）； （ 3） y=f（ x）的图象关于（ ， 0）对称； （ 4） y=f（ x）的图象关于直线 x= 对称； 其中真命题的序号为 （ 2）（ 3） 【考点】 正弦函数的对称性；三角函数的周期性及其求法 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 根据所给的函数解析式，代 入求周期的公式求出周期，得到（ 1）不正确，利用诱导公式转化得到（ 2）正确，把所给的对称点代入解析式，根据函数值得到（ 3）正确而（ 4）不正确 【解答】 解：函数 f（ x） =42x+ ）， T= =，故（ 1）不正确， f（ x） =42x+ ） =4 2x ） =42x ）， 故（ 2）正确， 把 x= 代入解析式得到函数值是 0，故（ 3）正确，（ 4）不正确， 综上可知（ 2）（ 3）两个命题正确， 故答案为：（ 2）（ 3） 【点评】 本题 考查正弦函数的周期和对称性即诱导公式，本题解题 的关键是计算出需要的值，和原题所给的命题进行比较，得到结论 三、解答题：本大题共 5 小题，共 40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知集合 A=x|3x 7， B=x|12x+20 0， C=x|x a （ 1）求 A B；（ B； （ 2）若 AC，求 a 的取值范围 【考点】 交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）先通过解二次不等式化简集合 B，利用并集的定义求出 A B，利用补集的定义求出一步利用交集的定义求出 （ B； （ 2）根据交集的定义要使 AC，得到 a 3 【解答】 解：（ 1） B x|12x+20 0=x|2 x 10； 因为 A=x|3x 7， 所以 A B=x|2 x 10；（ 1 分） 因为 A=x|3x 7， 所以 x|x 3 或 x7；（ 1 分） （ B=x|2 x 3 或 7x 10（ 1 分） （ 2）因为 A=x|3x 7， C=x|x a AC， 所以 a 3（ 2 分） 【点评】 本题考查进行集合间的交、并、补运算应该先化简各个集合，然 后利用交、并、补集的定义进行运算，属于基础题 17已知 是第三象限角，且 f（ ）= （ 1）若 ） = ，求 f（ ）； （ 2）若 = 1920，求 f（ ） 【考点】 三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值 【专题】 计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 【解答】 解： 已知 是第三象限角，且 f（ ）= = （ 1）若 ） =+ ） = ， ， f（ ） = = （ 2）若 = 1920，求 f（ ） = 1920） = 1800 120） = 【点评】 本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题 18已知函数 f（ x） = 是定义在（ 1， 1）上的奇函数，且 f（ ） = （ ）求函数 f（ x）的 解析式 （ ）用定义证明 f（ x）在（ 1， 1）上的增函数 （ ）解关于实数 t 的不等式 f（ t 1） +f（ t） 0 【考点】 函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质 【专 题】 函数的性质及应用 【分析】 （ ）首先利用函数在（ 1， 1）上有定义且为奇函数，所以 f（ 0） =0，首先确定 b 的值，进一步利 求出 a 的值，最后确定函数的解析式 （ ）直接利用定义法证明函数的增减性 （ ）根据以上两个结论进一步求出参数的取值范围 【解答】 （ ）解：函数 f（ x） = 是定义在（ 1， 1）上的奇函数 所以： f（ 0） =0 得到： b=0 由于且 f（ ） = 所以： 解得： a=1 所以： （ ）证明：设 1 1 则： f（ f（ = = 由于： 1 1 所以： 0 1 即： 1 0 所以： 则： f（ f（ 0 f（ x）在（ 1， 1）上的增函数 （ ）由于函数是奇函数， 所以： f（ x） = f（ x） 所以 f（ t 1） +f（ t） 0，转化成 f（ t 1） f（ t） =f（ t） 则： 解得： 所以不等式的解集为： t| 【点评】 本题考查的 知识要点：奇函数的性质的应用，利用定义法证明函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调星球参数的取值范围属于基础题型 19已知 ，求下列式 子的值 （ 1） （ 2） 考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 三角函数的求值 【分析】 （ 1）原式分子分母除以 用同角三角函数间基本关系化简，将 （