数学人教版八年级下册“总统证法”模型及其应用.doc

教学设计：“总统证法”模型及其应用执教：河北省晋州市实验中学 王书亚一设置情境导入语：李四光先生说过：“知识是重要的，但道路的重要性并不亚于知识本身。”在数学的学习中，只有规律和思想方法才是万能的。今天我们主要学习用模型思想解决问题。教师出示图片：一把直尺和一个含450角直角三角板放置如图所示。问题：如果直尺抽象为直线，三角板抽象为三角形，为了把三角形与直线联系起来，我们可以过点A、B引垂线（垂足分别为M、N），请你探究AOM和OBN之间的关系，并作出解释。学生独立作图并书写证明过程，而后展示思路。二抽取模型学生完成证明后，教师提出问题：这个图形你熟悉吗？ 教师介绍“总统证法”图形的由来：1876年加菲尔德发表了他对勾股定理的证法。1881年，加菲尔德任美国第20任总统。后来为了纪念他对勾股定理直观、简捷的证明，就把这一证法称为“总统证法”。我们给这个图形起个名字“总统证法”图形。问题：这个图形有什么特征？解释：“总统证法”图形中有三个直角三角形（其中一个为等腰直角三角形），这个图形除了证明勾股定理之外，还有其它的价值。今天我们从另一个角度来研究“总统证法”图形。问题：如果ABO绕点O旋转，在旋转过程中，前面的结论还成立吗？比如 ：AOM和BON还全等吗？请说明理由。教师运用几何画板演示使ABO绕点O旋转的过程，学生观察运动的图形，从中找出边、角、三角形“变”与“不变”之处。小组合作，并记录下来汇报。教师小结：在图形的运动变化过程中，三个（直）角的大小和两条边的长短，始终没变；两个三角形（AOM和BON）中，两组角、两组边的位置在变、数量在变，但是它们之间的相等关系却不变；两个三角形（AOM和BON）的形状变了，但关系没有变化仍全等，这就是变中之不变（即动中之静）。教师补充说明：此模型广泛存在于各命题中，这是一个非常重要的数学模型，我们不妨称它为“总统证法”模型。三模型应用教师出示练习题：1、如图，一条直线上有三个正方形且面积为a=5，c=11，则b=( ) A 、 4 B 、 6 C、 16 D、 55先由学生独立完成，后展示问题的思路。可追问：去掉等腰直角三角形的斜边，模型受影响吗？2、如图，已知ABC，ABC=90，AB=BC，三角形的顶点在互相平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2、之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长为_。 以上题目先由学生独立完成，然后小组交流，最后展示问题的思路。可追问：为什么会想到添加这两条辅助线？（发挥模型的价值，运用模型时，要注意“出现部分，完善整体”。）四模型拓展问题：若将“总统证法”模型中的等腰直角三角形变为等边三角形，还能出现类似于前面的结论吗？如何完善出图形？给足时间独立思考，然后小组交流，教师适当参与，最后用几何画板演示。师生归纳其中的“变”与“不变”。教师小结：我们要善于从“变”的现象中发现“不变”的本质，“总统证法”模型经过变式后，其本质属性没有变化(AOB=AMO=BNO,AO=BO),故结论（AOMOBN）没有变化。出示巩固练习：3、如图，在边长为3的正三角形中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DEAC,EFAB,FDBC，则DEF的周长等于_。4、在ABC中，AB=AC，BAC=1200，取一把含300角的三角板，把300角的顶点放在边BC的任意一点M上，三角板绕点M旋转，三角板的两边分别交边AB、AC于点E、F，当EM=MF时，BM与CF有何关系？请说明理由。五小结与作业：小结：通过本节课的学习，同学们应当体会到：“问题情境建立模型解释、应用、拓展与反思”的学习模式。善于发现“变”中之“不变”（“动”中之“静”），在“变化”中探求规律；一些几何基本图形是重要的数学模型，是命题的载体（模型思想），研究透彻一些模型对分析问题是很有帮助的；善于从运动的角度认识图形（变式），可以纵横联系相关知识，完善知识结构，抓住问题的实质。 在生活中，还存在各式各样的图形，同学们要做有心人，认真观察，积极思考，相信你会有更大的发现。作业：必做;整理本节所讲习题。 选作：补充习题附板书设计：“总统证法”模型及其应用AOMOBN附补充习题：1、若将“总统证法”模型中的等腰直角三角形变为顶角为xo(0x180)的等腰三角形，同时将和AMO和BNO变为xo，问：AO