判别孪生三生四生五生六生素数的初等证明

判别孪生三生四生五生六生素数的初等证明 务川县实验学校 王若仲（王洪）摘 要:运用特异奇合数的性质，探讨如何判别孪生素数、三生素数、四生素数、五生素数、六生素数、七生素数、八生素数。关键词：特异奇数 特异奇合数 孪生素数孪生素数的概念：当两个素数的差为2时，这样的两个素数称为孪生素数。如：3和5，5和7，11和13，17和19，29和31等等。三生素数的概念：若有三个素数，其中有两个素数的差为2，有两个素数的差为4时，这样的三个素数称为三生素数。如：3和5以及7，5和7以及11，11和13以及17，17和19以及23等等。四生素数的概念：若有四个素数，其中有两对素数的差为2，有两个素数的差为4时或者其中有两对素数的差为4，有一对素数的差为2时，这样的四个素数称为四生素数。如：5和7以及11和13，11和13以及17和19，13和17以及19和23等等。五生素数的概念：若有五个素数，其中有两对素数的差为2，有两对素数的差为4时，这样的五个素数称为五生素数。如：7和11以及13以及17和19，11和13以及17和19以及23等等。六生素数的概念：若有六个素数，其中有三对素数的差为2，有两对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为4，有两对素数的差为2时，这样的六个素数称为六生素数。如：3和5以及7和11以及13和17，5和7以及11和13以及17和19，7以及11和13以及17和19以及23等等。七生素数的概念：若有七个素数，其中有四对素数的差为2，有三对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为2，有三对素数的差为4时，这样的七个素数称为七生素数。如：3和5以及7和11以及13和17以及19，5和7以及11和13以及17和19以及23等等。八生素数的概念：若有八个素数，其中有四对素数的差为2，有四对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为2，有四对素数的差为4时，这样的八个素数称为八生素数。如：3和5以及7和11以及13和17以及19和23。由全体奇数组成的集合，称为奇数集合。记为G。定义1：奇数集合G中（除1外），不能被3整除的整数，称为特异奇数。如：5，7，11，13，17，19，23，25，29，。定义2：由全体特异奇数组成的集合，称为特异奇数集合。记为G。定理1:任一特异奇数均可表为6k+1或6k1的形式,kN,k0；G=5，7，11，13，(61)， (6+1)，。证明:因为集合G中能被3整除的整数均可表为3(2m-1)的形式，mN， m0。令3(2m-1)+2=6m-1,3(2m-1)-2=6(m-1)+1, 对于6(m-1)+1 ， m1 。则(6m-1)和6(m-1)+1均为不能被3整除的奇数,根据定义1,(6m-1)为特异奇数，6(m-1)+1（m1）也为特异奇数。故定理1成立。定理2:若p为素数(除2和3外),那么pG。证明:因为p为素数(除2和3外),所以p是奇数,p不能被3整除,根据定义1,pG。定义3：我们把既是特异奇数,又是素数的整数,称为特异素数。如:5，7，11，13，17，19等等。定义4：我们把既是特异奇数,又是合数的整数,称为特异奇合数。如:25,35,49,55,77等等。定理3:对于任一特异奇合数,均可表为下列三种形式之一:(1)=36kh-6k-6h+1，(2)=36kh+6k+6h+1，(3)=36kh+6k-6h-1，其中kN,hN,k0,h0。证明:对于任一特异奇合数,总可以分解为两个特异奇数的乘积,我们令=,根据定理1,=6k+1或6k1,kN,k0,=6h +1或6h1,hN,h0。则有情形：(1)=(6k1)( 6h1) =36kh-6k-6h+1,（2）=(6k+1)(6h+1)=36kh+6k+6h+1,（3）=(6k+1)(6h-1)=36kh-6k+6h-1,（4）=(6k-1)(6h+1) =36kh+6k-6h-1。因为36kh+6k-6h-1k,h=、n、=36kh-6k+6h-1k,h=、n、,故定理3成立。定理4:对于某一特异奇数,关于下列不定方程:36xy-6x-6y+1= (1)36xy+6x+6y+1= (2)36xy+6x-6y-1= (3)若不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数为特异奇合数。证明:假设不定方程36xy-6x-6y+1=有正整数解,不妨令x=k,y=h,kN,hN,k0,h0,则=36kh-6k-6h+1。根据定理3, 那么特异奇数为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理4成立。定理5:对于某一特异奇数,关于下列不定方程:36xy-6x-6y+1= (1)36xy+6x+6y+1= (2)36xy+6x-6y-1= (3)若特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:因为特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们不妨设=36kh+6k-6h-1,其中kN,hN,k0,h0。对于不定方程(3),我们令x=k,y=h,则不定方程(3)有正整数解。同理可证其它情形。故定理5成立。定理6: 对于某一特异奇数,关于下列不定方程:36xy-6x-6y+1= (1)36xy+6x+6y+1= (2)36xy+6x-6y-1= (3)若不定方程(1),(2),(3)均无正整数解,那么特异奇数为特异素数。证明:假定特异奇数为特异奇合数,根据定理5,不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解,这与题设产生矛盾, 故定理6成立。定理7:对于某一特异奇数,关于下列不定方程:36xy-6x-6y+1= (1)36xy+6x+6y+1= (2)36xy+6x-6y-1= (3)若特异奇数为特异素数,那么不定方程(1),(2),(3)均无正整数解。证明:假定不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解,根据定理4,那么特异奇数为特异奇合数。这与题设产生矛盾,故定理7成立。定理8:对于特异奇数和,=6k1,=6k+1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)若不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)我们不妨设不定方程(3)有正整数解,令x=p,y=q,pN,qN,p0，q0。则有6pq+p-q=k,即36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理3知,6k-1为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理8成立。 例：623-2-3=31，316+1=187，187是特异奇合数。623+2-3=35，356-1=209，209是特异奇合数。定理9:对于特异奇数和,=6k1,=6k+1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)若特异奇数和中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和,我们不妨设特异奇数为特异奇合数, 根据定理3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解。同理可证其它情形。故定理9成立。定理10:对于特异奇数和,=6k1,=6k+1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)若不定方程(1),(2),(3)均无正整数解,那么特异奇数和为孪生素数。证明:假定特异奇数和不为孪生素数，因为=6k1,=6k+1,kN,k0,那么特异奇数和中至少有一个为特异奇合数：()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们还是不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(2)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq+6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解，这与题设产生矛盾。故定理10成立。 例：6xy-x-y=5，6xy +x+y=5 ，6xy +x-y=5 等三个不定方程均无正整数解,65-1=29，65+1=31，则29和31为孪生素数。6xy -x-y=17，6xy +x+y=17 ，6xy +x-y=17等三个不定方程均无正整数解,617-1=101，617+1=103，则101和103为孪生素数。定理11:对于特异奇数和,=6k-1,=6k+1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy -x-y=k (1)6xy +x+y=k (2)6xy +x-y=k (3)若特异奇数和为孪生素数,那么不定方程(1),(2),(3)均无正整数解。证明:()假定不定方程(1)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq-p-q=k，变换可得36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(2)有正整数解，我们又不妨设x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p+q=k，变换可得36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(3)有正整数解，我们又不妨设x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p-q=k，变换可得36pq+6p-6q-1=6k-1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理11成立。定理12: 对于特异奇数和以及c,=6k1,=6k+1, c=6(k-1)+1,kN,k1,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y+1=k (4)6xy+x+y+1=k (5)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和以及c中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y+1=k (4)6xy+x+y+1=k (5)我们不妨设不定方程(3)有正整数解,令x=p,y=q,pN,qN,p0，q0。则有6pq+p-q=k,即36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理3知,6k-1为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理12成立。定理13: 对于特异奇数和以及c,=6k1,=6k+1, c=6(k-1)+1,kN,k1, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y+1=k (4)6xy+x+y+1=k (5)若特异奇数和以及c中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和以及c,我们不妨设特异奇数为特异奇合数, 根据定理3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解。同理可证其它情形。故定理13成立。定理14: 对于特异奇数和以及c,=6k1,=6k+1, c=6(k-1)+1,kN,k1,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y+1=k (4)6xy+x+y+1=k (5)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)均无正整数解,那么特异奇数和以及c为三生素数。证明:假定特异奇数和以及c不为三生素数，因为=6k1,=6k+1, c=6(k-1)+1,kN,k1,那么特异奇数和以及c中至少有一个为特异奇合数：()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们还是不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(2)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq+6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数c为特异奇合数,根据定理3, 我们令c=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(4)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数c为特异奇合数,根据定理3, 我们令c=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(5)有正整数解，这与题设产生矛盾。故定理14成立。定理15: 对于特异奇数和以及c,=6k-1,=6k+1, c=6(k-1)+1,kN,k1, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y+1=k (4)6xy+x+y+1=k (5)若特异奇数和以及c为三生素数,那么不定方程(1),(2),(3) ,(4),(5)均无正整数解。证明:()假定不定方程(1)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq-p-q=k，变换可得36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(2)有正整数解，我们又不妨设x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p+q=k，变换可得36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(3)有正整数解，我们又不妨设x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p-q=k，变换可得36pq+6p-6q-1=6k-1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理11成立。() 假定不定方程(4)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq-p-q=k-1，变换可得36pq-6p-6q+1=6(k-1)+1，根据定理3,则特异奇数c为特异奇合数，这与题设产生矛盾。 () 假定不定方程(5)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p+q=k-1，变换可得36pq+6p+6q+1=6(k-1)+1，根据定理3,则特异奇数c为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理15成立。定理16: 对于特异奇数和以及c,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy+x-y-1=k (4)若不定方程(1),(2),(3)，(4)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和以及c中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy+x-y-1=k (4)我们不妨设不定方程(3)有正整数解,令x=p,y=q,pN,qN,p0，q0。则有6pq+p-q=k,即36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理3知,6k-1为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理16成立。定理17: 对于特异奇数和以及c,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy+x-y-1=k (4)若特异奇数和以及c中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和以及c,我们不妨设特异奇数为特异奇合数, 根据定理3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解。同理可证其它情形。故定理17成立。定理18: 对于特异奇数和以及c,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy+x-y-1=k (4)若不定方程(1),(2),(3)，(4)均无正整数解,那么特异奇数和以及c为三生素数。证明:假定特异奇数和以及c不为三生素数，因为=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1,kN,k0,那么特异奇数和以及c中至少有一个为特异奇合数：()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们还是不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(2)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq+6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数c为特异奇合数,根据定理3, 我们令c=36pq+6p-6q-1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(4)有正整数解，这与题设产生矛盾。故定理18成立。定理19: 对于特异奇数和以及c,=6k-1,=6k+1, c=6(k+1)-1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy+x-y-1=k (4)若特异奇数和以及c为三生素数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4)均无正整数解。证明:()假定不定方程(1)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq-p-q=k，变换可得36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(2)有正整数解，我们又不妨设x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p+q=k，变换可得36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(3)有正整数解，我们又不妨设x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p-q=k，变换可得36pq+6p-6q-1=6k-1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理11成立。() 假定不定方程(4)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p-q=k+1，变换可得36pq+6p-6q+1=6(k+1)-1，根据定理3,则特异奇数c为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理19成立。定理20: 对于特异奇数和以及c和d,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和以及c和d中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)我们不妨设不定方程(3)有正整数解,令x=p,y=q,pN,qN,p0，q0。则有6pq+p-q=k,即36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理3知,6k-1为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理20成立。定理21: 对于特异奇数和以及c和d,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)若特异奇数和以及c和d中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和以及c和d,我们不妨设特异奇数为特异奇合数, 根据定理3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解。同理可证其它情形。故定理21成立。定理22: 对于特异奇数和以及c和d,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)均无正整数解,那么特异奇数和以及c和d为四生素数。证明:假定特异奇数和以及c和d不为四生素数，因为=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1,kN,k0,那么特异奇数和以及c和d中至少有一个为特异奇合数：()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们还是不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(2)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq+6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数c为特异奇合数,根据定理3, 我们令c=36pq+6p-6q-1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(6)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数d为特异奇合数,根据定理3, 我们令d=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(5)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数d为特异奇合数,根据定理3, 我们令d=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(4)有正整数解，这与题设产生矛盾。故定理22成立。定理23: 对于特异奇数和以及c和d,=6k-1,=6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)若特异奇数和以及c和d为四生素数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4),(5),(6)均无正整数解。证明:()假定不定方程(1)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq-p-q=k，变换可得36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(2)有正整数解，我们又不妨设x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p+q=k，变换可得36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(3)有正整数解，我们又不妨设x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p-q=k，变换可得36pq+6p-6q-1=6k-1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。() 假定不定方程(4)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq-p-q=k+1，变换可得36pq-6p-6q+1=6(k+1)+1，根据定理3,则特异奇数d为特异奇合数，这与题设产生矛盾。 () 假定不定方程(5)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p+q=k+1，变换可得36pq+6p+6q+1=6(k+1)+1，根据定理3,则特异奇数d为特异奇合数，这与题设产生矛盾。() 假定不定方程(6)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p-q=k+1，变换可得36pq+6p-6q-1=6(k+1)-1，根据定理3,则特异奇数 c为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理23成立。定理24: 对于特异奇数和以及c和d,=6k+1,=6(k+1)-1, c=6(k+1)+1, d=6(k+2)-1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y-1=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-2=k (6)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和以及c和d中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y-1=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-2=k (6)我们不妨设不定方程(3)有正整数解,令x=p,y=q,pN,qN,p0，q0。则有6pq+p-q-1=k,即36pq+6p-6q-1=6(k+1)-1,由定理3知, 6(k+1)-1为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理24成立。定理25: 对于特异奇数和以及c和d, =6k+1,=6(k+1)-1, c=6(k+1)+1, d=6(k+2)-1, kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y-1=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-2=k (6)若特异奇数和以及c和d中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和以及c和d,我们不妨设特异奇数为特异奇合数, 根据定理3,我们令=36pq-6p+6q-1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解。同理可证其它情形。故定理25成立。定理26: 对于特异奇数和以及c和d, =6k+1,=6(k+1)-1, c=6(k+1)+1, d=6(k+2)-1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y-1=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-2=k (6)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)均无正整数解,那么特异奇数和以及c和d为四生素数。证明:假定特异奇数和以及c和d不为四生素数，因为=6k+1,=6(k+1)-1, c=6(k+1)+1, d=6(k+2)-1,kN,k0,那么特异奇数和以及c和d中至少有一个为特异奇合数：()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq-6p+6q-1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们还是不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(2)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数c为特异奇合数,根据定理3, 我们令c=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(4)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数c为特异奇合数,根据定理3, 我们令d=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(5)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数d为特异奇合数,根据定理3, 我们令d=36pq+6p-6q-1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(6)有正整数解，这与题设产生矛盾。故定理26成立。定理27: 对于特异奇数和以及c和d, =6k+1,=6(k+1)-1, c=6(k+1)+1, d=6(k+2)-1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y-1=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-2=k (6)若特异奇数和以及c和d为四生素数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4),(5),(6)均无正整数解。证明:()假定不定方程(1)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq-p-q=k，变换可得36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(2)有正整数解，我们又不妨设x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p+q=k，变换可得36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(3)有正整数解，我们又不妨设x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p-q-1=k，变换可得36pq+6p-6q-1=6(k+1)-1，根据定理3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。 () 假定不定方程(4)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq-p-q=k+1，变换可得36pq-6p-6q+1=6(k+1)+1，根据定理3,则特异奇数c为特异奇合数，这与题设产生矛盾。 () 假定不定方程(5)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p+q=k+1，变换可得36pq+6p+6q+1=6(k+1)+1，根据定理3,则特异奇数c为特异奇合数，这与题设产生矛盾。() 假定不定方程(6)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有6pq+p-q=k+2，变换可得36pq+6p-6q-1=6(k+2)-1，根据定理3,则特异奇数d为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理27成立。定理28: 对于特异奇数和以及c和d以及e,=6(k-1)+1，=6k1, c=6k+1, d=6(k+1)-1, e=6(k+1)+1,kN,k1,关于下列不定方程:6xy-x-y+1=k (1)6xy+x+y+1=k (2)6xy-x-y=k (3)6xy+x+y=k (4)6xy+x-y=k (5)6xy-x-y-1=k (6)6xy+x+y-1=k (7)6xy+x-y-1=k (8)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6) ，(7),(8)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和以及c和d以及e中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:6xy-x-y+1=k (1)6xy+x+y+1=k (2)6xy-x-y=k (3)6xy+x+y=k (4)6xy+x-y=k (5)6xy-x-y-1=k (6)6xy+x+y-1=k (7)6xy+x-y-1=k (8)我们不妨设不定方程(5)有正整数解,令x=p,y=q,pN,qN,p0，q0。则有6pq+p-q=k,即36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理3知,6k-1为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理28成立。定理29: 对于特异奇数和以及c和d以及e, =6(k-1)+1，=6k1, c=6k+1, d=6(k+1)-1, e=6(k+1)+1,kN,k1,关于下列不定方程:6xy-x-y+1=k (1)6xy+x+y+1=k (2)6xy-x-y=k (3)6xy+x+y=k (4)6xy+x-y=k (5)6xy-x-y-1=k (6)6xy+x+y-1=k (7)6xy+x-y-1=k (8)若特异奇数和以及c和d以及e中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6) ，(7),(8)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和以及c和d以及e,我们不妨设特异奇数c为特异奇合数, 根据定理3,我们令c=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解。同理可证其它情形。故定理29成立。 定理30: 对于特异奇数和以及c和d以及e,=6k1, =6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1, e=6(k+2)-1，kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)6xy+x-y-2=k (7)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6) ，(7)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和以及c和d以及e中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)6xy+x-y-2=k (7)我们不妨设不定方程(3)有正整数解,令x=p,y=q,pN,qN,p0，q0。则有6pq+p-q=k,即36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理3知,6k-1为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理30成立。定理31: 对于特异奇数和以及c和d以及e, =6k1, =6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1, e=6(k+2)-1，kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)6xy+x-y-2=k (7)若特异奇数和以及c和d以及e中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6) ，(7)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和以及c和d以及e,我们不妨设特异奇数为特异奇合数, 根据定理3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解。同理可证其它情形。故定理31成立。定理32: 对于特异奇数和以及c和d以及e, =6(k-1)+1，=6k1, c=6k+1, d=6(k+1)-1, e=6(k+1)+1,kN,k1,关于下列不定方程:6xy-x-y+1=k (1)6xy+x+y+1=k (2)6xy-x-y=k (3)6xy+x+y=k (4)6xy+x-y=k (5)6xy-x-y-1=k (6)6xy+x+y-1=k (7)6xy+x-y-1=k (8)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6) ，(7),(8)均无正整数解,那么特异奇数和以及c和d以及e为五生素数。证明:假定特异奇数和以及c和d以及e不为五生素数，因为=6(k-1)+1，=6k1, c=6k+1, d=6(k+1)-1, e=6(k+1)+1,kN,k1,那么特异奇数和以及c和d以及e中至少有一个为特异奇合数：()我们不妨设特异奇数c为特异奇合数,根据定理3,我们令c=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们还是不妨设特异奇数c为特异奇合数,根据定理3,我们令c=36