高中数学 113集合的交与并课件 湘教版必修1.ppt

课标要求 1 1 3集合的交与并 理解并集 交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程 培养学生的自学阅读能力和自主探究能力 能使用venn图表达集合的关系及运算 体会直观图示对理解抽象概念的作用 了解充分条件 必要条件 充要条件的含义 1 2 3 4 在数学里 把所有既属于a又属于b的元素组成的集合 称为a b的 intersection 记作 读作 a交b 也就是a b 如图 阴影部分表示两个集合的交集 自学导引 1 交集 a b x x a且x b 把集合a b中的元素放在一起组成的集合 叫作a和b的 union 简称为并 记作 读作 a并b 也就是说 集合a b由所有 的元素组成 如图是两个集合的并集的示意图 2 画个圆或多边形 它们边上和内部的点合在一起构成一个区域 一个区域表示一个集合 大区域套小区域 小的就是 两个区域的公共部分也构成一个区域 恰好用来表示两个集合的 两个区域合起来 当然就是两个集合的 了 这种用来表示集合关系和运算的图 叫 图 3 并集 a b 属于a或属于b 真子集 交 并 维恩 venn 一般说来 甲 乙 称甲是乙的 条件 sufficientcondition 也称乙是甲的 条件 necessarycondition 当a包含于b时 则a中元素所满足的条件 b中元素所满足的条件 也就是说 x a是x b的 条件 x b是x a的 条件 如果既有甲 乙 又有乙 甲 就说甲是乙的 条件 简称 条件 sufficientandnecessarycondition 当然 这时乙也是甲的 条件 对应的两个集合互相 也就是 4 5 充分 必要 充分 必要 充分必要 充要 充要 包含 相等 能否认为a与b没有公共元素时 a与b就没有交集 提示不能 当a与b无公共元素时 a与b的交集仍存在 此时a b 怎样理解并集概念中的 或 字 对于a b 能否认为是由a的所有元素和b的所有元素所组成的集合 提示其中 或 字的意义 用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的 x a或x b 包括下列三种情况 x a 但x b x b 但x a x a 且x b 对于a b 不能认为是由a的所有元素和b的所有元素所组成的集合 违反了集合中元素的互异性 因为a与b可能有公共元素 公共元素只能算一个 自主探究 1 2 设a x 1 x 3 b x x 0或x 2 则a b等于 a x x 0或x 1 b x x 0或x 3 c x x 0或x 2 d x 2 x 3 解析结合数轴知a b x x 0或x 1 答案a下列四个推理 a a b a a a a b a a b a b a b b a b a a b b 其中正确的个数是 a 1b 2c 3d 4解析 正确 答案c 预习测评 1 2 设集合a x 1 x5 b x a x b 且a b r a b x 5 x 6 则2a b 解析如图所示 可知a 1 b 6 2a b 4 答案 4 3 4 要注意并集定义中a b是由集合a和b 所有的 元素所组成的集合 而不是由其中部分元素所组成的集合 a b也可以看作是由集合a和b的元素合并而成的集合 从这个意义上讲 a b可以类比于实数的加法运算 深刻领会 或 的内涵 并集的符号语言中的 或 与生活用语中的 或 的含义是不同的 生活用语中的 或 是 或此 或彼 只取其一 并不兼存 而并集中的 或 的意义是 或此 或彼 或此彼 可兼有 用它连接的并列成分之间不一定互相排斥 x a或x b 这一特 名师点睛 1 2 征包含三种情形 x a且x b x b且x a x a且x b 很明显 适合第三种情况的元素x构成的集合就是a b 它不一定是空集 对于a b x x a或x b 不能认为a b就是由集合a的所有元素和集合b的所有元素所构成的集合 因为a与b可能有公共元素 而集合的元素必须是互异的 因此a b的元素个数小于或等于a的元素个数与b的元素个数之和 a b实质上是a与b的公共元素所组成的集合 从这个意义上讲 a b也可以类比于实数的乘法运算 3 4 学习交集时 应注意下列三点 如果没有元素 属于a且属于b 不能说a与b没有交集 而是a b 交集中 所有 两字不能忽视 否则会错误地认为 a 1 2 3 4 b 2 3 4 5 则a b 2 3 交集概念中 且 表明a b的任一元素都是a与b的公共元素 因此 a b必是a与b的公共子集 即a b a a b b a b的元素个数不大于a b中任何一个集合的元素个数 1 a a a a a b b a a b a a b b 2 a b a a b a b b a b 3 a a a a a a b b a a a b b a b a b a b 5 6 7 求下列两个集合的并集和交集 1 a 1 2 3 4 5 b 1 0 1 2 3 2 a x x 5 解 1 如图所示 a b 1 0 1 2 3 4 5 a b 1 2 3 题型一求集合的交集与并集 例1 典例剖析 2 结合数轴 如图所示 得 a b r a b x 5 x 2 点评求两个集合的交集或并集依据它们的定义 借用venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况 有利于准确写出交集 1 已知a x y y 4x 6 b x y y 5x 3 求a b 2 设集合a a2 a 2 3 b a 3 2a 1 a2 1 a b 3 求a b 变式1 2 a b 3 3 b a2 1 0 3 a 3或 3 2a 1 当 3 a 3 即a 0时 a 0 2 3 b 3 1 1 这时a b 3 符合已知a b 3 故a 0 当 3 2a 1 即a 1时 a中元素a2 a 2 1 根据集合元素的互异性 a 1舍去 综上a b 3 1 0 1 2 已知集合a x x2 ax a2 19 0 b x x2 5x 6 0 c x x2 2x 8 0 求a为何实数时 a b 与a c 同时成立 解根据题意b x x2 5x 6 0 2 3 c x x2 2x 8 0 4 2 则b c 2 又a b 与a c 同时成立 根据venn图可以发现2 a且3 a 题型二由交集或并集求参数范围 例2 点评 1 根据交集 并集的定义 适时运用数形结合思想 数轴和venn图 可以帮助我们分析理解问题 2 要注意检验说明所求解是否符合集合中元素的互异性 已知集合p x 2 x 5 q x k 1 x 2k 1 求满足p q 的实数k的取值范围 解若q 则k 1 2k 1 k 2 若q 则k 1 2k 1 k 2 又 p q 结合数轴 如图所示 变式2 设a x x2 4x 0 b x x2 2 a 1 x a2 1 0 1 若a b b 求a的值 2 若a b b 求a的值 解化简集合a 得a 4 0 1 由于a b b 则有b a 可知集合b或为空集 或只含有根0或 4 若b 由 4 a 1 2 4 a2 1 0得a 1 若0 b 代入x2 2 a 1 x a2 1 0 得a2 1 0 即a 1或a 1 当a 1时 b x x2 4x 0 0 4 a 符合题意 当a 1时 b x x2 0 0 a 也符合题意 题型三交集并集的综合问题 例3 若 4 b 代入x2 2 a 1 x a2 1 0 得a2 8a 7 0 即a 7或a 1 当a 1时 中已讨论 符合题意 当a 7时 b x x2 16x 48 0 12 4 不合题意 综合 得a 1或a 1 2 因为a b b 所以a b 又a 4 0 而b中方程有且仅有两个根 且根据一元二次方程根的特点 因此应有a b 由 1 知 a 1 点评明确a b b和a b b的含义 根据问题的需要 将a b b和a b b转化为等价的关系式b a和a b是解决本题的关键 另外在b a时不要忽视b 时的情况 已知a x x2 2x m 0 且a x x 0 求实数m的取值范围 解 a x x 0 a有两种情况 1 a 2 a 1 当a 时 4 4m1 2 当a 时 方程x2 2x m 0有非正实数根 变式3 设集合m x 0 x 3 n x 0 x 2 那么 a m 是 a n 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析 n m m n m m n n a n a m 而a m a n 故 a m 是 a n 的必要不充分条件 答案b 题型四集合与推理问题 例4 点评特殊情况下如果命题以 p x a q x b的形式出现 则有 1 若a b 则p是q的充分条件 2 若b a 则p是q的必要条件 3 若a b 则p是q的充要条件 已知集合a b 命题 a b a是命题 a b的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析本题考查集合的运算关系及与充分和必要条件的关系 a b a b a 不一定a b 所以不能推出a b 不充分 而a b 则b a a b a 满足必要条件 故选b 答案b 变式4 设集合a y r y x2 1 x r b y r y x 1 x r 则a b等于 a 0 2 1 2 b 0 1 c 1 2 d y r y 1 误区警示因没有明确描述法表示集合时的代表元素而出错 例5 错解2 在解方程组的基础上 注意到m n中代表元素是y 故选c 错因分析没有理解集合的描述法的含义 元素的表达式符号是 y 而不是 x y 有的同学盲目地将两约束条件联立求得其交点坐标 其实质是误将元素表达式 y 理解成 x y 正解 a y r y 1 b y r y r a b y r y 1 故选d 答案d纠错心得这里的集合a b是用描述法表示的 要首先明确代表元素是什么 再看元素的属性 从而确定