高中数学 第二章 函数 2.4 函数与方程（1）课件 新人教B版必修1.ppt

第二章 函数 2 4函数与方程 2 4 1函数的零点 自主预习学案 三国志 魏书 记载 邓哀王冲字仓舒 少聪察歧嶷 生五 六岁 智意所及 有若成人之智 时孙权曾致巨象 太祖 曹操 欲知其斤重 访之群下 咸莫能出其理 冲曰 置象大船之上 而刻其水痕所至 称物以载之 则校可知矣 太祖大悦 即施行焉 这就是千古传诵 妇嬬皆知的曹冲称象的故事 抛除物理中的浮力原理 这其中就运用了转化的思想 那么 在函数和方程中是否也有类似的转化呢 1 函数零点的概念一般地 我们把使函数y f x 的值为0的实数x称为函数y f x 的 因此 函数y f x 的零点就是方程f x 0的 从图象上看 函数f x 的零点 就是它的图象与 交点的 2 正确理解函数的零点 1 函数的零点不是 点 而是一个 当函数的自变量取这个实数时 函数值为零 2 函数是否有零点是针对方程是否有 而言的 若方程没有 则函数没有零点 反映在图象上就是函数图象与x轴 零点 实数根 x轴 横坐标 实数 实数根 实数根 无交点 解析 函数y x2 2x的零点就是方程x2 2x 0的实数根 解x2 2x 0 得x1 0 x2 2 故选a a a 解析 选项d中 函数图象与x轴没有交点 故该函数没有零点 d 2 8 互动探究学案 命题方向1求函数的零点 分析 把每一个函数解析式因式分解 化为几个因式之积的形式 最好为一次因式 然后令每一个因式等于零再解 解析 1 令y x 1 0 得x 1 函数y x 1的零点是1 2 y x2 x 6 x 3 x 2 令 x 3 x 2 0 得x 2或x 3 函数y x2 x 6的零点是 2和3 规律方法 函数零点的求法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 对于不能用求根公式的方程f x 0 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 图象与x轴的交点横坐标即为函数的零点 命题方向2零点个数的判断 规律方法 判断或求形如函数y ax2 bx c的零点时 首先对a分a 0和a 0两种情况讨论 然后对a 0的情况 利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况 即可判断函数零点的情况 b 辨析 解答此类题目易犯本题误解中的错误 即没有搞清题意 忽略a 0的情形 而本题中并没有说明所给函数是二次函数 1 数形结合思想关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布问题 通常借助于二次函数f x ax2 bx c a 0 的图象来解决 利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形结合的思想 一般要考虑四个因素 1 二次项的系数 2 判别式 3 对称轴 4 区间端点的取值 通过列出满足条件的不等式 组 来解决 我们知道函数y f x 的零点就是方程f x 0的根 2 零点分析法若函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则在区间 a b 内 函数y f x 至少有一个零点 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 这种利用函数性质判定方程实数解的方法也叫零点分析法 零点分析法的几何意义是 在闭区间 a b 上有连续曲线y f x 且连续曲线的始点 a f a 与终点 b f b 分别在x轴的两侧 则此连续曲线与x轴至少有一个交点 如图所示 解析 由f a f b 0 知y f x 在 a b 上存在奇数个零点 f b f c 0 知y f x 在 b c 上存在奇数个零点 f x 在 a c 上存在零点且为偶数个 c d b 解析 函数f x 在 0 上是减函数 f 2 0 f