高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.6 对数与对数函数课件 理 北师大版.ppt

2 6对数与对数函数 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 对数的概念如果a a 0 a 1 的b次幂等于n 即ab n 那么数b叫作以a为底n的对数 记作 其中叫作对数的底数 叫作真数 2 对数的性质与运算法则 1 对数的运算法则如果a 0 且a 1 m 0 n 0 那么 loga mn loga logamn n r 知识梳理 a logan b logam logan n logam logan nlogam 2 对数的性质 logaan a 0 且a 1 3 对数的换底公式logab a 0 且a 1 c 0 且c 1 b 0 n n 3 对数函数的图像与性质 0 r 几何画板展示 4 反函数指数函数y ax a 0且a 1 与对数函数 a 0且a 1 互为反函数 它们的图像关于直线对称 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 增函数 减函数 y logax y x 1 换底公式的两个重要结论 知识拓展 其中a 0且a 1 b 0且b 1 m n r 2 对数函数的图像与底数大小的比较如图 作直线y 1 则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数 故0 c d 1 a b 由此我们可得到以下规律 在第一象限内从左到右底数逐渐增大 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若mn 0 则loga mn logam logan 2 对数函数y logax a 0且a 1 在 0 上是增函数 3 函数y 与y ln 1 x ln 1 x 的定义域相同 4 对数函数y logax a 0且a 1 的图像过定点 1 0 且过点 a 1 函数图像只在第一 四象限 基础自测 1 2 3 4 5 6 7 题组二教材改编2 log29 log34 log45 log52 答案 2 c a b 解析 1 2 3 4 5 6 3 已知a b log2 c 则a b c的大小关系为 解析 01 c a b 7 4 函数y 的定义域是 解析由 2x 1 0 得0 2x 1 1 解析 1 2 3 4 5 6 答案 7 1 2 3 4 5 6 答案 题组三易错自纠5 已知b 0 log5b a lgb c 5d 10 则下列等式一定成立的是a d acb a cdc c add d a c 7 6 已知函数y loga x c a c为常数 其中a 0 a 1 的图像如图 则下列结论成立的是a a 1 c 1b a 1 01d 0 a 1 0 c 1 1 2 3 4 5 6 解析由该函数的图像通过第一 二 四象限知该函数为减函数 0 a 1 图像与x轴的交点在区间 0 1 之间 该函数的图像是由函数y logax的图像向左平移不到1个单位后得到的 0 c 1 解析 答案 7 7 若loga0且a 1 则实数a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 解析 答案 7 题型分类深度剖析 题型一对数的运算 自主演练 解析 答案 解析由已知 得a log2m b log5m lg10 2 10 2 10 20 答案 20 解析 1 答案 解析 对数运算的一般思路 1 拆 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后利用对数运算性质化简合并 2 合 将对数式化为同底数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算性质 转化为同底对数真数的积 商 幂的运算 解析 答案 题型二对数函数的图像及应用 师生共研 典例 1 若函数y logax a 0且a 1 的图像如图所示 则下列函数图像正确的是 解析由题意y logax a 0且a 1 的图像过 3 1 点 可解得a 3 选项b中 y x3 由幂函数图像性质可知正确 选项c中 y x 3 x3 显然与所画图像不符 选项d中 y log3 x 的图像与y log3x的图像关于y轴对称 显然不符 故选b 解析 答案 当a 1时 不符合题意 舍去 若本例 2 变为方程4x logax在上有解 则实数a的取值范围为 解析 答案 1 对一些可通过平移 对称变换作出其图像的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用数形结合思想求解 2 一些对数型方程 不等式问题常转化为相应的函数图像问题 利用数形结合法求解 答案 跟踪训练 1 函数y 2log4 1 x 的图像大致是 解析函数y 2log4 1 x 的定义域为 1 排除a b 又函数y 2log4 1 x 在定义域内单调递减 排除d 故选c 解析 2 2017 衡水调研 已知函数f x 且关于x的方程f x x a 0有且只有一个实根 则实数a的取值范围是 解析如图 在同一坐标系中分别作出y f x 与y x a的图像 其中a表示直线在y轴上的截距 由图可知 当a 1时 直线y x a与y log2x只有一个交点 解析 答案 1 题型三对数函数的性质及应用 多维探究 命题点1对数函数的单调性典例 1 2018届河南信阳高中大考 设a log412 b log515 c log618 则a a b cb b c ac a c bd c b a 解析a 1 log43 b 1 log53 c 1 log63 log43 log53 log63 a b c 解析 答案 2 2017 江西九江七校联考 若函数f x log2 x2 ax 3a 在区间 2 上是减函数 则实数a的取值范围是a 4 b 4 4 c 4 2 d 4 4 解析由题意得x2 ax 3a 0在区间 2 上恒成立且函数y x2 ax 3a在 2 上是减少的 解析 答案 解得实数a的取值范围是 4 4 故选d 命题点2和对数函数有关的复合函数典例已知函数f x loga 3 ax a 0且a 1 1 当x 0 2 时 函数f x 恒有意义 求实数a的取值范围 解 a 0且a 1 设t x 3 ax 则t x 3 ax为减函数 x 0 2 时 t x 的最小值为3 2a 当x 0 2 时 f x 恒有意义 即x 0 2 时 3 ax 0恒成立 解答 故不存在这样的实数a 使得函数f x 在区间 1 2 上为减函数 并且最大值为1 2 是否存在这样的实数a 使得函数f x 在区间 1 2 上为减函数 并且最大值为1 如果存在 试求出a的值 如果不存在 请说明理由 解假设存在这样的实数a t x 3 ax a 0 函数t x 为减函数 f x 在区间 1 2 上为减函数 y logat为增函数 a 1 x 1 2 时 t x 的最小值为3 2a f x 的最大值为f 1 loga 3 a 解答 1 利用对数函数单调性时要注意真数必须为正 明确底数对单调性的影响 2 解决与对数函数有关的复合函数问题 首先要确定函数的定义域 根据 同增异减 原则判断函数的单调性 利用函数的最值解决恒成立问题 解析 答案 跟踪训练 1 设a log32 b log52 c log23 则a a c bb b c ac c b ad c a b 解析a log32log22 1 所以c最大 所以c a b 2 已知函数f x loga 8 ax a 0 且a 1 若f x 1在区间 1 2 上恒成立 则实数a的取值范围是 解析 答案 解析当a 1时 f x loga 8 ax 在 1 2 上是减函数 由f x 1在区间 1 2 上恒成立 则f x min loga 8 2a 1 且8 2a 0 当01在区间 1 2 上恒成立 则f x min loga 8 a 1 且8 2a 0 a 4 且a 4 故不存在 比较指数式 对数式的大小 高频小考点 比较大小问题是每年高考的必考内容之一 1 比较指数式和对数式的大小 可以利用函数的单调性 引入中间量 有时也可用数形结合的方法 2 解题时要根据实际情况来构造相应的函数 利用函数单调性进行比较 如果指数相同 而底数不同则构造幂函数 若底数相同而指数不同则构造指数函数 若引入中间量 一般选0或1 考点分析 典例 1 设a log3 b log2 c log3 则a a b cb a c bc b a cd b c a 解析 答案 所以b c 故a b c 2 2017 新乡二模 设a 60 4 b log0 40 5 c log80 4 则a b c的大小关系是a a b cb c b ac c a bd b c a 解析 答案 解析 a 60 4 1 b log0 40 5 0 1 c log80 4b c 故选b 3 若实数a b c满足loga2 logb2 logc2 则下列关系中不可能成立的是a a b cb b a cc c b ad a c b 解析由loga2 logb2 logc2的大小关系 可知a b c有如下四种可能 1 c b a 0 a 1 c b 0 b a 1 c 0 c b a 1 对照选项可知a中关系不可能成立 解析 答案 4 2017 石家庄一模 已知函数y f x 2 的图像关于直线x 2对称 且当x 0 时 f x log2x 若a f 3 b c f 2 则a b c的大小关系是a a b cb b a cc c a bd a c b 解析 答案 解析易知y f x 是偶函数 且当x 1 时 f x log2x是增加的 课时作业 1 设a log37 b 21 1 c 0 83 1 则a b a cb c a bc c b ad a c b 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 a log37 12 c 0 83 1 0 c 1 即c a b 故选b 解析 答案 2 2017 孝义模拟 函数y lnsinx 0 x 的大致图像是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为0 x 所以0 sinx 1 所以lnsinx 0 故选c 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意可知f 1 log21 0 f f 1 f 0 30 1 2 解析 4 2017 北京 根据有关资料 围棋状态空间复杂度的上限m约为3361 而可观测宇宙中普通物质的原子总数n约为1080 则下列各数中与最接近的是 参考数据 lg3 0 48 a 1033b 1053c 1073d 1093 解析 答案 361lg3 80lg10 361 0 48 80 1 93 28 又lg1033 33 lg1053 53 lg1073 73 lg1093 93 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 f x f e x 2 当且仅当a b 2时取等号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 503 a b 2012 a b 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以函数f x 的递增区间为 0 7 函数f x log5 2x 1 的递增区间是 解析 答案 令t 2x 1 t 0 因为y log5t在 0 上为增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 8 设函数f x 则满足f x 2的x的取值范围是 0 解析当x 1时 由21 x 2 解得x 0 所以0 x 1 综上可知x 0 几何画板展示 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 2017 南昌模拟 设实数a b是关于x的方程 lgx c的两个不同实数根 且a b 10 则abc的取值范围是 答案 0 1 解析由题意知 在 0 10 上 函数y lgx 的图像和直线y c有两个不同交点 ab 1 0 c lg10 1 abc的取值范围是 0 1 10 已知a b 1 若logab logba ab ba 则a b 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4 2 解析令logab t a b 1 11 已知函数f x loga 2x a 在区间上恒有f x 0 则实数a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 解得a 0 且a 1 此时无解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 2018 长沙模拟 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 f 0 0 当x 0时 f x x 1 求函数f x 的解析式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 1 当x0 则f x x 因为函数f x 是偶函数 所以f x f x 所以x 0时 f x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 解不等式f x2 1 2 解因为f 4 4 2 f x 是偶函数 所以不等式f x2 1 2可化为f x2 1 f 4 又因为函数f x 在 0 上是减函数 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 已知a b 0且a 1 b 1 若logab 1 则a a 1 b 1 0b a 1 a b 0c b 1 b a 0d b 1 b a 0 答案 解析由a b 0且a 1 b 1 及logab 1 logaa可得 当a 1时 b a 1 当0 a 1时 0 b a 1 代入验证只有d满足题意 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析当x 0 3 时 f x min f 0 0 由题意可知原条件等价于f x min g x min 15 关于函数f x lg x 0 x r