00高等数学(理工类上)课程教学大纲_09.doc

理论课程教学大纲高等数学（理工类上）课程教学大纲课程代码：2008226 课程名称：高等数学（理工类上）Higher Mathematics（Polytechnic）课程类型：学科基础课学时学分：96学时/6学分 适用专业：工学、理学相关本科专业开课部门：基础课教学部数学教研室一、课程的地位、目的和任务高等数学在大学本科的教学计划中是一门重要的基础理论课。在以教学基本要求为依据的前提下，在课程内容的选取上既充分考虑到人才培养的通用性，同时使学生具有一定的可持续发展性。高等数学课程的授课对象为本科相关理学及少学时工学个有关专业一年级学生，是基础理论课程。本课程旨在培养学生的逻辑推理、抽象思维、空间想象、概括问题和自学的能力，特别是培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析与解决实际问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本思想、基本理论、基本方法和基本运算技能，培养学生的应用数学的意识和能力。二、课程与相关课程的联系与分工本课程的先修课程是初等数学，它与线性代数、概率论与数理统计是工学、理学及经济类各专业大学生必修的基础理论课，是培养学生综合数学素质的手段，为学生学习相关后继专业课提供分析和解决问题的工具，是学生可持续发展的基础。三、教学内容与基本要求第一章 函数与极限1.教学内容第一节 映射与函数（1）集合（2）函数第二节 数列的极限（1） 数列极限的定义（2） 收敛数列的性质第三节 函数的极限（1） 函数极限的定义（2） 函数极限的性质第四节 无穷小与无穷大第五节 极限运算法则第六节 极限存在准则 两个重要极限第七节 无穷小的比较第八节 函数的连续性与间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性（1） 连续函数的和、差、积、商的连续性（2） 反函数与复合函数的连续性（3） 初等函数的连续性第十节 闭区间上连续函数的性质（1） 有界性与最大值最小值定理（2） 零点定量与介值定理2.重点难点重点：极限的概念，极限运算法则，函数的连续性难点：极限的概念，连续性的概念，用极限方法判别函数的连续性 3.基本要求在中学已有的函数知识的基础上，加深对复合函数概念的了解；了解反函数的概念；会建立简单实际问题中的函数关系式。理解极限的概念，了解极限的定义；熟练掌握极限的有理运算法则；了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）和两个存在准则（夹逼准则与单调有界准则），熟练掌握利用两个重要极限与求极限。了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用常用的等价无穷小求极限。理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念；会判别间断点的类型；掌握初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。第二章 导数与微分1.教学内容第一节 导数概念（1）导数定义（2）导数的几何意义（3）函数可导性与连续的关系第二节 函数的求导法则（1）函数的和、差、积、商的求导法则（2）反函数的求导法则（3）复合函数的求导法则（4）基本求导法则与导数公式第三节 高阶导数第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率（1）隐函数的导数（2）由参数方程所确定的函数的导数（3）相关变化率第五节 函数的微分（1）微分的定义（2）微分的几何意义（3）基本初等函数的微分公式与微分运算法则（4）微分在近似计算中的应用2.重点难点重点：导数与微分的概念，导数的求法难点：复合函数，隐函数和参数方程的求导方法3.基本要求在中学已有导数知识的基础上，加深对导数的概念及其几何意义的理解（不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题）；了解函数的可导性与连续性之间的关系。理解导数作为函数变化率的实际意义，掌握利用导数表达实际问题中一些量的变化率的方法。熟练掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法；熟练掌握基本初等函数的导数公式。理解微分的概念；了解微分概念中所包含的局部线性化思想；了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性。了解高阶导数的概念，会求初等函数的二阶导数（不要求学生求函数的阶导数的一般表达式）。会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数；知道简单实际问题中的相关变化率问题。第三章 微分中值定理与导数的应用1.教学内容第一节 微分中值定理（1）罗尔定理（2）拉格朗日中值定理（3）柯西中值定理第二节 洛必达法则第三节 泰勒公式第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性（1）函数单调性的判定法（2）曲线的凹凸性与拐点第五节 函数的极值与最大值最小值（1）函数的极值及其求法（2）最大值最小值问题第六节 函数图形的描绘第七节 曲率（1）弧微分（2）曲率及其计算公式（3）曲率圆与曲率半径第八节 方程近似解（1）二分法（2）切线性2.重点难点重点：拉格朗日(Lagrange)定理，函数的极值概念，用导数判断函数的单调性和求极值难点：拉格朗日(Lagrange)定理，用洛必达（LHospital）法则求不定式的极限，泰勒（Taylor）定理，最大值、最小值的应用问题3.基本要求理解罗尔(Rolle)定理；理解拉格朗日(Lagrange)定理；知道柯西（Cauchy）定理（对三个定理的分析证明不作要求，并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧）；熟练掌握利用洛必达（LHospital）法则求不定式的极限方法。了解泰勒（Taylor）定理以及多项式逼近函数的思想（对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求）。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法；掌握求解简单的最大值与最小值的应用问题。掌握利用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点方法，会描述一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。了解求方程近似解的二分法和切线法的思想。第四章 不定积分1.教学内容第一节 不定积分的概念与性质（1）原函数与不定积分的概念（2）基本积分表（3）不定积分的性质第二节 换元积分法（1）第一类换元法（2）第二类换元法第三节 分部积分法第四节 有理函数的积分（1）有理函数的积分（2）可化为有理函数的积分2.重点难点重点：求不定积分的换元法与分部积分法难点：对各种积分法的灵活应用3.基本要求理解原函数与不定积分的概念；理解不定积分的性质；理解原函数存在定理。熟练掌握不定积分的基本公式，会用不定积分的换元法与分部积分法求不定积分（淡化特殊积分技巧的训练，对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练）。第五章 定积分1.教学内容第一节 积分的概念与性质（1）定积分问题举例（2）定积分定义（3）定积分的性质第二节 微积分基本公式（1）积分上限的函数及其导数（2）牛顿-莱布尼茨公式第三节 定积分的换元法和分部积分法（1）定积分的换元法 （2）定积分的分部积分法第四节 反常积分（1）无穷限的反常积分（2）无界函数的反常积分第五节 反常积分的审敛法（1）无穷限反常积分的审敛法（2）无界函数的反常积分的审敛法（3）函数2.重点难点重点：定积分的概念；牛顿莱布尼茨（NewtonLeibniz）公式难点：对定积分的概念的理解3.基本要求理解定积分的概念和几何意义（对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求）理解定积分的性质和积分中值定理。了解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理；掌握牛顿莱布尼茨（NewtonLeibniz）公式；熟练掌握定积分的换元法和分部积分法计算定积分。了解两类广义积分及其收敛性的概念；掌握简单的广义积分的敛散性的判别方法。了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）的思想。第六章 定积分的应用1.教学内容第一节 定积分的元素法第二节 定积分在几何学上的应用（1）平面图形的面积（2）体积（3）平面曲线的弧长第三节 定积分在物理学上的应用（1）变力沿直线所作的功（2）水压力（3）引力2.重点难点重点：定积分的元素法难点：定积分的元素法3.基本要求理解定积分的元素法，掌握元素法（微元法）在几何学上的应用，知道定积分在物理学上的应用，会建立简单实际问题中一些量的积分表达式。第七章 微分方程1.教学内容第一节 微分方程的基本概念第二节 可分离变量的微分方程第三节 齐次方程（1）齐次方程（2）可化为齐次的方程第四节 一阶线性微分方程（1）线性方程（2）伯努利方程第五节 可降阶的高阶微分方程（1）型的微分方程（2）型的微分方程（3）型的微分方程第六节 高阶线性微分方程（1）二阶线性微分方程举例（2）线性微分方程的解的结构第七节 常系数齐次线性微分方程第八节 常系数非齐次线性微分方程（1）型（2）型2.重点难点重点：变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程的解法定积分的元素法难点：建立微分方程，确定初始条件3.基本要求理解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念；熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法；掌握齐次方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的思想；会用降阶法求下列三种类型的高阶方程： ， ，。理解二阶线性微分方程解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；会求自由项形如的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中为实系数次多项式，为实数。了解自由项形如的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解结构，其中为实数；掌握通过建立微分方程模型，解决一些简单的实际问题的一些方法。四、 课程学时分配（以章节为单位）教学内容学时分配合计讲课实验上机讨论/习题函数与极限16218导数与微分12214微分中值定理与导数的应用16218不定积分8210定积分12214定积分的应用628微分方程12214五、 推荐教材和教学参考书1.推荐教材：高等数学（第六版（上册），作者：同济大学应用数学系，出版社：高等教育出版社，出版年月：2007.4，版次6；2.教学参考书：高等数学辅导，作者：张元德，出版社：清华大学出版社发行部，出版年月：2004.1