待定系数法求二次函数解析式（讲义）

我快乐，我学习；我学习，我快乐                             待定系数法求二次函数解析式 （ 讲义 ）  一、 【基础知识精讲】  (一） 、中考导航图  义 ;象 ;质顶点对称轴开口方向增减性顶点式： y=a(+k(a 0) 待定系数法确定函数解析式   一般式： y=bx+c(a 0) 两根式： y=a(a 0) 次方程的关系。  y=bx+a、 b、  （二） 、中考知识梳理  在画二次函数 y=bx+c(a 0)的图象时通常先通过配方配成 y=a(x+ 4形式 ,先确定顶点 (,然后对称找点列表并画图 ,或直接代用 顶点公式来求得顶点坐标 . 抛物线的开口方向由 当 a>0时 ,在对称轴左侧 y随 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 ;简记左减右增 ,这时当 x=y 最小值 =4反之当  ,抛物线开口向上 ;当  ,抛物线交 y 轴于正半轴 ;当 c<0 时 ,抛物线交 y 轴于负半 我快乐，我学习；我学习，我快乐                             轴 ;b 的符号 由对称轴来决定 y 轴左侧时 ,b 的符号与 a 的符号相同 ;当对称轴在 y 轴右侧时 , 简记左同右异 .  应用数形结合思想来解决有关的综合性问题 . 二、【 典型 例题精 析 】  一般式：  例 1  已知 二次函数的图象经过 A()、 B(1,3)、 C(2,6);  求 它 的解析式 。  分析 :此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式 列出方程或方程组来求解 . 解 :设解析式为 y=bx+c,把 A()、 B(1,3)、 C(2,6)各点代入上式得  3,6 4 2 .a b b c 解得 1,0, 解析式为 y=. 变式： 已知一个二次函数，当 x=y=3；当 x=1时， y=3；当 x=2时， y=6。求这个二次函数的解析式。  解 :设解析式为 y=bx+c,把 A()、 B(1,3)、 C(2,6)各点代入上式得  3,6 4 2 .a b b c 解得 1,0, 解析式为 y=. 顶点式：  例 2  已知一个二次函数的图象过点 (0， 1)，它的顶点坐标是 (8， 9)，求这个二次函数的关系式。  分析：二次函数 y c 通过配方可得 y a(x h)2 k 的形式称为顶点式， ( h， k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是 (8， 9)，因此，可以设函数关系式为：  y a(x 8)2 9 由于二次函数的图象过点 (0， 1)，将 (0， 1)代入 所设函数关系式，即可求出 a 的值。  请同学们完成本例的解答。  变式 1： 已知二次函数的 图象经过 A()、 B(3,0),函数有最小值 它的解析式。  解法 1:由 A()、 B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为 (1,  设解析式为 y=a(+k, 即 y=a(把 x=-1,y=0代入上式得 0=a( a=2. 即解析式为 y=2( y=2解法 2:设解析式为 y=a(x+1)(确定顶点为 (1,上 , 把 x=1,y=入上式得 -8=a(1+1)(1解得 a=2, 解析式为 y=2解法 3:图象过 A(),B(3,0)两点 ,可设解析式为 :y=a(x+1)(函数有最小值  我快乐，我学习；我学习，我快乐                             24 ( 3 ) ( 2 )4a a =又 a 0, a=2. 解析式为 y=2(x+1)(2变式 2：  已知抛物线对称轴是直线 x 2，且经过 (3， 1)和 (0， 5)两点， 求二次函数的关系式。  解法 1： 设所求二次函数的解析式是 y c，  因为二次函数的图象过点 (0， 5)，可求得 c 5，  又由于二次函数的图象过点 (3， 1)，且对称轴是直线 x 2，可以得   29a 3b 6解这个方程组，得： a 2b 8   所以所求的二次函数的关系式为 y 28x 5。  解法二 ： 设所求二次函数的关系式为 y a(x 2)2 k，  由于二次函数的图象经过 (3， 1)和 (0， 5)两点，可以得到  a(3 2)2 k 1a(0 2)2 k 5      解这个方程组，得： a 2k 3  所以，所求二次函数的关系式为 y 2(x 2)2 3，即 y 28x 5。  变式 3： 已知抛物线的顶点是 (2， 4)，它与 ，求 函数的关系式。  解法 1： 设所求的函数关系式为 y a(x h)2 k，依题意，得 y a(x 2)2 4 因为抛物线与 ，所以抛物线过点 (0， 4)，于是 a(0 2)2 4 4，解得a 2。所以，所求二次函数的关系式为 y 2(x 2)2 4，即 y 28x 4。  解法 2：设所求二次函数的关系式为 y c?依题意，得   24 4c 4解这个方程组，得：a 2b 8c 4所以，所求二次函数关系式为 y 28x 4。  变式 4： 一条抛物线 y x mx n 14 2经过点( )0 32，与( )4 32，。求这条抛物线的解析式。  分析：解析式中的 需求出值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点( , ),( , )0 32 4 32的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线x，这样又可以从抛物线的顶点式入手。  解：抛物线y x mx n 14 2经过点（0 32,）和( , )4 32，  这条抛物线的对称轴是直线 。  设所求抛物线的解析 式为y x h 14 2 2( )。   我快乐，我学习；我学习，我快乐                             将点( , )0 32代入，得14 0 2 322( ) h，解得h 12。  这条抛物线的解析式为y x 14 2 122( )，即y x x 14 32。  点评：当点 M（x ,）和 N（x ,）都是抛物线上的点 时，若，则对称轴方程为x x x 1 22，这一点很重要也很有用。  两根式：  例 3   已知二次函数的 图象顶点坐标是 (),与  解 :由顶点坐标 ()可知抛物线对称轴方程是 x=又图象与 ,即 . 由抛物线的对称性可得 A、 (),B(2,0), 设出两根式 y=a( ( 将 A(),B(2,0)代入 上式求得函数解析式为 y=. 变式：  已知二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标分别是  3， ，且与 y 轴交点为 (0， 3)，求这个二次函数解析式。  想一想 :还有其它方法吗 ? 点评 :一般地 ,已知三个条件是抛物线上任意三点 (或任意 3对 x,可设表达式为 y=bx+c,组成三元一次方程组来求解 ; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值 ,可选用 y=a(+k 来求解 ;若三个条件中已知抛物线与 则一般设解析式为 y=a( 根据图像求解析式：  例 1如图所示，求二次函数的关系式。  分析：观察图象可知， 8， 0)， 0， 4)。从图中可知对称轴是直线 x 3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在 的坐标是 ( 2， 0)，问题转化为已知三点求函数关系式。  解：观察图象可知， A、 C 两点的坐标分别是 (8， 0)、 (0， 4)，对称轴是直线 x 3。因为对称轴是直线 x 3，所以 2， 0)。  设所求二次函数为 y c，由已知，这个图象经过点 (0， 4)，可以 得到 c 4，又由于其图象过 (8， 0)、 ( 2， 0)两点，可以得到   64a 8b 44a 2b 4             解这个方程组，得2341求二次函数的关系式是 y 1432x 4  我快乐，我学习；我学习，我快乐                             练习：  一条抛物线 y c 经过点 (0， 0)与 (12， 0)，最高点的纵坐标是 3，求这条抛物线的解析式。  其 它应用类型：  【例 1】已知函数 y=1的图象经过点（ 3， 2）  （ 1）求这个函数的表达式；  （ 2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；  （ 3）当 x 0时，求使 y 2的  【例 2】   一次函数 y=2x 3，与二次函数 y=（ m， 5）和 B（ 3， n）两点，且当 x=3时，抛物线取得最值为 9  （ 1）求二次函数的表达式；  （ 2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；  （ 3）从图象上观察， 次函数与二次函数的值都随  （ 4） 当 次函数值大于二次函数值？  【例 3】   行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过 130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：  刹车时车速（ km/h）  0 10 20 30 40 50 60 70 刹车距离（ m）  0 1 1 2 4 3 9 5 6 7 5 9 6 11 9 （ 1）以车速为 车距离为 下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平 滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；  （ 2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；  （ 3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为 26 4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由   我快乐，我学习；我学习，我快乐                             【例 4】   某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图中的抛物线表示（ 1）写出图中表示的市场售价与时间的函数表达式 P=f（ t），写 出图中表示的种植成本与时间函数表达式 Q=g（ t）；  （ 2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元 /102间单位：天）  三、 【同步练习】  1. 已知二次函数当 x 3 时，有最大值 1，且当 x 0 时， y 3，求二次函数的关系式。  解法 1：设所求二次函数关系式为 y c，因为图象过点 (0， 3)，所以 c 3，又由于二次函数当 x 3 时，有最大值 1，可以得到：  312a 1解这个方程组，得：a 49b 83所以，所求二次函数的关系式为 y 4983x 3。  解法 2：所求二次函数关系式为 y a(x h)2 k，依题意，得 y a(x 3)2 1 因为二次函数图象过点 (0， 3)，所以有     3 a(0 3)2 1    解得 a 49 所以，所求二次函数的关系为 y 44/9(x 3)2 1，即 y 4983x 3  小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。  2已知二次函数 y q 的图象的顶点坐标是 (5， 2)，求二次函数关系式。  简解：依题意，得 54q 2解得： p 10,q 23 所以，所求二次函数的关系式是 y 10x 23。  3. 已知抛物线的顶点坐标为 ( 1， 3)，与 0， 5)，求二次函数的关系式。  4函数 y ，且当 x 2 时， y 5，求 p和 q。  5若抛物线 y c 的最高点为 ( 1， 3)，求 b和 c。  6已知二次函数 y c 的图象经过 A(0， 1)， B( 1， 0)， C(1， 0)，那么此函数的关系式是 _。如果 y随 么自变量 _。  7已知二次函数 y (0， 5)， B(5， 0)两点，它的对称轴为直线 x 2，求这个二次函数的关系式。           四、 【创新探究】   我快乐，我学习；我学习，我快乐                             美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？  为解决该问题，我们可把该班人数 示  （ 1）若把 n 作为点的横坐标， s 作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应 5个点，并用平滑的曲线连接起来  （ 2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式  （ 3）根据（ 2）中的表达式，求该班 56名同学间共握了多少次手？  星海 学校家庭作业  姓名：                 规定时间：                实际时间：            第一部分： 根据下列条件求二次 函数解析式  （ 1）已知一个二次函数的图象经过了点 A（ 0， 1）， B（ 1， 0）， C（ 1， 2）；  （ 2）已知抛物线顶点 P( 1， 8)，且过点 A(0， 6)；  （ 3）二次函数图象经过点 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， C（ 4， 10）；  （ 4）已知二次函数的图象经过点（ 4， 3），并且当 x=3 时有最大值 4；  （ 5）已知二次函数的图象经过一次函数 y23x+3 的图象与 x 轴、 y 轴的交点，且过 (1， 1)；   我快乐，我学习；我学习，我快乐               &