高考数学一轮复习 第十三章 直接证明与间接证明课件.ppt

第十三章直接证明与间接证明 高考数学 浙江专用 考点直接证明与间接证明1 2017课标全国 理 7 5分 甲 乙 丙 丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 老师说 你们四人中有2位优秀 2位良好 我现在给甲看乙 丙的成绩 给乙看丙的成绩 给丁看甲的成绩 看后甲对大家说 我还是不知道我的成绩 根据以上信息 则 a 乙可以知道四人的成绩b 丁可以知道四人的成绩c 乙 丁可以知道对方的成绩d 乙 丁可以知道自己的成绩 五年高考 答案d本题主要考查逻辑推理能力 由题意可知 甲看乙 丙的成绩 不知道自己的成绩 说明乙 丙两人是一个优秀一个良好 则乙看了丙的成绩 可以知道自己的成绩 丁看了甲的成绩 也可以知道自己的成绩 故选d 2 2016北京 8 5分 袋中装有偶数个球 其中红球 黑球各占一半 甲 乙 丙是三个空盒 每次从袋中任意取出两个球 将其中一个球放入甲盒 如果这个球是红球 就将另一个球放入乙盒 否则就放入丙盒 重复上述过程 直到袋中所有球都被放入盒中 则 a 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球b 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多c 乙盒中红球不多于丙盒中红球d 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案b解法一 假设袋中只有一红一黑两个球 第一次取出后 若将红球放入了甲盒 则乙盒中有一个黑球 丙盒中无球 a错误 若将黑球放入了甲盒 则乙盒中无球 丙盒中有一个红球 d错误 同样 假设袋中有两个红球和两个黑球 第一次取出两个红球 则乙盒中有一个红球 第二次必然拿出两个黑球 则丙盒中有一个黑球 此时乙盒中红球多于丙盒中的红球 c错误 故选b 解法二 设袋中共有2n个球 最终放入甲盒中k个红球 放入乙盒中s个红球 依题意知 甲盒中有 n k 个黑球 乙盒中共有k个球 其中红球有s个 黑球有 k s 个 丙盒中共有 n k 个球 其中红球有 n k s 个 黑球有 n k n k s s个 所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 故选b 3 2017北京文 14 5分 某学习小组由学生和教师组成 人员构成同时满足以下三个条件 i 男学生人数多于女学生人数 ii 女学生人数多于教师人数 iii 教师人数的两倍多于男学生人数 若教师人数为4 则女学生人数的最大值为 该小组人数的最小值为 答案 6 12 解析设男学生人数为x 女学生人数为y 教师人数为z 由已知得且x y z均为正整数 当z 4时 8 x y 4 x的最大值为7 y的最大值为6 故女学生人数的最大值为6 x y z 当x 3时 条件不成立 当x 4时 条件不成立 当x 5时 5 y z 此时z 3 y 4 该小组人数的最小值为12 4 2017北京理 20 13分 设 an 和 bn 是两个等差数列 记cn max b1 a1n b2 a2n bn ann n 1 2 3 其中max x1 x2 xs 表示x1 x2 xs这s个数中最大的数 1 若an n bn 2n 1 求c1 c2 c3的值 并证明 cn 是等差数列 2 证明 或者对任意正数m 存在正整数m 当n m时 m 或者存在正整数m 使得cm cm 1 cm 2 是等差数列 解析本题考查等差数列 不等式 合情推理等知识 考查综合分析 归纳抽象 推理论证能力 1 c1 b1 a1 1 1 0 c2 max b1 2a1 b2 2a2 max 1 2 1 3 2 2 1 c3 max b1 3a1 b2 3a2 b3 3a3 max 1 3 1 3 3 2 5 3 3 2 当n 3时 bk 1 nak 1 bk nak bk 1 bk n ak 1 ak 2 n0时 取正整数m 则当n m时 nd1 d2 因此cn b1 a1n 此时 cm cm 1 cm 2 是等差数列 当d1 0时 对任意n 1 cn b1 a1n n 1 max d2 0 b1 a1 n 1 max d2 0 a1 此时 c1 c2 c3 cn 是等差数列 当d1时 有nd1max 故当n m时 m 解后反思解决数列的相关题时 可通过对某些项的观察 分析和比较 发现它们的相同性质或变化规律 再利用综合法进行推理论证 5 2016江苏 20 16分 记u 1 2 100 对数列 an n n 和u的子集t 若t 定义st 0 若t t1 t2 tk 定义st 例如 t 1 3 66 时 st a1 a3 a66 现设 an n n 是公比为3的等比数列 且当t 2 4 时 st 30 1 求数列 an 的通项公式 2 对任意正整数k 1 k 100 若t 1 2 k 求证 st ak 1 3 设c u d u sc sd 求证 sc sc d 2sd 解析 1 由已知得an a1 3n 1 n n 于是当t 2 4 时 st a2 a4 3a1 27a1 30a1 又st 30 故30a1 30 即a1 1 所以数列 an 的通项公式为an 3n 1 n n 2 因为t 1 2 k an 3n 1 0 n n 所以st a1 a2 ak 1 3 3k 1 3k 1 3k 因此 st ak 1 3 下面分三种情况证明 若d是c的子集 则sc sc d sc sd sd sd 2sd 若c是d的子集 则sc sc d sc sc 2sc 2sd 若d不是c的子集 且c不是d的子集 令e c ud f d uc 则e f e f 于是sc se sc d sd sf sc d 进而由sc sd得se sf 设k为e中的最大数 l为f中的最大数 则k 1 l 1 k l 由 2 知 se ak 1 于是3l 1 al sf se ak 1 3k 所以l 1 k 即l k 又k l 故l k 1 从而sf a1 a2 al 1 3 3l 1 故se 2sf 1 所以sc sc d 2 sd sc d 1 即sc sc d 2sd 1 综合 得 sc sc d 2sd 解后反思 1 考查等比数列通项公式及等比数列项的求解与计算 通法 基本元素法 依旧适用 只不过是创新背景 语言理解要准确 2 数列求和与不等式放缩结合 注意放缩适度 3 间接证明与数列结合 有一定难度 6 2015北京 20 13分 已知数列 an 满足 a1 n a1 36 且an 1 n 1 2 记集合m an n n 1 若a1 6 写出集合m的所有元素 2 若集合m存在一个元素是3的倍数 证明 m的所有元素都是3的倍数 3 求集合m的元素个数的最大值 解析 1 6 12 24 2 证明 因为集合m存在一个元素是3的倍数 所以不妨设ak是3的倍数 由an 1 可归纳证明对任意n k an是3的倍数 如果k 1 则m的所有元素都是3的倍数 如果k 1 因为ak 2ak 1或ak 2ak 1 36 所以2ak 1是3的倍数 于是ak 1是3的倍数 类似可得 ak 2 a1都是3的倍数 从而对任意n 1 an是3的倍数 因此m的所有元素都是3的倍数 综上 若集合m存在一个元素是3的倍数 则m的所有元素都是3的倍数 3 由a1 36 an 可归纳证明an 36 n 2 3 因为a1是正整数 a2 所以a2是2的倍数 从而当n 3时 an是4的倍数 如果a1是3的倍数 由 2 知对所有正整数n an是3的倍数 因此当n 3时 an 12 24 36 这时m的元素个数不超过5 如果a1不是3的倍数 由 2 知对所有正整数n an不是3的倍数 因此当n 3时 an 4 8 16 20 28 32 这时m的元素个数不超过8 当a1 1时 m 1 2 4 8 16 20 28 32 有8个元素 综上可知 集合m的元素个数的最大值为8 7 2014江苏 23 10分 已知函数f0 x x 0 设fn x 为fn 1 x 的导数 n n 1 求2f1 f2的值 2 证明 对任意的n n 等式 都成立 解析 1 由已知 得f1 x f 0 x 于是f2 x f 1 x 所以f1 f2 故2f1 f2 1 2 证明 由已知 得xf0 x sinx 等式两边分别对x求导 得f0 x xf 0 x cosx 即f0 x xf1 x cosx sin 类似可得2f1 x xf2 x sinx sin x 3f2 x xf3 x cosx sin 4f3 x xf4 x sinx sin x 2 下面用数学归纳法证明等式nfn 1 x xfn x sin对所有的n n 都成立 i 当n 1时 由上可知等式成立 ii 假设当n k时等式成立 即kfk 1 x xfk x sin 因为 kfk 1 x xfk x kf k 1 x fk x xf k x k 1 fk x xfk 1 x cos sin 所以 k 1 fk x xfk 1 x sin 因此当n k 1时 等式也成立 综合 i ii 可知等式nfn 1 x xfn x sin对所有的n n 都成立 令x 可得nfn 1 fn sin n n 所以 n n 以下为教师用书 8 2013江苏 19 16分 设 an 是首项为a 公差为d的等差数列 d 0 sn是其前n项的和 记bn n n 其中c为实数 1 若c 0 且b1 b2 b4成等比数列 证明 snk n2sk k n n 2 若 bn 是等差数列 证明 c 0 证明由题意得 sn na d 1 由c 0 得bn a d 又因为b1 b2 b4成等比数列 所以 b1b4 即 a 化简得d2 2ad 0 因为d 0 所以d 2a 因此 对于所有的m n 有sm m2a 从而对于所有的k n n 有snk nk 2a n2k2a n2sk 2 设数列 bn 的公差是d1 则bn b1 n 1 d1 即 b1 n 1 d1 n n 代入sn的表达式 整理得 对于所有的n n 有n3 n2 cd1n c d1 b1 令a d1 d b b1 d1 a d d c d1 b1 则对于所有的n n 有an3 bn2 cd1n d 在 式中分别取n 1 2 3 4 得 a b cd1 8a 4b 2cd1 27a 9b 3cd1 64a 16b 4cd1 从而有由 得a 0 cd1 5b 代入方程 得b 0 从而cd1 0 即d1 d 0 b1 d1 a d 0 cd1 0 若d1 0 则由d1 d 0 得d 0 与题设矛盾 所以d1 0 又因为cd1 0 所以c 0 评析本题考查等差 等比数列的定义 通项 求和等基础知识和基本技能 考查分析转化能力及推理论证能力 考点二数学归纳法1 2017浙江 22 15分 已知数列 xn 满足 x1 1 xn xn 1 ln 1 xn 1 n n 证明 当n n 时 1 0 xn 1 xn 2 2xn 1 xn 3 xn 解析本题主要考查数列的概念 递推关系与单调性基础知识 不等式及其应用 同时考查推理论证能力 分析问题和解决问题的能力 1 用数学归纳法证明 xn 0 当n 1时 x1 1 0 假设n k时 xk 0 那么n k 1时 若xk 1 0 则00 因此xn 0 n n 所以xn xn 1 ln 1 xn 1 xn 1 因此00 x 0 函数f x 在 0 上单调递增 所以f x f 0 0 因此 2xn 1 xn 1 2 ln 1 xn 1 f xn 1 0 故2xn 1 xn n n 3 因为xn xn 1 ln 1 xn 1 xn 1 xn 1 2xn 1 所以xn 由 2xn 1 xn得 2 0 所以 2 2n 1 2n 2 故xn 综上 xn n n 方法总结1 证明数列单调性的方法 差比法 作差an 1 an 然后分解因式 判断符号 或构造函数 利用导数求函数的值域 从而判断其符号 商比法 作商 判断与1的大小 同时注意an的正负 数学归纳法 反证法 例如求证 n n an 1 an 可反设存在k n 有ak 1 ak 从而导出矛盾 2 2015江苏 23 10分 已知集合x 1 2 3 yn 1 2 3 n n n 设sn a b a整除b或b整除a a x b yn 令f n 表示集合sn所含元素的个数 1 写出f 6 的值 2 当n 6时 写出f n 的表达式 并用数学归纳法证明 解析 1 f 6 13 2 当n 6时 f n t n 下面用数学归纳法证明 当n 6时 f 6 6 2 13 结论成立 假设n k k 6 时结论成立 那么n k 1时 sk 1在sk的基础上新增加的元素在 1 k 1 2 k 1 3 k 1 中产生 分以下情形讨论 1 若k 1 6t 则k 6 t 1 5 此时有f k 1 f k 3 k 2 3 k 1 2 结论成立 2 若k 1 6t 1 则k 6t 此时有f k 1 f k 1 k 2 1 k 1 2 结论成立 3 若k 1 6t 2 则k 6t 1 此时有f k 1 f k 2 k 2 2 k 1 2 结论成立 4 若k 1 6t 3 则k 6t 2 此时有 f k 1 f k 2 k 2 2 k 1 2 结论成立 5 若k 1 6t 4 则k 6t 3 此时有f k 1 f k 2 k 2 2 k 1 2 结论成立 6 若k 1 6t 5 则k 6t 4 此时有f k 1 f k 1 k 2 1 k 1 2 结论成立 综上所述 结论对满足n 6的自然数n均成立 3 2014安徽 21 13分 设实数c 0 整数p 1 n n 1 证明 当x 1且x 0时 1 x p 1 px 2 数列 an 满足a1 an 1 an 证明 an an 1 证明 1 用数学归纳法证明 当p 2时 1 x 2 1 2x x2 1 2x 原不等式成立 假设p k k 2 k n 时 不等式 1 x k 1 kx成立 当p k 1时 1 x k 1 1 x 1 x k 1 x 1 kx 1 k 1 x kx2 1 k 1 x 所以p k 1时 原不等式也成立 综合 可得 当x 1 x 0时 对一切整数p 1 不等式 1 x p 1 px均成立 2 证法一 先用数学归纳法证明an 当n 1时 由题设a1 知an 成立 假设n k k 1 k n 时 不等式ak 成立 由an 1 an 易知an 0 n n 当n k 1时 1 由ak 0得 1 0 由 1 中的结论得 1 p 因此 c 即ak 1 所以n k 1时 不等式an 也成立 综合 可得 对一切正整数n 不等式an 均成立 再由 1 可得an 1 n n 证法二 设f x x x1 p x 则xp c 并且f x 1 p x p 0 x 由此可得 f x 在 上单调递增 因而 当x 时 f x f 当n 1时 由a1 0 即 c可知a2 a1 a1 从而a1 a2 故当n 1时 不等式an an 1 成立 假设n k k 1 k n 时 不等式ak ak 1 成立 则当n k 1时 f ak f ak 1 f 即有ak 1 ak 2 所以n k 1时 原不等式也成立 综合 可得 对一切正整数n 不等式an an 1 均成立 评析本题考查了数学归纳法 导数 不等式等知识 考查推理运算求解 综合分析的能力 熟练运用数学归纳法 推理证明是解题的关键 4 2014陕西 21 14分 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的导函数 1 令g1 x g x gn 1 x g gn x n n 求gn x 的表达式 2 若f x ag x 恒成立 求实数a的取值范围 3 设n n 比较g 1 g 2 g n 与n f n 的大小 并加以证明 解析由题设得 g x x 0 1 由已知得 g1 x g2 x g g1 x g3 x 可得gn x 下面用数学归纳法证明 当n 1时 g1 x 结论成立 假设n k时结论成立 即gk x 那么 当n k 1时 gk 1 x g gk x 即结论成立 由 可知 结论对n n 成立 2 已知f x ag x 恒成立 即ln 1 x 恒成立 设 x ln 1 x x 0 即 x 当a 1时 x 0 仅当x 0 a 1时等号成立 x 在 0 上单调递增 又 0 0 x 0在 0 上恒成立 a 1时 ln 1 x 恒成立 仅当x 0时等号成立 当a 1时 对x 0 a 1 有 x 1时 存在x 0 使 x 0 故知ln 1 x 不恒成立 综上可知 a的取值范围是 1 3 由题设知g 1 g 2 g n n f n n ln n 1 比较结果为g 1 g 2 g n n ln n 1 证明如下 证法一 上述不等式等价于 x 0 令x n n 则 ln 下面用数学归纳法证明 当n 1时 ln2 结论成立 假设当n k时结论成立 即 ln k 1 那么 当n k 1时 ln k 1 ln k 1 ln ln k 2 即结论成立 由 可知 结论对n n 成立 证法二 上述不等式等价于 x 0 令x n n 则ln 故有ln2 ln1 ln3 ln2 ln n 1 lnn 上述各式相加可得ln n 1 结论得证 5 2014重庆 22 12分 设a1 1 an 1 b n n 1 若b 1 求a2 a3及数列 an 的通项公式 2 若b 1 问 是否存在实数c使得a2n c a2n 1对所有n n 成立 证明你的结论 解析 1 解法一 a2 2 a3 1 由题设条件知 an 1 1 2 an 1 2 1 从而 an 1 2 是首项为0 公差为1的等差数列 故 an 1 2 n 1 即an 1 n n 解法二 a2 2 a3 1 可写为a1 1 a2 1 a3 1 因此猜想an 1 下用数学归纳法证明上式 当n 1时结论显然成立 假设n k时结论成立 即ak 1 则ak 1 1 1 1 这就是说 当n k 1时结论成立 所以an 1 n n 2 解法一 设f x 1 则an 1 f an 令c f c 即c 1 解得c 下面用数学归纳法证明命题a2nf a2k 1 f 1 a2 即1 c a2k 2 a2 再由f x 在 1 上为减函数得c f c f a2k 2 f a2 a3 1 故c a2k 3 1 因此a2 k 1 c a2 k 1 1 1 这就是说 当n k 1时结论成立 综上 符合条件的c存在 其中一个值为c 解法二 设f x 1 则an 1 f an 先证 0 an 1 n n 当n 1时 结论明显成立 假设n k时结论成立 即0 ak 1 易知f x 在 1 上为减函数 从而0 f 1 f ak f 0 1f a2k 1 a2k 2 a2 k 1 f a2k 1 f a2n 1 即a2n 1 a2n 2 所以a2n 1 1 解得a2n 1 综上 由 知存在c 使a2n c a2n 1对一切n n 成立 评析本题考查由递推公式求数列的通项公式 数学归纳法 等差数列等内容 用函数的观点解决数列问题是处理本题的关键 1 2015宁夏银川模拟 4 若a b c是不全相等的正数 给出下列判断 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b与a b及a b中至少有一个成立 a c b c a b不能同时成立 其中判断正确的个数是 a 0b 1c 2d 3 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案c 显然正确 中 a c b c a b可能同时成立 如a 1 b 2 c 3 故选c 2 2016广东惠州第一次调研 12 定义映射f a b 其中a m n m n r b r 已知对所有的有序正整数对 m n 满足以下条件 f m 1 1 若n m 则f m n 0 f m 1 n n f m n f m n 1 则f 2 2 二 填空题 答案2 解析由题意可知 f 1 1 1 f 1 2 0 f 2 2 f 1 1 2 2 f 1 2 f 1 1 2 0 1 2 3 2017浙江温州三模 4月 20 设函数f x 4x3 x 0 1 证明 1 f x 1 2x 3x2 2 f x 三 解答题 证明 1 令函数g x 1 x 2 1 2x 3x2 4x3 x 0 1 2分 则g x 20 1 x x3 0 等号成立当且仅当x 0 4分 故g x 在 0 1 上单调递减 于是g x g 0 1 即当x 0 1 时 1 x 2 1 2x 3x2 4x3 1 亦即f x 1 2x 3x2 6分 2 一方面 由 1 知 当x 0 1 时 f x 1 2x 3x2 3 但上述两处的等号不能同时成立 故f x 10分 另一方面 f x 12x2 12分 显然函数h x 6x2 1 x 3 1在 0 1 上单调递增 而h 0 10 故h x 在 0 1 内存在唯一的零点x0 即f x0 0 且当x 0 x0 时 f x 0 故f x 在 0 x0 内单调递减 在 x0 1 内单调递增 14分 因此在 0 1 上 f x max f 0 f 1 max 综上 f x 15分 4 2017浙江台州期末质量评估 22 已知数列 an 满足 a1 an 1 an n n 1 求证 an 1 an 2 求证 a20171 求正整数n的最小值 解析 1 证明 由an 1 an 0 得an 1 an 因为a1 所以an 因此an 1 an 0 所以an 1 an 2 证明 由已知得 所以 则 n 2 n n 累加可得 n 2 n n 由 1 得 a1 a2 a3 a2016 所以 2017 1 所以a2017an 所以n的最小值为2018 5 2017浙江测试卷 20 设函数f x x2 x 0 1 证明 1 f x x2 x 1 2 f x 1 2016福建厦门一中期中 12 若数列 an 满足 存在正整数t 对于任意正整数n都有an t an成立 则称数列 an 为周期数列 周期为t 已知数列 an 满足a1 m m 0 an 1 则下列结论中错误的是 a 若a3 4 则m可以取3个不同的值b 若m 则数列 an 是周期为3的数列c 对任意的t n 且t 2 存在m 1 使得 an 是周期为t的数列d 存在m q且m 2 使得数列 an 是周期数列 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案d对于选项a 因为an 1 所以或因为a3 4 所以a2 5或a2 又因为或a1 m m 0 所以m 6或m 或m 所以选项a正确 对于选项b 因为m 1 所以a2 11 所以a4 a3 1 所以数列 an 是周期为3的数列 所以选项b正确 对于选项c 由b可知 当m 1时 数列 an 是周期为3的数列 所以选项c正确 故选d 2 2017浙江镇海中学模拟 5月 22 已知在数列 an 中 a1 an 1 2an 2 n n 其前n项和为sn 1 求证 1 an 1 an 2 2 求证 an 3 求证 n sn n 2 二 解答题 解析证明 1 先用数学归纳法证明1 当n 3时 1 又1 an 2 所以an 由an 1 2an 2得2 an 1 2an 即 所以 1 所以 1 n 2 n n 所以ann 由an 1 1 得sn n n 2 n 2 故n sn n 2 3 2017浙江镇海中学模拟卷 六 22 设数列 an 满足a1 1 2n 1anan 1 2n 1 n 1 证明 1 n n 2 证明 an n n 证明 1 由2n 1anan 1 2n 1 n得an 1 an an 1与an同号 而a1 1 所以an 0 an 1 an an 1 由2n 1anan 1 2n 1 n得 1