高中数学 第一章 导数及其应用 阶段复习课课件 新人教A版选修22 .ppt

阶段复习课第一章 核心解读 1 导数几何意义2 导数计算公式 1 若f x c c为常数 则f x 0 2 若f x x q 则f x x 1 3 若f x sinx 则f x cosx 4 若f x cosx 则f x sinx 5 若f x ax 则f x axlna 6 若f x ex 则f x ex 7 若f x logax 则f x 8 若f x lnx 则f x 3 导数运算法则条件 f x g x 是可导的 结论 1 f x g x f x g x 2 f x g x f x g x f x g x 3 4 函数的单调性与导函数值的关系若函数f x 在 a b 内可导 则f x 在 a b 任意子区间内部不恒等于0 f x 0 函数f x 在 a b 上单调递增 f x 0 函数f x 在 a b 上单调递减 反之 函数f x 在 a b 上单调递增 f x 0 函数f x 在 a b 上单调递减 f x 0 即f x 0 f x 0 是f x 为增 减 函数的充分不必要条件 5 定积分的性质 1 kf x dx kf x dx k为常数 2 f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx 3 f x dx f x dx f x dx 其中a c b 6 微积分基本定理如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且f x f x 那么f x dx f b f a 7 定积分与平面图形面积的关系已知函数f x 在 a b 上是连续函数 由直线y 0 x a x b与曲线y f x 围成的曲边梯形的面积为s f x 0 s f x dx f x 0 s f x dx 主题一导数的概念与几何意义 典例1 1 2013 广东高考 若曲线y kx lnx在点 1 k 处的切线平行于x轴 则k 2 已知函数y x3 x 求函数图象 在点 1 0 处的切线方程 过点 1 0 的切线方程 自主解答 1 对y kx lnx求导得y k 而x轴的斜率为0 所以在点 1 k 处切线的斜率为y x 1 k 1 0 解得k 1 答案 1 2 函数y x3 x的图象在点 1 0 处的切线斜率为k y x 1 3x2 1 x 1 2 所以函数的图象在点 1 0 处的切线方程为y 2x 2 设函数y x3 x图象上切点的坐标为p x0 x03 x0 则切线斜率为切线方程为y x03 x0 3x02 1 x x0 由于切线经过点 1 0 所以0 x03 x0 3x02 1 1 x0 整理 得2x03 3x02 1 0 即2 x03 1 3 x02 1 0 所以2 x0 1 x02 x0 1 3 x0 1 x0 1 0 所以 x0 1 2 2x0 1 0 解得x0 1或x0 所以p 1 0 或p 所以切线方程为y 2x 2或 延伸探究 在题 2 中 与直线y x 1平行的切线是否存在 若存在 求出切线方程 解析 假设存在 则切线斜率为k 1 设切点为 x0 y0 由y 3x02 1 1 解得x0 0 故切点为 0 0 所以切线方程为y x 所以切线存在 方法技巧 求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种情况 1 求某点处的切线 该点在曲线上 且此点是切点 切线斜率 2 求过某点p的切线方程 此点在切线上不一定是切点 需设出切点 x0 y0 求出切线斜率利用点斜式方程写出切线方程 再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程 补偿训练 2013 北京高考 设l为曲线c 在点 1 0 处的切线 1 求l的方程 2 证明 除切点 1 0 之外 曲线c在直线l的下方 解题指南 1 先求出切点处的导数 再代入点斜式方程求切线方程 2 转化为直线l上点的纵坐标大于曲线c上点的纵坐标 再转化为函数 用极小值解决 解析 1 y 于是y x 1 1 因此l的方程为y x 1 2 只需要证明 x 0且x 1时 x 1 设f x x x 1 lnx x 0 则f x 2x 1 当x 0 1 时 f x 0 所以f x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 所以f x 在x 1处取得极小值 也是最小值 所以f x f 1 0 x 1 因此 除切点 1 0 之外 曲线c在直线l的下方 主题二求函数单调区间 典例2 2013 山东高考改编 已知函数f x ax2 bx lnx a b r 设a 0 求f x 的单调区间 自主解答 由f x ax2 bx lnx x 0 得f x 1 当a 0时 f x 若b 0 当x 0时 f x 0 当0时 f x 0 函数f x 单调递增 所以函数f x 的单调递减区间是 0 单调递增区间是 2 当a 0时 f x 0 得2ax2 bx 1 0 由 b2 8a 0 得显然 x10 当0 x2时 f x 0 函数f x 单调递增 所以函数f x 的单调递减区间是 0 单调递增区间是 综上所述 当a 0 b 0时 函数f x 的单调递减区间是 0 当a 0 b 0时 函数f x 的单调递减区间是 0 单调递增区间是 当a 0时 函数f x 的单调递减区间是 0 单调递增区间是 方法技巧 求函数的单调区间的方法步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 计算函数f x 的导数f x 3 解不等式f x 0 得到函数f x 的递增区间 解不等式f x 0 得到函数f x 的递减区间 提醒 求函数单调区间一定要先确定函数定义域 往往因忽视函数定义域而导致错误 拓展延伸 确定导函数符号的方法确定函数单调性的关键是确定导函数的符号 导函数的符号确定可以借助以下方法完成 1 解关于导函数的不等式 2 利用导函数的单调性 如果导函数较复杂 还可以利用导数判定导函数的单调性 3 数形结合 利用导函数图象找出其大于零和小于零的区间 4 含有参数时 经常利用分类讨论思想 将参数取值分类后 确定导函数值的符号 补偿训练 若a 1 求函数f x ax a 1 ln x 1 的单调区间 解析 由已知得函数f x 的定义域为 1 且f x a 1 1 当 1 a 0时 f x 0 函数f x 在 1 上单调递减 2 当a 0时 由f x 0 解得f x f x 随x的变化情况如表从上表可知 当x 1 时 f x 0 函数f x 在 1 上单调递减 当x 时 f x 0 函数f x 在 上单调递增 综上所述 当 1 a 0时 函数f x 在 1 上单调递减 当a 0时 函数f x 在 1 上单调递减 函数f x 在 上单调递增 主题三利用导数求函数极值 典例3 2013 新课标全国卷 已知函数f x x2e x 1 求f x 的极小值和极大值 2 当曲线y f x 的切线l的斜率为负数时 求l在x轴上截距的取值范围 解题指南 1 求导函数f x 令f x 0求极值点 列表求极值 2 设切线 表示出切线l的方程 令y 0得l在x轴上的截距 利用函数知识求得截距的取值范围 自主解答 1 f x e x x2 2x 令f x 0 得x 0或2 列表如下函数f x 的极小值为f 0 0 极大值为f 2 2 设切点为 x0 则切线l的斜率为k x02 2x0 此时切线l的方程为y x02 2x0 x x0 令y 0 得x 由已知和 1 得x0 0 2 令t x0 2 则t 2 0 令h t t 则当t 0 时 h t 的取值范围为 当t 2 时 h t 的取值范围是 3 所以当x0 0 2 时 x的取值范围是 0 综上 l在x轴上的截距的取值范围是 0 方法技巧 求函数的极值的方法步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号即都为正或都为负 则f x 在这个根处无极值 补偿训练 求f x 的极值 解析 f x 所以f x 令f x 0 得x1 1 x2 1 当x变化时 f x f x 的变化情况为所以当x 1时 f x 极小值 3 当x 1时 f x 极大值 1 主题四利用导数求函数最值 典例4 已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 1 求a的取值范围 2 设g x f x f x 求g x 在 0 1 上的最大值和最小值 解题指南 1 利用f 0 1 f 1 0 将f x 用a表示出来 然后利用f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减 f x 0在x 0 1 上恒成立且f x 0不恒成立 然后通过分类讨论求得a的取值范围 2 化简g x f x f x 通过对g x 求导 然后分类讨论求最值 自主解答 1 由f 0 1 f 1 0 得c 1 a b 1 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 依题意对于任意x 0 1 f x 0恒成立 且f x 0不恒成立 当a 0时 因为二次函数y ax2 a 1 x a的图象开口向上 而f 0 a 0 所以需f 1 a 1 e 0 即0 a 1 当a 1时 对于任意x 0 1 有f x x2 1 ex 0 且只在x 1时f x 0 f x 符合条件 当a 0时 对于任意x 0 1 f x xex 0 且只在x 0时f x 0 f x 符合条件 当a0 f x 不符合条件 故a的取值范围为0 a 1 2 因g x 2ax 1 a ex g x 2ax 1 a ex i 当a 0时 g x ex 0 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 在x 1处取得最大值g 1 e ii 当a 1时 对于任意x 0 1 有g x 2xex 0 g x 在x 0处取得最大值g 0 2 在x 1处取得最小值g 1 0 iii 当0 a 1时 由g x 0得 若 1 即0 a 时 g x 在 0 1 上单调递增 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 a 在x 1处取得最大值g 1 1 a e 若 1 即 a 1时 g x 在x 处取得最大值g 在x 0或x 1处取得最小值 而g 0 1 a g 1 1 a e 由g 0 g 1 1 a 1 a e 1 e a 1 e 0 得 则当时 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 a 当 a 1时 g x 在x 1取得最小值g 1 1 a e 方法技巧 求函数的最值的方法步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较得出函数f x 在 a b 上的最值 提醒 易忽视函数的端点 不连续点 不可导点 补偿训练 求函数f x x3 3x x 的最值 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1或x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如表 由上表可知 当x 1时 f x 取得最大值 f x max f 1 2 当x 1时 f x 取得最小值 f x min f 1 2 主题五导数在优化问题中的应用 典例5 2013 重庆高考 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为v立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将v表示成r的函数v r 并求该函数的定义域 2 讨论函数v r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 解题指南 直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域 通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值 自主解答 1 因为蓄水池侧面的总成本为100 2 rh 200 rh元 底面的总成本为160 r2元 所以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 又据题意200 rh 160 r2 12000 所以h 300 4r2 从而v r r2h 300r 4r3 因r 0 又由h 0可得r 故函数v r 的定义域为 0 2 因v r 300r 4r3 故v r 300 12r2 令v r 0 解得r1 5 r2 5 因r2 5不在定义域内 舍去 当r 0 5 时 v r 0 故v r 在 0 5 上为增函数 当r 5 时 v r 0 故v r 在 5 上为减函数 由此可知 v r 在r 5处取得最大值 此时h 8 即当r 5 h 8时 该蓄水池的体积最大 方法技巧 解决优化问题的步骤 1 要分析问题中各个数量之间的关系 建立适当的函数模型 并确定函数的定义域 2 要通过研究相应函数的性质 如单调性 极值与最值 提出优化方案 使问题得以解决 在这个过程中 导数是一个有力的工具 3 验证数学问题的解是否满足实际意义 补偿训练 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的容积为立方米 且l 2r 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元 半球形部分每平方米建造费用为c c 3 千元 设该容器的建造费用为y千元 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的r 解析 1 因为容器的体积为立方米 所以 r2l 解得l 由于l 2r 因此0 r 2 所以圆柱的侧面积为2 rl 两端两个半球的表面积之和为4 r2 所以建造费用y 8 r2 4 cr2 r 0 2 2 因为y 由于c 3 所以c 2 0 所以令y 0得 r 令y 0得 0 r 当时 即当3 c 时 函数y在 0 2 上是单调递减的 故建造费最小时r 2 当0 2时 即c 时 函数y在 0 2 上是先减后增的 故建造费用最小时 主题六定积分的应用 典例6 设y f x 是二次函数 方程f x 0有两个相等的实根 且f x 2x 2 1 求y f x 的表达式 2 若直线x t 0 t 1 把y f x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分 求t的值 自主解答 1 设f x ax2 bx c a 0 则f x 2ax b 又已知f x 2x 2 所以a 1 b 2 所以f x x2 2x c 又方程f x 0有两个相等实根 所以判别式 4 4c 0 即c 1 故f x x2 2x 1 2 依题意有 x2 2x 1 dx x2 2x 1 dx 所以 x3 x2 x x3 x2 x 即 t3 t2 t t3 t2 t 所以2t3 6t2 6t 1 0 所以2 t 1 3 1 所以 方法技巧 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 1 画出函数的图象 明确平面图形的形状 2 通过解方程组 求出曲线交点的坐标 3 确定积分区间与被积函数 转化为定积分计算 4 对于复杂的平面图形 常常通过 割补法 来求各部分的面积之和 补偿训练 由曲线y 直线y x 2及y轴所围成的图形的面积为 解析 选c y 与y x 2以及y轴所围成的图形面积为如图所示的阴影部分 联立得交点坐标为 4 2 故所求面积为s 强化训练 1 若f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 a 4b 2c 2d 4 解析 选b 因为f x 4ax3 2bx 所以f 1 4a 2b 即4a 2b 2 故f 1 4a 2b 2 故选b 2 若曲线在点 a 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18 则a a 64b 32c 16d 8 解题指南 先求出切线方程 然后表示出切线与两个坐标轴围成的三角形的面积 解析 选a y 所以曲线y 在点 a 处的切线为由x 0得由y 0得x 3a 所以解得a 64 误区警示 求切线问题时在审题过程中要注意区分 在某点处的切线 与 过某点的切线 二者意义不同 3 由直线与曲线y cosx所围成的封闭图形的面积为 解析 选d 所求图形的面积是 4 若函数f x x2 2x 3在区间 a 2 上的最大值为则实数a的值为 解析 f x 2x 2 当a 1时 f x 的最大值为4 不合题意 当 1 a 2时 f x 在 a 2 上是减函数 f a 最大 a2 2a 3 解得a 或a 舍去 答案 补偿训练 若函数f x x3 3x a在区间 0 3 上的最大值 最小值分别为m n 则