高中数学第二章2.7向量应用举例课堂导学案.docx

2.7 向量应用举例课堂导学三点剖析1.用向量解决简单的几何问题【例1】 如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.解：设=a,=b,则=a-b,=a+b.而|=|a-b|=,|2=5-2ab=4.又|2=|ab|2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=1+4+2ab.由得2ab=1，|2=6，|=，即AC=.友情提示 在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.各个击破类题演练 1已知ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于F,求.解析：A(7,8),B(3,5),C(4,3)，=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5).又D是BC的中点,=(+)=(-3.5,-4).又M、N分别是AB、AC的中点,F为AD的中点.=-=(1.75,2).变式提升 1如右图，O为ABC的外心，E为三角形内一点，满足=+,求证：.=-，=-=（+）-=+，=（-）（+）=|2-|2.O为外心，|=|，即=0，.2.用向量解决物理问题【例2】 一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试用向量知识加以解释.思路分析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析,建立数学模型：|F1|=,0,来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.解：设小孩的体重为G,两胳膊受力分别为F1、F2,且F1=F2,两胳膊的夹角为,胳膊受力分析如右图(不计其他因素产生的力),不难建立向量模型：|F1|=,0,当=0时,|F1|=；当=时,|F1|=|G|；又(0,)时,|F1|单调递增,故当(0,)时,F1(,|G|),当(,)时,|F1|G|.此时,欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.友情提示 在解决力的合成、力的分解问题，一般是利用向量的平行四边形法则解决.类题演练 2在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60（如下图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解析：作OACB（左上图），使AOC=30，BOC=60.在OAC中，ACO=BOC=60，OAC=90，|=|cos30=(N),|=|sin30=150(N),|=|=150(N).答：与铅垂线成30角的绳子的拉力是 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.变式提升 2如右图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.解析：如右图，物体受三个力：重力w,支持力p,摩擦力f.由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；w+p+f=0.由，得w+p+f=(mgcos,mgsin)+(-p,0)+(0,-f)=(mgcos-p,mgsin-f)=(0,0).故mgsin-f=0,f=mgsin.3.在实际问题中怎样用向量【例3】 已知两恒力F1(3,4)、F2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.思路分析：本题主要考查利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入Fs公式即可.解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W1=F1=（3，4）（-13，-15）=3(-13)+4(-15)=-99(焦)W2=F2=（6，-5）（-13，-15）=6(-13)+(-5)(-15)=-3(焦)（2）W=F=（F1+F2）=（3，4）+（6，-5）（-13，-15）=（9，-1）（-13，-15）=9(-13)+(-1)(-15)=-117+15=-102(焦).友情提示 力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=Fs，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.本题最易弄错符号，特别是当力与位移夹角为钝角时.类题演练 3如右图所示，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.解析：设f1=(a1,a2),f2=(b1,b2),则a1=300cos30=259.8,a2=300sin30=150,b1=-200cos45=-141.4,b2=200sin45=141.4,f1=(259.8,150),f2=(-141.4,141.4)f=f1+f2=（259.8,150）+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),|f|=314.5.设f与x轴的正向夹角为，则tan=2.461 1.由f的坐标知是第一象限的角，=6753.答：两个力的合力是314.5 N,与x轴的正方向的夹角为6753，与y轴的夹角为227.变式提升 3 已知一物体在共点力F1=（lg2,lg2）,F2=(lg5,lg2)的作用下产生位移s=(2lg5,1