高中数学 第2章 空间向量与立体几何章末归纳总结课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 空间向量与立体几何 第二章 章末归纳总结 第二章 1 空间向量的线性运算与数量积运算及其性质是本章的基础 应熟练掌握向量共线与向量共面的概念 共线向量定理与共面向量定理 是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据 讨论三点共线 直线平行 四点共面 向量共面 线面平行等等都需要运用这两个基本原理 例1 如图 长方体abcd a1b1c1d1中 m为dd1的中点 n在ac上 且an nc 2 1 求证 与 共面 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 1 mn 平面a1bd 2 平面a1bd 平面b1d1c 2 利用空间向量判定线面 面面位置关系 例2 如图所示 已知pa 平面abcd abcd为矩形 pa ad m n分别为ab pc的中点 求证 1 mn 平面pad 2 平面pmc 平面pdc 分析 建立合适的空间直角坐标系 可以借助共面向量定理证明 1 借助于法向量证明 2 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd为菱形 pa 底面abcd ac 2 pa 2 e是pc上的一点 pe 2ec 1 证明 pc 平面bed 2 设二面角a pb c为90 求pd与平面pbc所成角的大小 解析 1 以a为坐标原点 射线ac为x轴的正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 3 空间角 例3 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab 5 ad 8 aa1 4 m为b1c1上一点且b1m 2 点n在线段a1d上 a1d an 分析 建立恰当空间直角坐标系 求出相应的向量 利用法向量求解 如图是一个直三棱柱 以a1b1c1为底面 被一平面所截得的几何体 截面为abc 已知a1b1 b1c1 1 a1b1c1 90 aa1 4 bb1 2 cc1 3 1 设点o是ab的中点 证明 oc 平面a1b1c1 2 求二面角b ac a1的大小 解析 如图 以b1为原点 分别以b1c1 b1a1 b1b所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则a 0 1 4 b 0 0 2 c 1 0 3 分析 此题共有3问 包括两个向量的夹角的求解 两异面直线间的距离的求解和点到平面的距离的求解 可建立空间直角坐标系 进行求解 解析 如图 建立空间直角坐标系 则d 0 0 0 a a 0 0 b a a 0 c 0 a 0 m 0 0 a e a 0 a f 0 a a 5 探索性问题 例5 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是棱dd1的中点 1 求直线be和平面abb1a1所成的角的正弦值 2 在棱c1d1上是否存在一点f 使b1f 平面a1be 证明你的结论 这说明a1 b g e共面 所以bg 平面a1be 因四边形c1cdd1与b1bcc1皆为正方形 f g分别为c1d1和cd的中点 所以fg c1c b1b 且fg c1c b1b 因此四边形b1bgf为平行四边形 所以b1f bg 而b1f 平面a1be bg 平面a1be 故b1f 平面a1be 点评 本题考查了直线与平面所成的角 直线与平面平行的性质与判定 综合考查了学生空间想象能力 探究能力和运算能力 1 求直线de与平面pac所成角的大小 2 求二面角e ad c的平面角的余弦值 3 在线段pc上是否存在一点k 使pc 平面kbd成立 如果存在 求出kc的长 如果不存在 请说明理由 答案 d 答案 b 答案 b 二 填空题4 如图 已知在一个二面角的棱上有两个点a b 线段ac bd分别在这个二面角的两个面内 并且都垂直于棱ab ab 4cm ac 6cm bd 8cm cd 2cm 则这个二面角的度数为 答案 60 5 在半径为13的球面上有a b c三点 ab 6 bc 8 ca 10 则 1 球心到平面abc的距离为 2 过a b两点的大圆面与平面abc所成二面角 锐角 的正切值为 答案 1 12 2 3 解析 解法一 连接ac 设ac bd o ap与平面bdd1b1交于点g 连接og 如图所示 pc 平面bdd1b1 平面bdd1b1 平面apc og 2 存在点q 证明 依题意 要在a1c1上找一点q 使得d1q ap 可推测a1c1的中点o1即为所求的q点 d1o1 a1c1 d1o1 aa1 d1o1 平面acc1a1 又ap 平面acc1a1 故d1o1 ap 从而d1q在平面ad1p上的射影与ap垂直 存在定点q满足题意 7 如图 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 1 求证 ab1 平面a1bd 2 求二面角a a1d b的余弦值 3 求点c到平面a1bd的距离 分析 abc为正三角形 且平面abc 平面bcc1b1 故可取bc中点o 以o为原点建